二次函数综合题训练题型汇总.docx
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二次函数综合题训练题型汇总
二次函数综合题训练典型题型汇总
求该二次函数的表达式;
写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
点P(mm)与点Q均在该函数图像上求m的值及点Q到x轴的距离
3、(07年海口模拟一)如图3,已知抛物线yax2bxc经过0(0,0),A(4,0),B(3,-3)
三点,连结AB,过点B作BC//x轴交该抛物线于点C.
(1)求这条抛物线的函数关系式•
(2)两个动点P、Q分别从OA两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动•其中,点P沿着线段0A向A点运动,点Q沿着折线AtBtC的路线向C点运动•设这两个动点运动的时间为t(秒)(0Vtv4),△PQA的面积记为S.
1求S与t的函数关系式;
2当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
并指出此时△PQA的形状;
3是否存在这样的t值,使得△PQA是直角三角形?
若存在,请直接写出此时P、Q两
点的坐标;若不存在,请说明理由
S(万元)
4、(07年海南省调研)某公司推出了一种高效环保型除草剂,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程•图4的二次函数图象(部分)刻车了该公司年初以来累积利润与时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).
根据图象提供信息,解答下列问题:
(1)公司从第几个月末开始扭亏为盈;
(2)累积利润S与时间t之间的函数关系式;
(3)求截止到几月末公司累积利润可达30万元;
(4)求第8个月公司所获利是多少元?
5、(07年海口模拟二)如图5,已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为E(1,0),与y轴的交点坐标为(0,1).
(1)求该抛物线的函数关系式•
(2)A、B是x轴上两个动点,且A、B间的距离为AB=4,A在B的左边,过A作ADLx轴
交抛物线于D,过B作BC丄x轴交抛物线于C.设A点的坐标为(t,0),四边形ABCD的面积为S.
1求S与t之间的函数关系式.
2求四边形ABCD勺最小面积,此时四边形ABCD是什么四边形?
3当四边形ABCD面积最小时,在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△PAE的周
长最小,若存在,请求出点P的坐标及这时△PAE的周长;若不存在,说明理由.
图5
备用图
(1)求该二次函数的关系式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为M,求四边形AOCM的面积;
3
(3)有两动点D、E同时从点O出发,其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC
2
按otAtC的路线运动,点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OtC宀A的路线运动,当D、E两点相遇时,它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时,ODE的面积为S.
1请问D、E两点在运动过程中,是否存在DE//OC,若存在,请求出此时t的值;
若不存在,请说明理由;
2请求出S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
3设S0是②中函数S的最大值,那么S0=
图11-1
图11-2
8、(05海南中考)如图8,抛物线yxbxc与x轴交于
A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上
滑动到什么位置时,满足Sxpa=8,并求出此时P点的坐标;
(3)设
(1)中抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上
是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;
若不存在,请说明理由•
22
9、(04海口中考)如图9、已知抛物线y=x+(2n-1)x+n-1(n为常数).
(1)当该抛物线经过坐标原点,并且顶点在第四象限时,
求出它所对应的函数关系式;
⑵设A是⑴所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧—
的一个动点,过A作x轴的平行线,交抛物线于另一点D,
再作AB丄x轴于B,DCLx轴于C.
1当BC=1时,求矩形ABCD的周长;
2试问矩形ABCD的周长是否存在最大值?
如果存在,请求出这个最大值,并指出此时A点的坐标;如果不存在,请说明理由
米M
10、(07本校模拟一)如图10,已知点A(0,8),在
抛物线ylx2上,以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形,
2
且项点B,C,D在抛物线上,AD//x轴,点D在第一象限.
(1)求BC的长;
⑵若点P是线段CD上一动点,当点P运动到何位置时,
△DAP的面积是7.
⑶连结ACE为AC上一动点,当点E运动到何位置时,直线OE将ABCD分成面积相等的两部分?
并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.
1、
(1)
(2)
(3)
2、解:
2)
3)
二次函数综合题训练题型集合参考答案
•••点A(3,4)在直线y=x+m上,
•4=3+m.
•m=1.
设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2.
2
•••点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)的图象上,
2
•4=a(3-1)2,
•a=1.
•所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.
即y=x2-2x+1.
设P、E两点的纵坐标分别为yp和yE.
•PE=h=yP-yE
2
=(x+1)-(x2-2x+1)
2
=-x+3x.
即h=-x2+3x(0vxv3).
存在.
解法1:
要使四边形DCEP是平行四边形,
•••点D在直线y=x+1上,
•••点D的坐标为(1,2),
2
•-x2+3x=2.
2
即x2-3x+2=0.
解之,得x1=2,x2=1(不合题意,舍去
必需有PE=DC.
1分)
2分)
3分)
4分)
5分)
(6分)
7分)
8分)
9分)
10分)
11分)
•当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.解法2:
要使四边形DCEP是平行四边形,设直线CE的函数关系式为y=x+b.
•/直线CE经过点C(1,0),
•0=1+b,
•b=-1.
•直线
CE的函数关系式为y=x-1.
xi
x22xi
得x2-3x+2=0.
必需有BP//CE.
12分)
13分)
14分)
11分)
12分)
解之,得xi=2,x2=i(不合题意,舍去
•当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.
13分)
14分)
(1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代入yax24xc得
2
玄J"4
(1)C,解得
a3243
对称轴为x2;
c.
顶点坐标为
ai,•二次函数的表达式为y
c6.
2,-10).
x24x
将(mm代入
yx24x
6,
得mm2
4m6,
解得mii,m26.
•叶6.T点P与点
•/m>0,・.mi
Q关于对称轴x
1不合题意,
2对称,•••点
舍去.
Q到x轴的距离为
6.
3、
(1)v抛物线yax2bxc经过0(0,0),A(4,0),B(3,,3),
16a4b0
9a3b,3.解得a-33,b
c0
43,c0.•…
3
••…(2分)
•所求抛物线的函数关系式为
y—x2
3
3
(3分)
(注:
用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.)
由tan/BAE=BB3,得/BAE=60°.
AE
(i)当点Q在线段AB上运动,即
过点Q作QFLx轴于F,贝UQF=_2t,
2
0vtw2时,
(4分)
1
•••S=丄PA-QF
2
2(4
3
t)
3t.
(ii)当点Q在线段BC上运动,即
QA=t,PA=4-1.
2WtV4时,Q点的纵坐标为-3,PA=4-t.
0,•当t=2时,S有最大值,
最大值
(9分)
(2[①过点B作BELx轴于E,贝UBE=3,AE=1,AB=2.
(ii)当2WtV4时,
、•3
•••S随着t的增大而减小.
•当t=2时,S有最大值,最大值S22.33
2
综合(i)(i),当t=2时,S有最大值,最大值为
△PQA是等边三角形.
3存在.
当点Q在线段AB上运动时,要使得△PQA是直角三角形,必须使得/PQA=90这时PA=2QA即4-t=2t,•t4.
•••P、Q两点的坐标分别为R(4,0),Q(l°,空
333
②S4t28t204(t1)216.
(8分)
……(13分)
5-t和t,要使得厶PQA
当点Q在线段BC上运动时,QP两点的横坐标分别为
此时AD=BC=AB=DC=4四边形ABCD是正方形.(10分)
③当四边形ABCD的面积最小时,四边形ABCD是正方形,
其对角线BD上存在点P,使得△PAE的周长最小.(11分)
•••AE=4(定值),
•••要使△PAE的周长最小,只需PA+PE最小.
•••此时四边形ABCD是正方形,点A与点C关于BD所在直线对称,
•由几何知识可知,P是直线CE与正方形ABCD寸角线BD的交点.
•••点E、BCD的坐标分别为(1,0)(3,0)(3,4)(-1,4)
•直线BDEC的函数关系式分别为:
y=-x+3,y=2x-2.
•P(5,4)(13分)
33
在Rt△CEB中,CE=224225,
•△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE2?
5.(14分)
6、解:
(1)令y=0,解得X11或x3(1分)
•A(-1,0)B(3,0);(1分)
将C点的横坐标x=2代入yX2x3得y=-3,.・.C(2,-3)(1分)
•直线AC的函数解析式是y=-x—1
(2)设P点的横坐标为x(-1x的范围不写不扣分)
则P、E的坐标分别为:
P(x,-x-1),(1分)
2
E((x,x2x3)(1分)
•••P点在E点的上方,PE=(x1)(x22x3)x2x2(2分)
19
•当x—时,PE的最大值=一(1分)
24
(3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(3,0),F3(4.7),F4(47)
7、解:
(1)令x0,则y4;
令y0则x3.•A3,0、C0,4
•••二次函数的图象过点C0,4,
•可设二次函数的关系式为
2
yaxbx4…1分
又•••该函数图象过点A3,0、B1,0
09a3b4=2分
48
•所求二次函数的关系式为
y
4
42x
3
(2)•
42yx
3
8
x
3
4
d216
一
x1
3
3
•顶点
M的坐标为
一—4分
过点M作MFx轴于F
1c
“16
1,
16110
3
1
4
2
3
2
3
•四边形
AOCM勺面积为10
-—6分
OACA上,此时1…S四边形AOCMSAFMS梯形FOCM
(3[①不存在DE//OC…7分
•••若DE//OC则点DE应分别在线段
解之得a3,b3
ii当15
③So243
80
10、
(1)•••四边形ABCD是平行四边形,
•AD=BC.
•
A(0,8),
ABCD
又•D点在第一象限,
P(X2,y2),
•y2=-.
2
17.D/17
•X2=.•P(,
66
•x1=4,「.BC=4.
(2)•C(2,2),D(4,8),
•直线CD的函数关系式为y=3x-4.设点P在线段CD上,
--y2=3x2-4.
•/AD=BC=4,
•1x4(8-y2)=7,
2
9
•3x2-4=-,
2
即当点P在(乂,-)的位置时,△DAP的面积是7.
62
(3)连接AC当点E运动到AC的中点(或AC与BD的交点)时,即E点为的中心,其坐标为E(1,5),直线OE将ABCD分成面积相等的两部分.
设直线OE的函数关系式为y=kx,
•k=5,•直线OE的函数关系式为y=5x.
11、
(1)根据题目条件,ABC的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).
将BC的坐标代入yax2c,得6
0
解得a—,c6•
50
•••抛物线的表达式是
32
x
50
6.
⑵可设N(5,yN),
干是32
于是yN5
50
45
c,
从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.
(3)设DE是隔离带的宽,EG是三辆车的宽度和,
则G点坐标是(7,0)(7=2十2+2X3).
过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则yH_27263丄3.
5050
根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车