XX年九年级数学上第二十一章一元二次方程导学案人教版DOC范文整理.docx
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XX年九年级数学上第二十一章一元二次方程导学案人教版DOC范文整理
XX年九年级数学上第二十一章一元二次方程导学案(人教版)
第二十一章 一元二次方程
1.1 一元二次方程
了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题.
.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0及有关概念.
.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.
重点:
一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.
难点:
由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项.
一、自学指导.
问题1:
如图,有一块矩形铁皮,长100c,宽50c,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xc,则盒底的长为__c__,宽为__c__.列方程__•=3600__,化简整理,得__x2-75x+350=0__.①
问题2:
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛?
分析:
全部比赛的场数为__4×7=28__.
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他____个队各赛1场,所以全部比赛共x2__场.列方程__x2=28__,化简整理,得__x2-x-56=0__.②
探究:
方程①②中未知数的个数各是多少?
__1个__.
它们最高次数分别是几次?
__2次__.
归纳:
方程①②的共同特点是:
这些方程的两边都是__整式__,只含有__一个__未知数,并且未知数的最高次数是__2__的方程.
.一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__,只含有__一__个未知数,并且未知数的最高次数是__2__的方程,叫做一元二次方程.
.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:
ax2+bx+c=0.
这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax2__是二次项,__a__是二次项系数,__bx__是一次项,__b__是一次项系数,__c__是常数项.
点拨精讲:
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件,不能漏掉.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.
.判断下列方程,哪些是一元二次方程?
x3-2x2+5=0;
x2=1;
x2-2x-14=x2-2x+35;
2=3;
x2-2x=x2+1;ax2+bx+c=0.
解:
.
点拨精讲:
有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然是整式方程.
.将方程3x=5化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:
去括号,得3x2-3x=5x+10.移项,合并同类项,得3x2-8x-10=0.其中二次项系数是3,一次项系数是-8,常数项是-10.
点拨精讲:
将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.
一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.
.求证:
关于x的方程x2+2x+1=0,无论取何值,该方程都是一元二次方程.
证明:
2-8+17=2+1,
∵2≥0,
∴2+1>0,即2+1≠0.
∴无论取何值,该方程都是一元二次方程.
点拨精讲:
要证明无论取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明2-8+17≠0即可.
.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
解:
将上面的这些数代入后,只有-2和-3满足等式,所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.
点拨精讲:
要判定一个数是否是方程的根,只要把这个数代入等式,看等式两边是否相等即可.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.
.判断下列方程是否为一元二次方程.
-x2=0;2=3y;
x2-3x-1=0;1x2-2x=0;
=2;9x2=5-4x.
解:
是;不是;是;
不是;不是;是.
.若x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,求a的值.
解:
∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根,
∴4a+8-5=0,
解得a=-34.
.根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x.
解:
4x2=25,4x2-25=0;x=100,x2-2x-100=0.
学生总结本堂课的收获与困惑.
.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0,特别强调a≠0.
.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.
1.2 解一元二次方程
1.2.1 配方法
使学生会用直接开平方法解一元二次方程.
渗透转化思想,掌握一些转化的技能.
重点:
运用开平方法解形如2=n的方程;领会降次——转化的数学思想.
难点:
通过根据平方根的意义解形如x2=n的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如2=n的方程.
一、自学指导.
问题1:
一桶某种油漆可刷的面积为1500d2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗?
设正方体的棱长为xd,则一个正方体的表面积为__6x2__d2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:
__10×6x2=1500__,
由此可得__x2=25__,
根据平方根的意义,得x=__±5__,
即x1=__5__,x2=__-5__.
可以验证__5__和-5都是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__d.
探究:
对照问题1解方程的过程,你认为应该怎样解方程2=5及方程x2+6x+9=4?
方程2=5左边是一个整式的平方,右边是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x-1=±5__,即将方程变为__2x-1=5和__2x-1=-5__两个一元一次方程,从而得到方程2=5的两个解为x1=__1+52,x2=__1-52__.
在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成2=4,进行降次,得到__x+3=±2__,方程的根为x1=__-1__,x2=__-5__.
归纳:
在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p或2=p的形式,那么可得x=±p或x+n=±p.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.
解下列方程:
y2=8;
2=50;
+4=0;4x2-4x+1=0.
解:
2y2=8,
2=50,
y2=4,
=25,
y=±2,
x-8=±5,
∴y1=2,y2=-2;
x-8=5或x-8=-5,
∴x1=13,x2=3;
+4=0,
x2-4x+1=0,
=-4<0,
=0,
∴原方程无解;
x-1=0,
∴x1=x2=12.
点拨精讲:
观察以上各个方程能否化成x2=p或2=p的形式,若能,则可运用直接开平方法解.
一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.
.用直接开平方法解下列方程:
=7;y2+2y+1=24;
n2-24n+16=11.
解:
-1±73;-1±26;4±113.
点拨精讲:
运用开平方法解形如2=p的方程时,最容易出错的是漏掉负根.
.已知关于x的方程x2+x-3=0的一个根是1,求a的值.
解:
±1.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.
用直接开平方法解下列方程:
-6=0;x2-4x+4=5;
x2+6x+1=4;36x2-1=0;
x2=81;2=25;
x2+2x+1=4.
解:
x1=1+2,x2=1-2;
x1=2+5,x2=2-5;
x1=-1,x2=13;
x1=16,x2=-16;
x1=92,x2=-92;
x1=0,x2=-10;
x1=1,x2=-3.
学生总结本堂课的收获与困惑.
.用直接开平方法解一元二次方程.
.理解“降次”思想.
.理解x2=p或2=p中,为什么p≥0?
学习至此,请使用本课时对应训练部分.
1.2.1 配方法
.会用配方法解数字系数的一元二次方程.
.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.
重点:
掌握配方法解一元二次方程.
难点:
把一元二次方程转化为形如2=b的过程.
.填空:
x2-8x+__16__=2;
x2+12x+__4__=2;
x2+px+__2__=2.
.若4x2-x+9是一个完全平方式,那么的值是__±12__.
一、自学指导.
问题1:
要使一块矩形场地的长比宽多6,并且面积为162,场地的长和宽分别是多少米?
设场地的宽为x,则长为____,根据矩形面积为162,得到方程__x=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.
探究:
怎样解方程x2+6x-16=0?
对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?
解:
移项,得x2+6x=16,
两边都加上__9__即__2__,使左边配成x2+bx+2的形式,得
__x2__+6__x__+9=16+__9__,
左边写成平方形式,得
__2=25__,
开平方,得
__x+3=±5__,
即__x+3=5__或__x+3=-5__,
解一次方程,得x1=__2__,x2=__-8__.
归纳:
通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.
问题2:
解下列方程:
x2-1=5;
2-9=0;
x2+16x+16=9.
解:
x=±2;x1=-12,x2=52;
x1=-72,x2=-12.
归纳:
利用配方法解方程时应该遵循的步骤:
把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;
把方程的常数项通过移项移到方程的右边;
方程两边同时除以二次项系数a;
方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.
.填空:
x2+6x+__9__=2;
x2-x+__14__=2;
x2+4x+__1__=2.
.解下列方程:
x2+6x+5=0;2x2+6x+2=0;
+2-4=0.
解:
移项,得x2+6x=-5,
配方得x2+6x+32=-5+32,2=4,
由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5.
移项,得2x2+6x=-2,
二次项系数化为1,得x2+3x=-1,
配方得x2+3x+2=2=54,
由此可得x+32=±52,即x1=52-32,
x2=-52-32.
去括号,整理得x2+4x-1=0,
移项得x2+4x=1,
配方得2=5,
x+2=±5,即x1=5-2,x2=-5-2.
点拨精讲:
解这些方程可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式.
一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.
如图,在Rt△ABc中,∠c=90°,Ac=8,cB=6,点P,Q同时由A,B两点出发分别沿Ac,Bc方向向点c匀速移动,它们的速度都是1/s,几秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半?
解:
设x秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半.根据题意可列方程:
=12×12×8×6,
即x2-14x+24=0,
=25,
x-7=±5,
∴x1=12,x2=2,
x1=12,x2=2都是原方程的根,但x1=12不合题意,舍去.
答:
2秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半.
点拨精讲:
设x秒后△PcQ的面积为Rt△ABc面积的一半,△PcQ也是直角三角形.根据已知条件列出等式.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.
.用配方法解下列关于x的方程:
x2-4x-8=0;
x2-4x+2=0;
x2-12x-1=0;2x2+2=5.
解:
x1=1+5,x2=1-5;
x1=2+2,x2=2-2;
x1=14+174,x2=14-174;
x1=62,x2=-62.
.如果x2-4x+y2+6y+z+2+13=0,求z的值.
解:
由已知方程得x2-4x+4+y2+6y+9+z+2=0,即2+2+z+2=0,∴x=2,y=-3,z=-2.
∴z=[2×]-2=136.
学生总结本堂课的收获与困惑.
.用配方法解一元二次方程的步骤.
.用配方法解一元二次方程的注意事项.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.
1.2.2 公式法
理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.
会熟练应用公式法解一元二次方程.
重点:
求根公式的推导和公式法的应用.
难点:
一元二次方程求根公式的推导.
用配方法解方程:
x2+3x+2=0;
x2-3x+5=0.
解:
x1=-2,x2=-1; 无解.
一、自学指导.
问题:
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?
问题:
已知ax2+bx+c=0,试推导它的两个根x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.
分析:
因为前面具体数字已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
探究:
一元二次方程ax2+bx+c=0的根由方程的系数a,b,c而定,因此:
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子x=-b±b2-4ac2a就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.
x=-b±b2-4ac2a叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
由求根公式可知,一元二次方程最多有__2个实数根,也可能有__1__个实根或者__没有__实根.
一般地,式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示,即Δ=b2-4ac.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.
用公式法解下列方程,根据方程根的情况你有什么结论?
x2-3x=0;
x2-23x+1=0;
x2+x+1=0.
解:
x1=0,x2=32;有两个不相等的实数根;
x1=x2=33;有两个相等的实数根;
无实数根.
点拨精讲:
Δ>0时,有两个不相等的实数根;Δ=0时,有两个相等的实数根;Δ<0时,没有实数根.
一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.
.方程x2-4x+4=0的根的情况是
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
c.有一个实数根
D.没有实数根
.当为何值时,方程x2-x++1=0,
有两个不相等的实数根?
有两个相等的实数根?
没有实数根?
解:
<14; =14; >14.
已知x2+2x=-1没有实数根,求证:
x2+x=1-2必有两个不相等的实数根.
证明:
∵x2+2x-+1=0没有实数根,
∴4-4<0,∴<0.
对于方程x2+x=1-2,即x2+x+2-1=0,
Δ=2-8+4,∵<0,∴Δ>0,
∴x2+x=1-2必有两个不相等的实数根.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.
.利用判别式判定下列方程的根的情况:
x2-3x-32=0;16x2-24x+9=0;
x2-42x+9=0;3x2+10x=2x2+8x.
解:
有两个不相等的实数根;
有两个相等的实数根;
无实数根;
有两个不相等的实数根.
.用公式法解下列方程:
x2+x-12=0; x2-2x-14=0;
x2+4x+8=2x+11; x=2-8x;
x2+2x=0; x2+25x+10=0.
解:
x1=3,x2=-4;
x1=2+32,x2=2-32;
x1=1,x2=-3;
x1=-2+6,x2=-2-6;
x1=0,x2=-2;无实数根.
点拨精讲:
一元二次方程ax2+bx+c=0的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的;
在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入x=-b±b2-4ac2a中,可求得方程的两个根;
由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.
学生总结本堂课的收获与困惑.
求根公式的推导过程.
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
先确定a,b,c的值,再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解.
用判别式判定一元二次方程根的情况.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.
1.2.3 因式分解法
会用因式分解法解某些简单的数字系数的一元二次方程.
能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性.
重点:
用因式分解法解一元二次方程.
难点:
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.
将下列各题因式分解:
a+b+c=;
a2-b2=____;
a2±2ab+b2=__2__.
一、自学指导.
问题:
根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10/s的速度竖直上抛,那么经过xs物体离地的高度为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?
设物体经过xs落回地面,这时它离地面的高度为0,即10x-4.9x2=0,
①
思考:
除配方法或公式法以外,能否找到更简单的方法解方程①?
分析:
方程①的右边为0,左边可以因式分解得:
x=0,
于是得x=0或10-4.9x=0,
②
∴x1=__0__,x2≈2.04.
上述解中,x2≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面,而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻,即0s时物体被抛出,此刻物体的高度是0.
点拨精讲:
对于一元二次方程,先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.
如果a•b=0,那么a=0或b=0,这是因式分解法的根据.如:
如果=0,那么__x+1=0或__x-1=0__,即__x=-1__或__x=1.
二、自学检测:
学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.
.说出下列方程的根:
x=0;
=0.
解:
x1=0,x2=8; x1=-13,x2=52.
.用因式分解法解下列方程:
x2-4x=0;4x2-49=0;
x2-20x+20=0.
解:
x1=0,x2=4;x1=72,x2=-72;
x1=x2=2.
一、小组合作:
小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.
.用因式分解法解下列方程:
x2-4x=0;
x=4x+2;
=3x+15.
解:
x1=0,x2=45;
x1=23,x2=-12;
x1=-5,x2=-2.
点拨精讲:
用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0,另一边可以分解因式.
.用因式分解法解下列方程:
x2-144=0;
=2;
x2-2x-14=x2-2x+34;
x2-12x=-12.
解:
x1=6,x2=-6;
x1=43,x2=-2;
x1=12,x2=-12;
x1=x2=2.
点拨精讲:
注意本例中的方程可以试用多种方法.
二、跟踪练习:
学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.
.用因式分解法解下列方程:
x2+x=0;x2-23x=0;
x2-6x=-3;4x2-121=0;
=2.
解:
x1=0,x2=-1;
x1=0,x2=23;
x1=x2=1;
x1=112,x2=-112;
x1=3,x2=1.
点拨精讲:
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
将方程右边化为__0__;
将方程左边分解成两个一次式的__乘积__;
令每个因式分别为__0__,得到两个一元一次方程;
解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
.把小圆形场地的半径增加5得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解:
设小圆形场地的半径为x.
则可列方程2πx2=π2.
解得x1=5+52,x2=5-52.
答:
小圆形场地的半径为.
学生总结本堂课的收获与困惑.
.用因式分解法解方程的根据由ab=0得a=0或b=0,即“二次降为一次”.
.正确的因式分解是解题的关键.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.
1.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
理解并掌握根与系数的关系:
x1+x2=-ba,x1x2=ca.
会用根的判别式及根与系数的关系解题.
重点:
一元二次方程的根与系数的关系及运用.
难点:
一元二次方程的根与系数的关系及运用.
一、自学指导.
自学1:
完成下表:
方程x1x2x1+x2x1x2
x2-5x+6=02356
x2+3x-10=02-5-3-10
问题:
你发现什么规律?
①用语言叙述你发现的规律;
答:
两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项.