湖南省湘潭市中考真题数学.docx
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湖南省湘潭市中考真题数学
2018年湖南省湘潭市中考真题数学
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8小题，每题3分，共24分）
1.-2的相反数是（）
A.2
B.-2
C.
D.±2
解析：
-2的相反数是：
-（-2）=2.
答案：
A
2.如图所示的几何体的主视图是（）
A.
B.
C.
D.
解析：
该几何体的主视图是三角形.
答案：
C
3.每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（）
A.15
B.150
C.200
D.2000
解析：
估计全校体重超标学生的人数为2000×
=150人.
答案：
B
4.如图，点A的坐标（-1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（）
A.（1，2）
B.（-1，-2）
C.（1，-2）
D.（2，-1）
解析：
点A的坐标（-1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：
（1，2）.
答案：
A
5.如图，已知点E、F、G.H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
解析：
连接AC、BD.AC交FG于L.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH=HA，DG=GC，∴GH∥AC，HG=
AC，
同法可得：
EF=
AC，EF∥AC，∴GH=EF，GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，
同法可证：
GF∥BD，∴∠OLF=∠AOB=90°，
∵AC∥GH，∴∠HGL=∠OLF=90°，∴四边形EFGH是矩形.
答案：
B
6.下列计算正确的是（）
A.x2+x3=x5
B.x2·x3=x5
C.（-x2）3=x8
D.x6÷x2=x3
解析：
A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；
B、x2·x3=x5，正确；
C、（-x2）3=-x6，故此选项错误；
D、x6÷x2=x4，故此选项错误.
答案：
B
7.若b＞0，则一次函数y=-x+b的图象大致是（）
A.
B.
C.
D.
解析：
∵一次函数y=x+b中k=-1＜0，b＞0，∴一次函数的图象经过一、二、四象限.
答案：
C
8.若一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）
A.m≥1
B.m≤1
C.m＞1
D.m＜1
解析：
∵方程x2-2x+m=0有两个不相同的实数根，∴△=（-2）2-4m＞0，解得：
m＜1.
答案：
D
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9.因式分解：
a2-2ab+b2=.
解析：
原式=（a-b）2.
答案：
（a-b）2
10.我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B的概率是.
解析：
∵物实验操作考试有4个考题备选，且每一个考题抽到的机会均等，∴学生小林抽到考题B的概率是：
.
答案：
11.分式方程
=1的解为.
解析：
两边都乘以x+4，得：
3x=x+4，解得：
x=2，检验：
x=2时，x+4=6≠0，所以分式方程的解为x=2.
答案：
x=2
12.如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=.
解析：
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC.
又点D是边BC的中点，∴∠BAD=
∠BAC=30°.
答案：
30°
13.如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB=.
解析：
∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴∠AOB=90°-∠A=60°.
答案：
60°
14.如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为.（任意添加一个符合题意的条件即可）
解析：
若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
答案：
∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE.（答案不唯一）
15.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：
“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？
”翻译成数学问题是：
如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为.
解析：
设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10-x.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x）2.
答案：
x2+32=（10-x）2
16.阅读材料：
若ab=N，则b=logaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3.根据材料填空：
log39=.
解析：
∵32=9，∴log39=log332=2.
答案：
2
17.计算：
.
解析：
原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求出值.
答案：
原式=5+1-3-2=1.
18.先化简，再求值：
.其中x=3.
解析：
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分后进行乘式的乘法运算得到原式=x+2，然后把x=3代入计算即可.
答案：
当x=3时，原式=3+2=5.
19.随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？
（参考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果精确到1海里）.
解析：
通过勾股定理得到线段PC的长度，然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可.
答案：
在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC.
∵AP=400海里，∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，故PC=200
海里.
又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，
∴PB=
=2PC=400
≈565.6（海里）.
答：
此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6每里.
20.进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等.
（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；
（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？
解析：
（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解.
答案：
（1）画树状图为：
共有12种等可能的结果数；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，所以他们两人恰好选修同一门课程的概率=
.
21.今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议.某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图.
（1）求该校的班级总数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数.
解析：
（1）根据统计图中植树12颗的班级数以及所占百分比25%列出算式，即可求出答案；
（2）根据条形统计图求出植树11颗的班级数是4，画出即可；
（3）根据题意列出算式，即可求出答案.
答案：
（1）该校的班级总数=3÷25%=12，
答：
该校的班级总数是12；
（2）植树11颗的班级数：
12-1-2-3-4=2，如图所示：
（3）（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（颗），
答：
该校各班在这一活动中植树的平均数约是12颗数.
22.如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于于点O.
（1）求证：
△DAF≌△ABE；
（2）求∠AOD的度数.
解析：
（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；
（2）利用
（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论.
答案：
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，
在△DAF和△ABE中，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
（2）由
（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°-（∠ADF+DAO）=90°.
23.湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市.某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍.
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？
最少是多少元？
解析：
（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；
（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论.
答案：
（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x=550，∴x=50，经检验，符合题意，∴3x=150元，
即：
温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100-y）个，
根据题意得，
∴
≤y≤52，
∵y为正整数，∴y为42，43，44，45，46，47，48，49，50，51，52，共11中方案；
即：
温馨提示牌42个，垃圾箱58个，温馨提示牌43个，垃圾箱57个，温馨提示牌44个，垃圾箱56个，
温馨提示牌45个，垃圾箱55个，温馨提示牌46个，垃圾箱54个，温馨提示牌47个，垃圾箱53个，
温馨提示牌48个，垃圾箱52个，温馨提示牌49个，垃圾箱51个，温馨提示牌50个，垃圾箱50个，
温馨提示牌51个，垃圾箱49个，温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为30y+150（100-y）=-120y+15000，
当y=52时，所需资金最少，最少是8760元.
24.如图，点M在函数y=
（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=
（x＞0）的图象于点B、C.
（1）若点M的坐标为（1，3）.
①求B、C两点的坐标；
②求直线BC的解析式；
（2）求△BMC的面积.
解析：
（1）把点M横纵坐标分别代入y=
解析式得到点B、C坐标，应用待定系数法求BC解析式；
（2）设出点M坐标（a，b），利用反比例函数性质，ab=3，用a、b表示BM、MC，求△BMC的面积.
答案：
（1）①∵点M的坐标为（1，3），
且B、C函数y=
（x＞0）的图象上，∴点C横坐标为1，纵坐标为1，
点B纵坐标为3，横坐标为
，∴点C坐标为（1，1），点B坐标为（
，3），
②设直线BC解析式为y=kx+b，
把B、C点坐标代入得
解得
∴直线BC解析式为：
y=-3x+4.
（2）设点M坐标为（a，b），∵点M在函数y=
（x＞0）的图象上，∴ab=3，
由
（1）点C坐标为（a，
），B点坐标为（
，b），
∴
，
∴S△BMC=
.
25.如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是
上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM.
（1）若半圆的半径为10.
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长.
（2）探究：
在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
解析：
（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；
②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10-x，利用勾股定理即可求出x的值.易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度.
（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案.
答案：
（1）①当∠AOM=60°时，
∵OM=OA，∴△AMO是等边三角形，∴∠A=∠MOA=60°，∴∠MOD=30°，∠D=30°，∴DM=OM=10.
②过点M作MF⊥OA于点F，
设AF=x，∴OF=10-x，
∵AM=12，OA=OM=10，
由勾股定理可知：
122-x2=102-（10-x）2，∴
∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴
，
∴
（2）当点M位于
之间时，连接BC，∵C是
的重点，∴∠B=45°，
∵四边形AMCB是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°，当点M位于
之间时，连接BC，由圆周角定理可知：
∠CMD=∠B=45°，
综上所述，∠CMD=45°.
26.如图，点P为抛物线y=
x2上一动点.
（1）若抛物线y=
x2是由抛物线y=
（x+2）2-1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，-1），过点P作PM⊥l于M.
①问题探究：
如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？
若存在，求出点F的坐标：
若不存在，请说明理由.
②问题解决：
如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值.
解析：
（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式.
（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；
②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题.
答案：
（1）∵抛物线y=
（x+2）2-1的顶点为（-2，-1）
∴抛物线y=
（x+2）2-1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=
x2的图象.
（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立.
如图一，过点P作PB⊥y轴于点B，
设点P坐标为（a，
a2），∴PM=PF=
a2+1，
∵PB=a，∴Rt△PBF中，BF=
，
∴OF=1，∴点F坐标为（0，1），
②由①，PM=PF，QP+PF的最小值为QP+QM的最小值，
当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5.∴QP+PF的最小值为5.
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