第9章典型例题与综合练习.docx

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第9章典型例题与综合练习

第9章随机事件与概率典型例题与综合练习

一、典型例题

1.随机事件

例1判断下列事件是否随机事件：

（1）元旦，买来1台全自动洗衣机，运行200小时不出故障.

（2）某射手的射击命中率为90％，他连续射击3次全命中.

（3）在1个大气压下，90oC的水沸腾，变为水蒸气.

（4）把1枚壹元的硬币放在桌面上，出现正面朝上.

（5）从次品率为5％的一批产品中，任取1个产品是次品.

（6）掷1颗骰子，出现偶数点或奇数点．

事件有：

随机事件，必然事件和不可能事件，用它们的定义来判断．也可用发生的概率来判断.

解：

（1）设A＝{洗衣机运行200小时无故障}．A可能发生，故A是随机事件．

（2）设B＝{连续3次射击全中}，事件B不一定就发生．故事件B是随机事件.

（3）设C＝{水变成水蒸气}，由物理学告诉我们，C是不可能事件.

（4）把硬币放在桌面上，那个面朝上不具有偶然性．不是随机事件.

（5）设D＝{任取一个产品是次品}，因为产品中有正品，也有次品，

所以事件D是随机事件．

（6）设E={出偶数点或奇数点}，则E是必然事件．

2.事件的关系与运算

例1对飞机进行两次射击，每次射击一弹．设A1={第一次射击击中飞机}，A2={第二次射击击中飞机}，试用A1，A2及它们的对立事件表示下列事件：

（1）B＝{两次都击中飞机}     

（2）C＝{两次都没有击中飞机}

（3）D＝{恰有一次击中飞机}   （4）E＝{至少有一次击中飞机}

这是事件概型与运算的问题，一方面要掌握事件的运算，还要熟悉运算的性质．

解：

（1）B＝A1A2

（2）C＝A1A2或C＝

（3）D＝A1A2＋A1A2或D＝（A1＋A1）－A1A2

（4）E＝A1＋A2或E＝

或E＝D＋A1A2

3.古典概型与概率性质

例1从0，1，2，3，4这5个数字中一次任取两个数，可以组成两位数的概率是多少？

一次从五个数中取出两个，组成二位数，显然这二个数字位置不同就组成不同的两个二位数，可见这是排列问题．即依次取两次数，每次取一个不放回，构成基本事件的总数．若能构成二位数，显然是十位数不能为0．个位可以任意．这样的排列是真的二位数．

解：

[方法1]一次从5个数中取出2个数，组成二位数，是排列问题．n=5×4=20

能组成两位数，“十位数”不能取0，“个位数”可任意取，故k＝4×4＝16

所求为p=

[方法2]全列法．用树枝图表示，如图． 

所以，n＝20，k＝16，故所求概率为p=

4.概率加法公式

例1根据调查所知，一个城镇居民三口之家每年至少用600元买粮食的概率是0.50，至少用4000元买副食的概率是0.64，至少用600元买粮食同时用4000元买副食的概率是0.27．试求一个三口之家至少用600元买粮食或用4000元买副食的概率．

这是求两个事件和的概率，用概率加法公式．

解：

设A＝{至少用600元购买粮食}；B={至少用4000元购买副食}．于是有

P（A）=0.50      P（B）=0.64      P（AB）=0.27

由加法公式，得P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.50＋0.64－0.27＝0.87

故一个三口之家每年至少用600元购买粮食或至少用4000元购买副食的概率是0.87．

例2在1~3500中随机地抽取一整数，问取到的整数不能被6或8除尽的概率是多少？

所求为取到的整数不能被6或8除尽的概率，也即至少能被6或8其一除尽的对立事件，而至少被6或8除尽是事件和的概率．

解：

设C＝{取到的整数不能被6或8除尽}   A＝{取到的整数被6除尽}

B＝{取到的整数被8除尽}，则C＝

P（C）=P（

）=1－P（A+B）

=1－[P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）]

因为P（A）=

，P（B）=

 ，P（AB）=

所以，P（C）=1－（

+

－

）=

5.条件概率与乘法公式

例1已知袋中有10件产品，其中3件次品，从中无放回地随机抽取3次，每次取1件，求取到的全是次品的概率．

若设Ai为第i次取到次品，显然所求是这三个事件的积的概率．由于是不放回地取产品，所以袋中产品总数和次品数都在变化．因此涉及到条件概率．

解：

用Ai表示“第i次取到次品”（i=1,2,3），用B表示“所取3件产品全

是次品”，于是有B=A1A2A3，

则P（A1）=

；P（A2∣A1）=

；P（A3∣A1A2）=

P（B）=P（A3∣A1A2）P（A2∣A1）P（A1）  

0.0083

六、事件的独立性

例1在一个系统中安装3个元器件，如图．每个元器件的可靠性是0.9．求系统的可靠性．

所谓系统的可靠性，就是有多大的概率能正常工作．三个元器件是并联的，所以只要有一个元器件工作，即系统工作．并联的元器件是独立工作的．

解：

设Ai={元器件Ai正常工作}（i=1,2,3），则P（Ai）=0.9 （i=1,2,3）

设B＝{系统正常工作}，则

P（B）＝P（A1+A2+A3）

=1－P（

）=1－P（A1A2A3）

A1，A2，A3独立．有P（B）＝1－P（A1）P（A2）P（A3）=1－（0.1）3=0999

例2设有甲、乙两批种子，它们的发芽率分别为0.9和0.7，在两批种子中任取1粒，求恰有1粒种子能发芽的概率．

恰有1粒发芽，那就可能是“甲的1粒发芽而乙的1粒未发芽，或者甲的1粒未发芽而乙的1粒发芽”，因此是事件和的概率问题，其中又涉及事件积的概念．

解：

设A={从甲批种子中任取一粒发芽}，

B={从乙批种子中任取一粒种子发芽}．

则P（A）=0.9，P（B）=0.7，于是，P（

）=0,1，P（

）=0.3．

又事件A，B互相独立，所以

和B，A和

等均相互独立．且A

与

B互不相容，所求为P（A

+

B）=P（A

）+P（

B）

=P（A）P（

）+P（

）P（B）=0.9×0.3＋0.1×0.7=0.34

七、全概率公式

例1假设用某种简化的试验来诊断癌症，经诊断，真正患有癌症者被诊断为患有癌症的概率是0.95，未患癌症者被诊断为未患癌症的概率是0.90，现对一批患癌症率为万分之四的人群进行癌症普查试验，求某人被诊断为患癌症的概率，并求此人真的患癌症的概率．

被诊断为患癌症，这一事件必与真正患癌症或未患癌症二事件相关，而且必居其一．所以要对事件B进行分解转移，这正是全概率公式的功能．另一问不难看出是条件概率．

解：

设B={某人被诊断为患癌症}A1＝{某人真的患癌症}，A2＝{某人未患癌症}显然B能且只能与A1，A2之一同时发生．已知P（A1）=0.0004   P（A2）=0.9996，由题设P（B∣A1）=0.95  P（B∣A2）=1－0.90=0.10

用全概率公式，得到P（B）=P（A1）P（B∣A1）+P（A2）P（B∣A2）

=0.0004×0.95+0.9996×0.10＝0.10034

第二问是求“某人被诊断为患癌症的情况下，某人真正患癌症”的概率．即求P（A1∣B）．用条件概率公式

P（A1∣B）＝

＝0.0038

此结果表明，诊断患癌症而真正患癌症的人不到千分之四．

二、综合练习

1.填空题

1.设A，B，C是三个随机事件，试用A，B，C的运算关系表述下述随机事件：

（1）{A，B至少一个发生，C不发生}=            ；

（2）{A，B，C都不发生}=             ；

（3）{A发生，B，C至少一个不发生}=               .

2.若A+B＝U，AB＝∅，则A是B的           ，P（A）=              . 

3.若

=             .

4.设二事件A，B，已知

则P（A+B）＝     .

5.已知产品的合格品率是90％，一级品率是72％，那么合格品中的一级品率是        .

6.设事件组A1，A2，…，An满足：

（1）                     ，且P（Ak）≠0，k=1,2,…,n；

（2）A1+A2+…+An=U（完全性），则对任一事件B都有

1．

（1）（A+B）

；

（2）

；（3）A（

）.2．对立事件，1－P（B）

3．P（B）；4．

；5．80%；6．A1，A2，…，An互不相容

2.单选题

1.抽查10件产品，设A={至少2件次品}，则A=（    ）

（A）{至多2件次品}；（B）{至多1件次品}；（C）{至多2件正品}；（D）{至少2件正品}

2.掷两颗均匀的骰子，出现“点数和为3”的概率是（    ）

3.据统计，某地区一年中下雨（记作事件A）的概率是

，刮风（三级以上的风）（记作事件B）的概率是

，既刮风又下雨的概率是

．则下列各式正确的是（   ）

4.设A，B为两个任意事件，则P（A+B）=（   ）

（A）P（A）+P（B）；（B）P（A）+P（B）－P（A）P（B）；

（C）P（A）+P（B）－P（AB）；（D）P（A）+P（B）[1－P（A）]

5.设A，B为两个随机事件，那么三个概率值P（A+B），P（AB），P（A）+P（B）由小到大的顺序是（   ）    

（A）P（AB）≤P（A+B）≤P（A）+P（B）（B）P（A）+P（B）≤P（AB）≤P（A+B）

（C）P（A+B）≤P（AB）≤P（A）+P（B）（D）P（AB）≤P（A）+P（B）≤P（A+B）

1.B    2.D    3.D    4.C    5.A

三、多选题

1.设二事件A，B满足AB=∅，则（      ）

（A） A与B互不相容；（B）P（A+B）=P（A）+P（B）

（C）P（AB）=0；（D）A与B独立 

2.设二事件A，B满足P（A∣B）=P（A）,则（   ）

（A）A与B互不相容；（B）A与B相互独立；（C）P（AB）=P（A）P（B）；（D）

3.若事件A,B满足A⊂B，则（    ）

（A）P（A+B）=P（A）；（B）P（B－A）=P（B）－P（A）

（C）P（AB）=P（A）；（D）P（A+B）=P（B）

4.若事件A与B独立，则（   ）成立.

（A）P（AB）＝P（A）P（B） ；（B）P（AB）=P（A）P（B）

（C）P（AB）=P（A）P（B） ；（D）P（AB）=P（A）P（B）

5.以下结论成立的是（   ）

（A） A+B=U,则P（A）+P（B）=1（B）U与∅是对立事件

（C）P（A+A）=P（A）（D）P（2A）=2P（A）

6.全概率公式叙述正确的是（ ）

（A）如果事件A1，A2，…，An满足：

（1）A1，A2，…，An互不相容，而且P（Ak）>0（k=1,2,…,n）；

（2）A1+A2+…+An=U（完全性），

则对任一事件B都有

（B）如果事件A1，A2，…，An满足：

（1）A1，A2，…，An互不相容，而且P（Ak）>0（k=1,2,…,n）；

（2）A1+A2+…+An=U（完全性），

则对任一事件B都有

（C）如果事件A1，A2，…，An满足：

（1）A1，A2，…，An互不相容，

（2）P（Ak）>0（k=1,2,…,n）；

则对任一事件B⊂A1+A2+…+An，都有

（D）如果事件A1，A2，…，An满足：

（1）A1，A2，…，An互不相容，而且P（Ak）≠0（k=1,2,…,n）；

（2）A1+A2+…+An=U（完全性），

7.已知事件A1，A2，…，An，下列关于事件A1，A2，…，An的各条件中不是全概率公式所要求的条件为（     ）

（A）事件A1，A2，…，An互不相容；（B）事件Ak满足P（Ak）>0（k=1,2,…,n）；

（C）事件A1，A2，…，An互相独立 ；（D）事件Ak（k=1,2,…,n）满足A1+A2+…+An=U

1.ABC  2.BCD  3.BCD  4.ABCD  5.BC  6.BCD  7.ABD

4.配伍题

1.关于概率公式，

（A）设事件A，B互为对立事件，则有   ①P（A+B）=P（A）+P（B）,P（A+B）≤1

（B） 设事件A，B互不相容，则有      ②P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A）P（B）

（C）设A，B是两个相互独立事件，则有  ③P（A）=1－P（B）

2.袋中有4个红球，2个白球，从中无放回地每次取1球，连续取两次，

（A） 第一次取得红球，第二次取得白球的概率是 ；①

（B） 两次都取到白球的概率是；②

（C） 两次取到红球的概率是；③

3.甲，乙二人打靶，令A＝{甲中靶}，B={乙中靶}，

（A）只有甲中靶表示为；①AB

（B）靶被射中表示为 ；②A+B

（C）甲，乙二人均中靶表示为 ；③AB     

4.做棉花方格育苗试验，每方格种两粒种子，棉籽的发芽率是0.9，则

（A） 两粒种子都发芽的概率是；①0.01

（B） 至少有一粒种子发芽的概率是；②0.81

（C） 两粒种子都不发芽的概率是；③0.99      

5.设A，B是两个随机事件，且P（A）=0.5，P（B）=0.4，P（AB）=0.3，则

（A） P（A+B）= ；①0.6；（B） P（A∣B）= ；②0.75 

（C） P（A∣B）=；③

6.设事件组A1，A2，A3，并设条件

（1）A1，A2，A3互不相容；

（2）A1+A2+A3=U（完全性）；

（3）A1，A2，A3互相独立；（4）P（Ak）>0，k=1,2,3；（5）A1，A2，A3⊂U

以下结论成立的或是完美搭配的（不需再化简，并用A1，A2，A3的概率表示）是

（A）若满足条件（4）+（5），则①P（A1A2A3）=（1－P（A1））（1－P（A2））（1－P（A3））

（B）若满足条件

（1）+

（2）+（4），则②P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）－P（A1A2）－P（A1A3）－P（A2A3）＋P（A1A2A3）

（C）若满足条件（3），则；③对任意事件B，有

1.（A）③\（B）①\（C）②；2.（A）②\（B）①\（C）③

3.（A）③\（B）②\（C）①；4.（A）②\（B）③\（C）①

5.（A）①\（B）②\（C）③；6.（A）②\（B）③\（C）①

5.是非题

1. 随机事件A、B满足运算律

2.从图书馆的书架上随机取下一本书，记A＝{数学书}，B={中文版书}.则事件AB表示外文版数学书.

3.如果事件A+B=U，则A，B互为对立事件.

4.已知P（A）=0.5，P（B）=0.4，则P（AB）=0.5×0.4. 

5.事件A与∅互不相容.      

6.设事件组A1，A2，…，An满足：

（1）A1，A2，…，An互不相容；

（2）A1+A2+…+An=U（完全性），则对任一事件B都有

1.×；  2.√； 3.×；  4.×；  5.√；  6.×；

6.计算题

1.设G表示认为购买股票是合适的投资，Z表示认为购买债券是合适的投资.用字母符号写出以下的表达式或用文字表述下列的表达式．

（1）认为购买股票是合适的投资，而购买债券不是合适的投资；

（2）P（G）；

（3）GZ.

2.某产品的设计长度为20cm，规定误差不超过0.5cm为合格品，今对一批产品进行测量，测得长度如下表：

长度（cm）

19.5以下

19.5～20.5

20.5以上

 件 数

   5

  68

  7

试计算这批产品的合格率.

3.已知某射手一次射击中靶为6,7,8,9,10环的概率分别是0.19，0.18，0.17，0.16，0.15.该射手射击一次，求

（1）   至少射中8环的概率；         

（2）至多射中8环的概率．

4.加工某产品需要两道工序，如果每道工序加工的产品合格的概率为0.95，求至少一道工序加工的产品不合格的概率．

5.期末要进行政治经济学和经济数学基础课程的考试，一个学生自己估计能通过数学考试的概率是0.6，能通过政治经济学考试的概率是0.7，至少通过两科之一的概率是0.8.求他两科考试都能通过的概率.又若他提前知道了政治经济学已通过，则他此时估计数学考试也能通过的概率是多少？

6.假设二事件A，B独立，已知P（A）=0.6，P（AB）=0.3，求P（B）．

7.假设事件A，B独立，已知P（B）=0.2，P（A+B）=0.3,求P（A）.

8.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂产量的45％，35％，20％．如果各车间的次品率分别为4％，2％，5％，现从待出厂的产品中任意抽取1件进行检验，求所抽产品是次品的概率．

1.

（1）GZ；

（2）认为购买股票不合适的概率．；（3）购买股票和债券都合适．

2．0.85；3.

（1）0.48    

（2）0.69；4.0.0975；5.≈0.71

6.0.5；7.P（A）=0.125；8.0.035

七.证明题

1.证明：

P（A－B）＝P（A）－P（AB）.

2.设事件A与B相互独立，证明：

事件A与B相互独立.

1.证明：

因为  A＝AU＝A（B+B）=AB+AB ；所以   A－B=A－AB；

所以P（AB）=P（A－AB）；有  P（A－B）＝P（A－AB）

又因为   AB⊂A

由概率的性质3，那么P（A－AB）=P（A）－P（AB），所以 P（A－B）＝P（A）－P（AB）

2.证明

事件A与B独立，有P（AB）＝P（A）P（B）

因为B=U－B  所以    AB=A（U－B）=AU－AB＝A－AB

于是有 P（AB）=P（A－AB）；又      AB⊂A

由概率的性质3：

P（A－AB）=P（A）－P（AB）

           =P（A）－P（A）P（B）（事件A，B独立）

            =P（A）[1－P（B）]=P（A）P（B）（事件B与B互为对立事件）

即P（AB）=P（A）P（B）；由事件独立的定义，可知事件A与B独立.