届江苏高考数学二轮复习第二篇第12练空间点线面的位置关系试题理.docx

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届江苏高考数学二轮复习第二篇第12练空间点线面的位置关系试题理

第12练　空间点、线、面的位置关系

[明晰考情]　1.命题角度：

空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系.2.题目难度：

低档难度.

考点一　空间线面位置关系的判断

方法技巧

（1）判定两直线异面的方法

①反证法；

②利用结论：

过平面外一点和平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线.

（2）模型法判断线面关系：

借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断.

（3）空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论：

①平面图形的平行关系：

平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行；②平面图形中的垂直关系：

等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形的对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理.

1.下列说法正确的是________.（填序号）

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.

答案　④

解析　①错误，直线l还可以在平面α内；②错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；③错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.④说法正确.

2.（2018·无锡期末）已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：

①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；

②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；

③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；

④若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β.

其中所有正确命题的序号是________.

答案　②③

解析　若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α；

若l⊥α，l⊥β，则α∥β；

若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；

若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则a∥β或α，β相交，所以正确命题的序号是②③.

3.如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是________.（填序号）

答案　①

解析　作如图

（1）所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.

∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，

∴直线AB与平面MNQ相交；

作如图

（2）所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ，

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；

作如图（3）所示的辅助线，

则AB∥CD，CD∥MQ，

∴AB∥MQ，

又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，

∴AB∥平面MNQ；

作如图（4）所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，

∴AB∥NQ，

又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，

∴AB∥平面MNQ.

故①中直线AB与平面MNQ不平行.

4.已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：

①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；

③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.

则上述结论中正确的序号为________.

答案　②④

解析　由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，n⊥β或n与β斜交或n∥β，所以①不正确；∀n⊂β，m⊥n，所以②正确；∀n⊂α，m与n可能平行、相交或异面，所以③不正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，所以④正确.

考点二　空间中的平行、垂直关系

方法技巧

（1）利用平面图形中的线的平行判断平行关系：

①比例线求证平行，特别是三角形中位线定理；②平行四边形的对边互相平行；③同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行.

（2）熟练把握平面图形中的垂直关系

①等腰三角形的底边上的中线和高重合；

②菱形的对角线互相垂直；

③圆的直径所对的圆周角为直角；

④勾股定理得垂直.

（3）空间中平行与垂直的实质是转化与化归思想在空间中的体现.

5.如图，已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中正确的是________.（填序号）

①BC∥平面PDF；

②DF⊥平面PAE；

③平面PDF⊥平面ABC；

④平面PAE⊥平面ABC.

答案　①②④

解析　∵BC∥DF，

∴BC∥平面PDF.∴①正确；

∵BC⊥PE，BC⊥AE，

PE∩AE＝E，PE，AE⊂平面PAE，

∴BC⊥平面PAE.

∴DF⊥平面PAE，

∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE）.

∴②④正确.

6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为________.

答案　6

＋4

解析　∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，

E，F分别是棱AD，DD1的中点，

∴EF∥AD1∥BC1.

∵EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

∴EF∥平面BCC1B1.

由正方体的棱长为4，可得截面是以BE＝C1F＝2

为腰，EF＝2

为上底，BC1＝2EF＝4

为下底的等腰梯形，故周长为6

＋4

.

7.已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C两点，过点P的直线n与α，β分别交于B，D两点，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________.

答案　

或24

解析　分两种情况，如图所示，设BD＝x，根据平行线分线段成比例，有

＝

或

＝

，解得x＝

或x＝24.

8.等腰直角三角形BCD的腰长为2，将平面BCD沿斜边BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如图所示，O为BD的中点，若AC＝2，则三棱锥A－BCD的体积为________.

答案　

解析　由题意知，AB＝AD＝CB＝CD＝2，从而根据等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AO＝CO＝

，又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.因为AO是等腰直角三角形ABD斜边上的中线，所以AO⊥BD.因为CO∩BD＝O，CO，BD⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则其体积为

×

×2×2×

＝

.

1.下列说法：

①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；

②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；

③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；

④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等.

其中正确的是________.（填序号）

答案　①④

解析　②应为0°≤θ≤90°；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面.

2.（2018·江苏苏州实验中学月考）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：

①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；

②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；

③m∥n，m∥α⇒n∥α；

④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.

其中正确命题的序号是________.

答案　①④

解析　m∥n，m⊥α⇒n⊥α，故①正确；

α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n或m，n异面，故②不正确；

m∥n，m∥α⇒n∥α或n⊂α，故③不正确；

α∥β，m∥n，m⊥α可以先得到n⊥α，进而得到n⊥β，故④正确.综上可知①④正确.

3.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图1）.将四边形ADEF沿AD折起，连结AC，CF，BE，BF，CE（如图2），在折起的过程中，下列说法正确的是________.（填序号）

①AC∥平面BEF；

②B，C，E，F四点不可能共面；

③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；

④平面BCE与平面BEF可能垂直.

答案　①②③

解析　说法①，连结BD，交AC于点O，取BE的中点M，连结OM，FM，则四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；说法②，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；说法③，连结FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；说法④，延长AF至G，使AF＝FG，连结BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，过F作FN⊥BG于点N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.综上①②③正确.

解题秘籍

　线面关系的判断要结合空间模型（如长方体、正四面体等）或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想.

1.已知直线a∥平面α，则“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的____________条件.

答案　充分不必要

解析　若直线a⊥平面β，直线a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直线a∥平面α，那么直线a⊥平面β不一定成立.如正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直线AD∥平面BCC1B1，但直线AD⊂平面ABCD；直线AD1∥平面BCC1B1，但直线AD1与平面ABCD不垂直.综上，“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件.

2.在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是________.（填序号）

答案　①

解析　对于①，作出过AB的平面ABE，如图

（1），可得直线CD与平面ABE垂直，根据线面垂直的性质知，AB⊥CD成立，故①正确；对于②，作出过AB的等边三角形ABE，如图

（2），将CD平移至AE，可得CD与AB所成的角等于60°，故②不成立；对于③④，将CD平移至经过点B的侧棱处，可得AB，CD所成的角都是锐角，故③和④均不成立.综上得出AB⊥CD的是①.

3.下列命题中正确的是________.（填序号）

①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；

②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；

③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

④平面α和平面β可以只有一个交点.

答案　①

解析　借助三棱柱，可知②错误；

借助正四面体，可知③错误；

由公理2，可知④错误；

由推论1，可知①正确.

4.在如图所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，直线BF与平面AD1E的位置关系是________.（填“平行”“垂直”）

答案　平行

解析　取AD1的中点O，连结OE，OF，则OF∥BE，且OFBE，

∴四边形BFOE是平行四边形，

∴BF∥EO.

∵BF⊄平面AD1E，

OE⊂平面AD1E，

∴BF∥平面AD1E.

5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是________.（填序号）

①直线A1M与直线B1C为异面直线；

②直线BD1⊥平面AB1C；

③平面AMC⊥平面AB1C；

④直线A1M∥平面AB1C.

答案　①②③

解析　由异面直线的定义，知①正确；易证明BD1⊥AB1，BD1⊥AC，所以BD1⊥平面AB1C，所以②正确；连结BD交AC于点O，连结OM，可以证明OM∥BD1，所以OM⊥平面AB1C，可得平面AMC⊥平面AB1C，所以③正确；由题意，得直线A1M与平面AB1C相交，所以④不正确.

6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：

①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面.其中正确的结论是________.（填序号）

答案　①③④

解析　作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确.其余均正确.

7.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，

在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；

②直线BE与直线AF异面；

③直线EF∥平面PBC；

④平面BCE⊥平面PAD.

其中正确的有________个.

答案　2

解析　将展开图还原为几何体（如图），因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错.

8.如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是________.

答案　平行

解析　连结CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，

所以PQ∥BE，PQ＝

BE.

又DC∥EB，DC＝

EB，

所以PQ∥DC，PQ＝DC，

所以四边形DPQC为平行四边形，

所以DP∥CQ.

又DP⊄平面ABC，CQ⊂平面ABC，

所以DP∥平面ABC.

9.如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取线段AB＝4，AC，BD分别在α，β内，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，则CD＝________.

答案　

解析　作AE∥BD，使得AE＝BD，连结DE，CE，则四边形ABDE为矩形且AE⊥DE，

所以DE⊥CE，在Rt△ACE中，

CE＝

＝

＝3

，

在Rt△CED中，CD＝

＝

.

10.过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________.

答案　12

解析　两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以

＝

，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.

11.如图，在四面体P－ABC中，PA＝PB＝

，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.

答案　7

解析　取AB的中点E，连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.

又平面PAB⊥平面ABC，PE⊂平面PAB，

∴PE⊥平面ABC，连结CE，∴PE⊥CE.

又∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB＝2

，PE＝

＝

，

CE＝

＝

，PC＝

＝7.

12.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________.

答案　

解析　由ABCD是平行四边形，

得AB∥CD，且AB＝CD，

又E，F分别是AB，CD的中点，∴AE＝FD，

又∠EAH＝∠DFH，

∠AEH＝∠FDH，

∴△AEH≌△FDH，∴EH＝DH.

∵平面AGF∥平面PEC，

又平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，

∴GH∥PE，则G是PD的中点.

∵PA＝PB＝AB＝2，∴PE＝2×sin60°＝

，

∴GH＝

PE＝

.