人教A版版必修四导学案设计含答案第一章111.docx

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人教A版版必修四导学案设计含答案第一章111

2019版数学精品资料（人教版）

1．1.1　任意角

[学习目标]　1.结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义.2.掌握象限角的概念.3.掌握终边相同的角的表示方法．

知识点一　任意角的概念

（1）角的概念：

角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．

（2）按照角的旋转方向，分为如下三类：

类型

定义

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角

一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角

思考　经过1小时，时针转过多少度？

答案　－30°.

知识点二　象限角

如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

思考　锐角属于第几象限角？

钝角又属于第几象限角？

答案　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．

知识点三　终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

思考1　下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.

终边所在的位置

角的集合

x轴正半轴

{α|α＝k·360°，k∈Z}

x轴负半轴

{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}

y轴正半轴

{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}

y轴负半轴

{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}

思考2　下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.

α终边所在

的象限

角α的集合

第一象限

{α|k·360°<α

第二象限

{α|k·360°＋90°<α

第三象限

{α|k·360°＋180°<α

第四象限

{α|k·360°－90°<α

题型一　终边相同的角与象限角

例1　已知角α＝2010°.

（1）把α改写成k·360°＋β（k∈Z,0°≤β<360°）的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.

解　

（1）由2010°除以360°，得商为5，余数为210°.

∴取k＝5，β＝210°，

α＝5×360°＋210°.

又β＝210°是第三象限角，

∴α为第三象限角．

（2）与2010°终边相同的角为

k·360°＋2010°（k∈Z）．

令－360°≤k·360°＋2010°<720°（k∈Z），

解得－6

≤k<－3

（k∈Z）．

所以k＝－6，－5，－4.

将k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值为－150°，210°，570°.

反思与感悟　1.把任意角化为α＋k·360°（k∈Z且0°≤α<360°）的形式，关键是确定k.可以用观察法（α的绝对值较小）也可用竖式除法．

2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．

跟踪训练1　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．

（1）－150°；

（2）650°；（3）－950°15′.

解　

（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．

（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．

（3）因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．

题型二　等分角所在象限的判断

例2　已知α是第二象限角，试确定2α，

的终边所在的位置．

解　因为α是第二象限角，

所以k·360°＋90°<α

所以2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°，k∈Z，

所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．

因为k·360°＋90°<α

所以k·180°＋45°<

所以当k＝2n，n∈Z时，

n·360°＋45°<

即

的终边在第一象限；

当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°<

即

的终边在第三象限．

所以

的终边在第一或第三象限．

反思与感悟　若已知角α是第几象限角，判断

，

等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论，考查角的终边的位置．

跟踪训练2　已知α为第三象限角，则

所在的象限是（　　）

A．第一或第二象限

B．第二或第三象限

C．第一或第三象限

D．第二或第四象限

答案　D

解析　由于k·360°＋180°<α

得

·360°＋90°<

<

·360°＋135°.

当k为偶数时，

为第二象限角；

当k为奇数时，

为第四象限角．

题型三　终边相同角的应用

例3　

已知，如图所示，

（1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．

解　

（1）终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．

终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．

（2）终边落在阴影部分（含边界）角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．

反思与感悟　解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．

跟踪训练3　

如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．

解　设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．

①{α|k·360°＋30°≤α

②{α|k·360°＋210°≤α

∴角α的集合应当是集合①与②的并集：

{α|k·360°＋30°≤α

∪{α|k·360°＋210°≤α

＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}

∪{α|（2k＋1）180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或（2k＋1）·180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}

＝{α|n·180°＋30°≤α

已知角α所在象限，求

所在象限问题

例4　已知α是第一象限角，则角

的终边可能落在______．（填写所有正确的序号）

①第一象限　②第二象限　③第三象限　④第四象限

解析　∵α是第一象限角，

∴k·360°<α

∴

·360°<

<

·360°＋30°.

当k＝3m，m∈Z时，m·360°<

∴角

的终边落在第一象限．

当k＝3m＋1，m∈Z时，m·360°＋120°<

∴角

的终边落在第二象限．

当k＝3m＋2，m∈Z时，m·360°＋240°<

∴角

的终边落在第三象限，故选①②③.

答案　①②③

点评　解决此类问题，明确α的范围之后，进一步确定出mα或

的范围，再根据k与m的关系进行讨论（例如确定

时出现了45°＋

·360°<

<90°＋

·360°，其中k与2有两种关系，即k＝2n，或k＝2n＋1；同理确定

时出现了30°＋

·360°<

<60°＋

·360°，其中k与3有三种关系，即k＝3n，k＝3n＋1，或k＝3n＋2）．

1．－361°的终边落在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

答案　D

解析　因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故为第四象限角，故选D.

2．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（　　）

A．A＝BB．B＝C

C．A＝CD．A＝D

答案　D

解析　直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．

3．将－885°化为α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z）的形式是________________．

答案　195°＋（－3）×360°

4．与－1692°终边相同的最大负角是________．

答案　－252°

解析　∵－1692°＝－5×360°＋108°，

∴与108°终边相同的最大负角为－252°.

5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.

解　终边落在x轴上的角的集合：

S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；

终边落在y轴上的角的集合：

S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；

∴终边落在坐标轴上的角的集合为：

S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}

＝{β|β＝2k·90°或β＝（2k＋1）·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．

1．象限角的概念是以“角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合”为前提的，否则不能从终边位置来判断某角是第几象限角．

2．“锐角”，“0°～90°的角”，“小于90°的角”，“第一象限角”这几个概念注意区分：

锐角是0°<α<90°；0°～90°的角是0°≤α<90°；小于90°的角为α<90°；第一象限的角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}．

3．关于终边相同角的认识

一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

注意：

（1）α为任意角．

（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）．

（3）相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．

（4）k∈Z这一条件不能少．

一、选择题

1．若α＝45°＋k·180°（k∈Z），则α的终边在（　　）

A．第一或第三象限B．第二或第三象限

C．第二或第四象限D．第三或第四象限

答案　A

2．若α是第四象限角，则180°－α是（　　）

A．第一象限角B．第二象限角

C．第三象限角D．第四象限角

答案　C

解析　可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．

3．与－460°角终边相同的角的集合是（　　）

A．{α|α＝k·360°＋460°，k∈Z}

B．{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}

C．{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}

D．{α|α＝k·360°－260°，k∈Z}

答案　C

解析　∵－460°＝－2×360°＋260°，

∴－460°与角260°终边相同，

∴与－460°角终边相同的角的集合是

{α|α＝k·360°＋260°，k∈Z}．

4．给出下列四个命题：

①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°角是第一象限角，其中真命题有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

答案　D

解析　－75°是第四象限角；225°是第三象限角；475°＝360°＋115°是第二象限角；－315°＝－360°＋45°是第一象限角，故①②③④全正确，选D.

5．以下命题正确的是（　　）

A．第二象限角比第一象限角大

B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则AB

C．若k·360°<α

D．终边在x轴上的角可表示为k·360°（k∈Z）

答案　B

解析　A不正确，如－210°<30°.

在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z.

∴AB，∴B正确．

又C中，α为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，

∴C不正确．显然D不正确．

6．集合M＝

，P＝x|x＝

±90°，k∈Z，则M、P之间的关系为（　　）

A．M＝PB．MPC．MPD．M∩P＝∅

答案　B

解析　对集合M来说，x＝（2k±1）·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝（k±2）·45°，即45°的倍数．

二、填空题

7．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．

答案　240°

解析　∵－3000°＝－9×360°＋240°，

∴与－3000°角终边相同的最小正角为240°.

8．如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是________________．

答案　{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}

9．若α＝1690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________.

答案　－110°或250°

解析　∵α＝1690°＝4×360°＋250°，

∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z，

∵－360°<θ<360°，∴k＝－1或0.

∴θ＝－110°或250°.

10．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________.

答案　{－126°，－36°，54°，144°}

解析　当k＝－1时，α＝－126°；

当k＝0时，α＝－36°；

当k＝1时，α＝54°；

当k＝2时，α＝144°.

∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．

三、解答题

11.

如图所示，写出终边落在直线y＝

x上的角的集合（用0°到360°间的角表示）．

解　终边落在y＝

x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝

x（x≤0）上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，

于是终边在y＝

x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}

＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}

＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．

12．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解　由题意可知，

α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，

∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.

取k＝1，得α＋β＝80°.①

∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.

∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°.②

由①②，得α＝15°，β＝65°.

13.

如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1,0）出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过的角度为θ（0°<θ<180°），经过2s达到第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ.

解　∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ

则一定有k＝0，于是90°<θ<135°.

又∵14θ＝n·360°（n∈Z），

∴θ＝

，从而90°<

<135°，

∴

，∴n＝4或5.当n＝4时，θ＝

；

当n＝5时，θ＝

.