二次函数综合题型分类训练.docx

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二次函数综合题型分类训练

专题一  二次函数之面积、周长最值问题 

1、如图，抛物线

与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3． 

（1）求抛物线的解析式。

（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线y=－x2+bx+c与一直线相交于A（－1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． 

（1）抛物线及直线AC的函数关系式； 

（2）设点M在对称轴上一点，求使MN+MD的值最小时的M的坐标； 

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

3、如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=

． 

（1）求抛物线的解析式； 

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；

4、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上． 

（1）求抛物线的解析式； 

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 

（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

5、如图12，已知二次函数

的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且OC2=OA·OB． 

（1）求c的值； 

（2）若△ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；     

（3）设D是

（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB. 

（1）求点B的坐标； 

（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； 

（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由. 

（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

专题二  二次函数之等腰三角形问题

1、如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC△的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上， 点C在y轴上，且AC=BC．

（1）求抛物线的对称轴； 

（2）写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式； 

（3）探究：

若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形．若存在， 求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． 

（1）求抛物线的解析式； 

（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 

（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

3、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C． 

（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标； 

（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小； 

（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．

4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1． 

（1）求抛物线的解析式； 

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标； 

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

5、如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1． 

（1）求抛物线对应的函数关系式； 

（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． 

①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； 

②△AON能否为等腰三角形？

若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

6、如图，已知抛物线y=﹣

x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． 

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； 

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； 

（3）试判断△AOC与△COB是否相似？

并说明理由； 

（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？

若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

7、已知Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点在y轴正半轴上。

如图1 

（1）求线段OA，OB的长和经过点A，B的抛物线的解析式； 

（2）如图2,点D的坐标为（2，0）,点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0）,连接DP交BC于点E。

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标； 

②连接CD，CP，如图3，△CDP是否有最大面积？

若有，求出它的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

专题三  二次函数之面积问题 

1、如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3,3）． 

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式； 

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6,m），求m的值和这个一次函数的解析式； 

（3）第

（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式； 

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：

3S1＝2S？

若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2、阅读材料：

    如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，

外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在

△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：

，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.  解答下列问题：

 如图，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B. 

（1）求抛物线和直线AB的解析式； 

（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB； 

 （3）是否存在一点P，使 

，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

专题四二次函数之相似三角形问题

1、如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过A（-1,0），B（4,0），C（0,2）三点。

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？

若存在，试求出E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，链接BD，试求出∠BDA的度数。

2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。

已知折叠

，且

。

（1）判断

与

是否相似？

请说明理由；

（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；

（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？

如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

3、如图，直线y=－x+3与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线y=ax2

+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2， 

（1）求抛物线解析式； 

（2）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 

（3）D点为第四象限的抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴，交CB于E，垂足于H，过D作DF⊥CB，垂足为F，交x轴于G，试问是否存在这样的点D，使得△DEF的周长恰好被x轴平分？

若能，请求出D点坐标；若不能，请说明理由. 

专题五二次函数之四边形问题

1、

如图，对称轴为直线

的抛物线经过点 A（6，0）和B（0，4）． 

（1）求抛物线解析式及顶点坐标； 

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 

     ①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

     ②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？

若存在，求出点E

的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图，已知与x轴交于点（1，0）A，和（5，0）B，的抛物线

的顶点为C（3，4），抛物线

与

关于x轴对称，顶点为

． 

（1）求抛物线

的函数关系式； 

（2）已知原点O，定点D（0，4），

上的点P与

上的点

始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点

为顶点的四边形是平行四边形？

（3）在

上是否存在点M，使ABM△是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？

若存，

求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

3、如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x-m）2-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连接BD，做AE∥x轴，DE∥y轴，

（1）当m=2时，求点B的坐标；

（2）求DE的长？

（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？

②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

4、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x1、x2恰是方程x2-2x-3=0的两根，且sin∠OBC＝

（1）求该抛物线的解析式；（y=－x2＋2x＋3 ）

（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由； 

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

5、已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（x1，0）、B（-1，0）且x1＞0，AO2+BO2=10，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线的顶点． 

（1）求抛物线的解析式； 

（2）证明△ADC是直角三角形； 

（3）第一象限内，在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？

若存在，求出点E的坐标．

6、如图，已知：

直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点. 

（1）求抛物线的解析式; 

（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标； 

（3）

在

（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？

如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

7、如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. 

（1）求A、B、C的坐标； 

（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积； 

（3）在

（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FC=

DQ，求点F的坐标.