版高中数学第一章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4152doc.docx
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版高中数学第一章三角函数111任意角导学案新人教A版必修4152doc
1.1.1 任意角
学习目标
1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.
知识点一 角的相关概念
思考1 用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？
答案 角的构成要素有始边、顶点、终边.
思考2 将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？
答案 有顺时针和逆时针两种旋转方向.
思考3 如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
答案 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.
梳理
（1）角的概念：
角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边.
（2）按照角的旋转方向，分为如下三类：
类型
定义
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
知识点二 象限角
思考 把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边（除端点外）可能落在什么位置？
答案 终边可能落在坐标轴上或四个象限内.
梳理 在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.
象限角：
终边在第几象限就是第几象限角；
轴线角：
终边落在坐标轴上的角.
知识点三 终边相同的角
思考1 假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？
答案 它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.
思考2 如何表示与60°终边相同的角？
答案 60°＋k·360°（k∈Z）.
梳理 终边相同角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
类型一 任意角概念的理解
例1
（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中正确说法的序号为.（把正确说法的序号都写上）
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是.
答案
（1）①
（2）－120°
解析
（1）锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.
（2）分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.
反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.
跟踪训练1 写出下列说法所表示的角.
（1）顺时针拧螺丝2圈；
（2）将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.
解
（1）顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.
（2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.
类型二 象限角的判定
例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
（1）－150°；
（2）650°；（3）－950°15′.
解
（1）因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.
（2）因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.
（3）因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角.
引申探究
确定
（n∈N*）的终边所在的象限.
解 一般地，要确定
所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次标上1，2，3，4，…，4n，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，
的终边所落在的区域，如此，
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.
反思与感悟 判断象限角的步骤：
（1）当0°≤α<360°时，直接写出结果；
（2）当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β（k∈Z，0°≤β<360°），转化为判断角β所属的象限.
跟踪训练2 下列各角分别是第几象限角？
请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来.
（1）60°；
（2）－21°.
解
（1）60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋（－1）×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
（2）－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.
类型三 终边相同的角
命题角度1 求与已知角终边相同的角
例3 在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角.
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；（3）[360°，720°）的角.
解 与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°（k∈Z），
（1）由－360°＜k·360°＋10030°＜0°，得－10390°＜k·360°＜－10030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.
（2）由0°＜k·360°＋10030°＜360°，得－10030°＜k·360°＜－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.
（3）由360°≤k·360°＋10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.
反思与感悟 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
跟踪训练3 写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.
解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}.
∵－720°≤β＜360°，
即－720°≤k·360°－1910°＜360°（k∈Z），
∴3
≤k＜6
（k∈Z），故取k＝4，5，6.
当k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
当k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
当k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.
命题角度2 求终边在给定直线上的角的集合
例4 写出终边在直线y＝－
x上的角的集合.
解 终边在y＝－
x（x<0）上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝－
x（x≥0）上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线y＝－
x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝－
x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}.
反思与感悟 求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并.
跟踪训练4 写出终边在直线y＝
x上的角的集合.
解 终边在y＝
x（x≥0）上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；
终边在y＝
x（x<0）上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.
因此，终边在直线y＝
x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，
即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y＝
x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.
类型四 区域角的表示
例5 如图所示.
（1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
解
（1）终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.
（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.
反思与感悟 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.
跟踪训练5 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.
解 设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°＋30°≤α②{α|k·360°＋210°≤α∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即
S＝{α|k·360°＋30°≤α∪{α|k·360°＋210°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}
∪{α|（2k＋1）180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或（2k＋1）·180°＋30°≤α<（2k＋1）180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α1.下列说法正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等
B.钝角一定是第二象限角
C.第一象限角一定不是负角
D.小于90°的角都是锐角
答案 B
2.与－457°角终边相同的角的集合是（ ）
A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
答案 C
解析 －457°＝－2×360°＋263°，故选C.
3.2017°是第象限角.
答案 三
解析 因为2017°＝5×360°＋217°，故2017°是第三象限角.
4.与－1692°终边相同的最大负角是.
答案 －252°
解析 ∵－1692°＝－4×360°－252°，
∴与－1692°终边相同的最大负角为－252°.
5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
解 终边落在x轴上的角的集合：
S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：
S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.
∴终边落在坐标轴上的角的集合：
S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}
＝{β|β＝2k·90°或β＝（2k＋1）·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.
1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.
2.关于终边相同的角的认识
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
注意：
（1）α为任意角；
（2）k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋（－α）；
（3）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；
（4）k∈Z这一条件不能少.
课时作业
一、选择题
1.把－1485°化成k·360°＋α（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（ ）
A.315°－5×360°B.45°－4×360°
C.－315°－4×360°D.－45°－10×180°
答案 A
解析 可以估算－1485°介于－5×360°与－4×360°之间.
∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°.
2.若α是第四象限角，则180°－α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案 C
解析 可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.
3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是（ ）
A.A＝BB.B＝C
C.A＝CD.A＝D
答案 D
解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.
4.时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是（ ）
A.80°B.－80°
C.960°D.－960°
答案 D
解析 分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×（2＋
）＝－960°.
5.若α与β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为（ ）
A.2kπ＋β（k∈Z）B.2kπ－β（k∈Z）
C.kπ＋β（k∈Z）D.kπ－β（k∈Z）
答案 B
解析 ∵α与β的终边关于x轴对称，
∴α＋β＝2kπ（k∈Z），
∴α＝2kπ－β（k∈Z）.故选B.
6.设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则（ ）
A.A∩B＝∅B.AB
C.BAD.A＝B
答案 D
解析 对于集合A，
α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°
或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°
＝45°＋（2k＋1）·90°.
∵k∈Z，
∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，
∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，
又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，
∴A＝B.故选D.
二、填空题
7.已知角α＝－3000°，则与α终边相同的最小正角是.
答案 240°
解析 与α＝－3000°终边相同的角的集合为
{θ|θ＝－3000°＋k·360°，k∈Z}，
令－3000°＋k·360°>0°，解得k>
，
故当k＝9时，θ＝240°满足条件.
8.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.
答案 {α|α＝120°＋k·360°，k∈Z} {315°，－45°}
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
解析 终边落在OA的位置上的角的集合是
{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}.
终边落在OB的位置上的角的集合是
{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}，
取k＝0，－1得α＝315°，－45°.
故终边落在OB的位置上，
且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}.
终边落在阴影部分的角的集合是
{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
9.若α＝k·360°＋45°，k∈Z，则
是第象限角.
答案 一或三
解析 ∵α＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴
＝k·180°＋22.5°，k∈Z.
当k为偶数，即k＝2n，n∈Z时，
＝n·360°＋22.5°，n∈Z，∴
为第一象限角；
当k为奇数，即k＝2n＋1，n∈Z时，
＝n·360°＋202.5°，n∈Z，∴
为第三象限角.
综上，
是第一或第三象限角.
10.集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝.
答案 {－126°，－36°，54°，144°}
解析 当k＝－1时，α＝－126°；
当k＝0时，α＝－36°；
当k＝1时，α＝54°；
当k＝2时，α＝144°.
∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}.
三、解答题
11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A（1，0）出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1s内转过的角度为θ（0°<θ<180°），经过2s到达第三象限，经过14s后又回到了出发点A处，求θ.
解 ∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ则一定有k＝0，于是90°<θ<135°.
又∵14θ＝n·360°（n∈Z），
∴θ＝
，从而90°<
<135°，
∴
，∴n＝4或5.
当n＝4时，θ＝
；
当n＝5时，θ＝
.
12.已知角β的终边在直线
x－y＝0上.
（1）写出角β的集合S；
（2）写出集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素.
解
（1）如图，直线
x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.
（2）由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n·180°<720°，n∈Z.解得－
，n∈Z，所以n＝－2，－1，0，1，2，3.
所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为
60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；
60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.
13.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小.
解 由题意可知，
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得α＝15°，β＝65°.
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