公务员考试数学运算模块专项练习宝典.docx
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公务员考试数学运算模块专项练习宝典
数学运算（上）
一．排列组合问题
1. 能不用排列组合尽量不用。
用分步分类，避免错误
2. 分类处理方法，排除法。
例：
要从三男两女中安排两人周日值班，至少有一名女职员参加，有（C1/2*C1/3+1）种不同的排法?
析：
当只有一名女职员参加时，C1/2*C1/3；
当有两名女职员参加时，有1种
3．特殊位置先排
例：
某单位安排五位工作人员在星期一至星期五值班，每人一天且不重复。
若甲乙两人都不能安排星期五值班，则不同的排班方法共有（3*P4/4）
析：
先安排星期五，后其它。
4.相同元素的分配（如名额等，每个组至少一个），隔板法。
例：
把12个小球放到编号不同的8个盒子里，每个盒子里至少有一个小球，共有（C7/11）种方法。
析：
000000000000，共有12－1个空，用8－1个隔板插入，一种插板方法对应一种分配方案，共有C7/11种，即所求。
注意：
如果小球也有编号，则不能用隔板法。
5.相离问题（互不相邻）用插空法
例：
7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻，有多少种排法？
析：
|0|0|0|0|,分两步。
第一步，排其它四个人的位置，四个0代表其它四个人的位置，有P4/4种。
第二步，甲乙丙只能分别出现在不同的|上，有P3/5种，则P4/4*P3/5即所求。
例：
在一张节目表中原有8个节目，若保持原有的相对顺序不变，再增加三个节目，求共有多少种安排方法？
析：
思路一，用二次插空法。
先放置8个节目，有9个空位，先插一个节目有9种方法，现在有10个空位，再插一个节目有10种方法，现有11种空位，再插一种为11种方法。
则共有方法9*10*11。
思路二，可以这么考虑，在11个节目中把三个节目排定后，剩下的8个位置就不用排了，因为8个位置是固定的。
因此共有方法P3/11
6.相邻问题用捆绑法
例：
7人排成一排，甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
析：
把甲、乙、丙看作整体X。
第一步，其它四个元素和X元素组成的数列，排列有P5/5种；第二步，再排X元素，有P3/3种。
则排法是P5/5*P3/3种。
7.定序问题用除法
例：
有1、2、3，...，9九个数字，可组成多少个没有重复数字，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字的5位数？
析：
思路一：
1－9，组成5位数有P5/9。
假设后三位元素是（A和B和C，不分次序，ABC任取）时（其中B>C>A）,则这三位是排定的。
假设B、C、A这个顺序，五位数有X种排法，那么其它的P3/3-1个顺序，都有X种排法。
则X*（P3/3-1+1）=P5/9,即X=P5/9/P3/3
思路二：
分步。
第一步，选前两位，有P2/9种可能性。
第二步，选后三位。
因为后三位只要数字选定，就只有一种排序，选定方式有C3/7种。
即后三位有C3/7种可能性。
则答案为P2/9*C3/7
8.平均分组
例：
有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本。
有多少种不同的分法？
析：
分三步，先从6本书中取2本给一个人，再从剩下的4本中取2本给另一个人，剩下的2本给最后一人，共C2/6*C2/4*C2/2
例：
有6本不同的书，分成三份，每份两本。
有多少种不同的分法？
析：
分成三份，不区分顺序，是无序的，即方案（AB,CD,EF）和方案（AB,EF,CD）等是一样的。
前面的在（C2/6*C2/4*C2/2）个方案中，每一种分法，其重复的次数有P3/3种。
则分法有，（C2/6*C2/4*C2/2）/ P3/3种分法。
二．日期问题
1.闰年，2月是29天。
平年，28天。
判定公历闰年遵循的一般规律为:
四年一闰,百年不闰,四百年再闰.
公历闰年的精确计算方法:
（按一回归年365天5小时48分45.5秒）
①、普通年能被4整除而不能被100整除的为闰年。
（如2004年就是闰年,1900年不是闰年）
②、世纪年能被400整除而不能被3200整除的为闰年。
（如2000年是闰年，3200年不是闰年）
③、对于数值很大的年份能整除3200,但同时又能整除172800则又是闰年.（如172800年是闰年，86400年不是闰年）
公元前闰年规则如下：
1，非整百年：
年数除4余数为1是闰年，即公元前1、5、9……年；
2，整百年：
年数除400余数为1是闰年，年数除3200余数为1，不是闰年,年数除172800余1又为闰年,即公元前401、801……年。
2.口诀：
平年加1，闰年加2；（由平年365天/7=52余1得出）。
例：
2002年9月1号是星期日 2008年9月1号是星期几？
因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：
4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。
例：
2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？
4+1＝5，即是过5天，为星期四。
（08年2月29日没到）（似乎错了2004也是闰年）
三．集合问题
1.两交集通解公式（有两项）
公式为：
满足条件一的个数+满足条件二的个数－两者都满足的个数＝总个数-两者都不满足的个数。
即：
A+B=A∪B-A∩B
其中满足条件一的个数是指只满足条件一不满足条件二的个数加上两条件都满足的个数 公式可以画图得出
例：
有62名学生，会击剑的有11人，会游泳的有56人，两种都不会用的有4人，问两种都会的学生有多少人？
思路一：
两种都会+只会击剑不会游泳+只会游泳不会击剑＝62－4
设都会的为T，11－T+56-T+T＝58，求得T=9
思路二：
套公式，11+56－T＝62－4，求得T＝9
例：
对某小区432户居民调查汽车与摩托车的拥有情况，其中有汽车的共27户，有摩托车的共108户，两种都没有的共305户，那么既有汽车又有摩托车的有多少户？
析：
套用公式27+108－T=432-305得T=8
2.三交集公式（有三项）
A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+A∩C-A∩B∩C
例：
学校教导处对100名同学进行调查，结果有58人喜欢看球赛，有38人喜欢看戏剧，有52人喜欢看电影。
另外还知道，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧（但不喜欢看电影）的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧（但不喜欢看球赛）的有4人，三种都喜欢的有12人，则只喜欢看电影的人有多少人？
如图，U=喜欢球赛的+喜欢戏剧的+喜欢电影的
X表示只喜欢球赛的人；Y表示只喜欢电影的人；Z表示只喜欢戏剧的人
T是三者都喜欢的人。
即阴影部分。
a表示喜欢球赛和电影的人。
仅此2项。
不喜欢戏剧
b表示喜欢电影和戏剧的人。
仅此2项。
不喜欢球赛
c表示喜欢球赛和戏剧的人。
仅此2项。
不喜欢电影。
A=X+Y+Z,B=a+b+c,A是只喜欢一项的人，B是只喜欢两项的人，T是喜欢三项的人。
则U=喜欢球赛的+喜欢戏剧的+喜欢电影的=（x＋a＋c＋T）+（y＋a＋b＋T）+（z＋b＋c＋T）
整理，即
A+2B+3T＝至少喜欢一项的人数人
又：
A+B+T＝人数
再B+3T＝至少喜欢2项的人数和
则
原题解如下：
A+2*（6+4+c）+3*12=58+38+52
A+（6+4+c）+12=100
求得c=14
则只喜欢看电影的人=喜欢看电影的人数-只喜欢看电影又喜欢球赛的人-只喜欢看电影又喜欢看戏剧的人-三者都喜欢的人=52-14－4－12＝22人
四．时钟问题
1.时针与分针
分针每分钟走1格，时针每60分钟5格，则时针每分钟走1/12格，每分钟时针比分针少走11/12格。
例：
现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？
析：
2点时候，时针处在第10格位置，分针处于第0格，相差10格，则需经过10/ 11/12分钟的时间。
例：
中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多少次？
析：
时针与分针重合后再追随上，只可能分针追及了60格，则分针追赶时针一次，耗时60/11/12＝720/11分钟，而12小时能追随及12*60分钟/720/11分钟/次=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。
如果不算中午12点第一次重合的次数，应为11次。
如果题目是到下次12点之前，重合几次，应为11-1次，因为不算最后一次重合的次数。
2.分针与秒针
秒针每秒钟走一格，分针每60秒钟走一格，则分针每秒钟走1/60格，每秒钟秒针比分针多走59/60格
例：
中午12点，秒针与分针完全重合，那么到下午1点时，两针重合多少次？
析：
秒针与分针重合，秒针走比分针快，重合后再追上，只可能秒针追赶了60格，则秒针追分针一次耗时，60格/59/60格/秒=3600/59秒。
而到1点时，总共有时间3600秒，则能追赶，3600秒/3600/59秒/次=59次。
第59次时，共追赶了，59次*3600/59秒/次=3600秒，分针走了60格，即经过1小时后，两针又重合在12点。
则重合了59次。
3.时针与秒针
时针每秒走一格，时针3600秒走5格，则时针每秒走1/720格，每秒钟秒针比时针多走719/720格。
例：
中午12点，秒针与时针完全重合，那么到下次12点时，时针与秒针重合了多少次?
析：
重合后再追上，只可能是秒针追赶了时针60格，每秒钟追719/720格，则要一次要追60/719/720=43200/719秒。
而12个小时有12*3600秒时间，则可以追12*3600/43200/719＝710次。
此时重合在12点位置上，即重合了719次。
4.成角度问题
例：
在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角是多少？
析：
一点时，时针分针差5格，到45分时，分针比时针多走了11/12*45＝41.25格，则分针此时在时针的右边36.25格，一格是360/60＝6度，则成夹角是,36.25*6=217.5度。
5.相遇问题
例：
3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？
析：
作图，此题转化为时针以每分1/12速度的速度，分针以每分1格的速度相向而行，当时针和分针离3距离相等，两针相遇，行程15格，则耗时15/1+1/12=180/13分。
例：
小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交换了一下。
小明做作业用了多少时间？
析：
只可能是这个图形的情形，则分针走了大弧B-A，时针走了小弧A-B，即这段时间时针和分针共走了60格，而时针每分钟1/12格，分针1格，则总共走了60/（1/12+1）=720/13分钟，即花了720/13分钟。
五．方阵问题
1、方阵外一层总人数比内一层的总人数多8
2、每边人数与该层人数关系是：
最外层总人数＝（边人数－1）×4
3、方阵总人数＝最外层每边人数的平方
4、空心方阵的总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4
5、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数*2-1
例：
某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
析：
最外层每边的人数是96/4+1＝25，刚共有学生25*25=625
例：
五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人，甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心。
五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
析：
设乙最外边每人数为Y，则丙为Y+4.
8*8+Y*Y+8*8=（Y+4）（Y+4）
求出Y=14,则共有人数：
14*14+8*8＝260
例：
明明用围棋子摆成一个三层空心方阵，如果最外层每边有围棋子15个，明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子？
摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
析：
最外层有（15-1）*4=56个。
则里二层为56-8*2=40
应用公式，用棋子（15－3）*3*4＝144
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六．几何问题
1.公式
三角形面积：
s=ah/2
矩形（平行四边形）面积：
s=ab
梯形面积：
s=（a+b）h/2
圆形面积：
s=
扇形面积：
s=n
/360
椭圆面积：
s=ab
球表面积：
s=4
圆柱表面积：
s=2
r（h+r）
球体积：
v=4
/3
圆柱体积：
v=
h
圆锥体积：
v=
h/3
锥形体积：
v=sh/3
补：
扇形面积＝1/2*r*l 其中r为半径，l为弧长。
2.两三角形，有一角成互补角，或者有一角重合的面积关系。
图1中，Sabc/Scde=BC/CE*AC/CD
图2中，Sabc/Sade=AB/AD*AC/AE（皆可通过作高，相似得到）
例：
如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE的面积是多少？
Sbde=Sabc*BE/AB*BD/BC=1*2*2=4
例：
例4如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至A′、B′、C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？
Sa’ad’+Sb’cc’=2*Sabcd
同理Sa’b’b+Sdc’d’=2Sabcd
则Sabcd=30/（2+2+1）=6
3.圆分割平面公式
公式为：
N^2-N+2,其中N为圆的个数。
一个圆能把平面分成两个区域，两个圆能把平面分成四个区域，问四个圆能最多把平面分成多少个区域？
（4^2-4+2）
4.最大和最小
（1）等面积的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其周长越小。
（2）等周长的所有平面图形当中，越接近圆的图形，其面积越大。
以上两条定理是等价的。
（3）等体积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其表面积越小。
（4）等表面积的所有空间图形当中，越接近球体的几何体，其体积越大。
以上两条定理是等价的。
例：
相同表面积的四面体,六面体,正十二面体及正二十面体,其中体积最大的是:
A四面体 B六面体 C正十二面体 D正二十面体
析：
显然，正二十面体最接近球体，则体积最大。
5.一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?
（ ）
A．长25厘米、宽17厘米 B．长26厘米、宽14厘米
C．长24厘米、宽21厘米 D．长24厘米、宽14厘米
析：
这种题型首先的思路应该是，先算盒子的总面积=2*（20*8+20*2+8*2）=432，除了C其它都小于432。
七．比例问题、十字相乘法与浓度问题
1.十字相乘法
一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。
平均值为C。
求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。
假设A有X，B有（1-X）。
则C为1。
得式子，A*X+B*（1-X）＝C*1
整理得X=C-B/A-B 1-X=A-C/A-B
则有X:
（1-X）=C-B/A-C
计算过程写为
X A C-B
：
＝ C
1-X B A-C （一般大的写上面A,小的B。
）
例：
某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是
析：
一个集合（教练员和运动员的男性），只有2个不同的取值，部分个体取值（90%）,剩余部分取值为82%，平均值为82%。
教练员 90% 2%
82% =1:
4
运动员 80% 8%
例：
某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：
析：
男生平均分X，女生1.2X
1.2X 75-X 1
75 =
X 1.2X-75 1.8
得X=70女生为84
2.浓度问题
溶液的重量＝溶质的重量+溶剂的重量
浓度＝溶质的质量/溶液质量
浓度又称为溶质的质量分数。
关于稀释，加浓，配制。
其中混合后的浓度为P.
稀释，一溶液加水，相当于a克P1%的溶液，和b克0%的溶液配制。
P1 P a
P
0 P1-P b
加浓，相当于a克p1%的溶液，和b克100%的溶液配制。
P1 P-100 a
P
100 P1-P b
配制则是a克P1%的溶液，和b克P2%的溶液配制。
可列以下十字相乘：
P1 P-P2 a
P
P2 P1-P b
注：
有些题不用十字相乘法更简单。
例：
有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%,需加盐多少千克？
析：
15 80 20
20
100 5 b
80/5=20/b得b=1.25g
例：
从装满100g浓度为80％的盐水杯中倒出40g盐水后再倒入清水将杯倒满，这样反复三次后，杯中盐水的浓度是（）
A.17.28% B.28.8% C.11.52% D.48%
析：
开始时，溶质为80克。
第一次倒出40g，再加清水倒满，倒出了盐80*40%，此时还剩盐80*60%。
同理，第二次，剩80*60%*60%。
第三次，乘80*60%^3=17.28g，即浓度为17.28%
特例：
有甲乙两杯含盐率不同的盐水，甲杯盐水重１２０克，乙杯盐水重８０克．现在从两杯倒出等量的盐水，分别交换倒入两杯中．这样两杯新盐水的含盐率相同．从每杯中倒出的盐水是多少克？
析：
设甲浓度P1,乙浓度P2。
混合后的相等浓度为P.拿出的等量的水为a
则对于甲
P1 P-P2 120-a
P
P2 P1-P a
对于乙
P2 P-P1 80-a
P
P1 P2-P a
则120-a a
:
= :
a 80-a
得a=120*80/120+80
一般地，对于质量为m1,m2的溶液，也有a=m1*m2 / （m1+m2）
数学运算（中）
八．数、整除、余数与剩余定理
1.数的整除特性
被4整除：
末两位是4的倍数，如16,216,936…
被8整除：
末三位是8的倍数，如144，2144，3152
被9整除：
每位数字相加是9的倍数，如，81，936，549
被11整除：
奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数。
如，121，231，9295
如果数A被C整除，数B被C整除，则，A+B能被C整除;A*B也能被C整除
如果A能被C整除，A能被B整除，BC互质，则A能被B*C整除。
例：
有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。
那么，这四个自然数的和是：
析：
A除以B商是5余5，B的5倍是5的倍数，5是5的倍数，则A是5的倍数，同理A是6的倍数，A是7的倍数，则A为最小公倍数，210，此题得解。
2.剩余定理
原理用例子解释，一个数除以3余2，那么，这个数加3再除以3，余数还是2.
一个数除以5余3，除以4余3，那么这个数加上5和4的公倍数所得到的数，除3还是能得到这个结论。
例：
一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有（）
析：
7是最小的满足条件的数。
9，5，4的最小公倍数为180，则187是第二个这样的数，367，547，727，907共5个三位数。
例：
有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？
析：
题目转化为，一个数除以9余5,除以7余1，除以5除2。
第一步，从最大的数开刀，先找出除以9余5的最小数，1
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