高中数学 《直线的交点坐标与距离公式》教案8 新人教A版必修2.docx
《高中数学 《直线的交点坐标与距离公式》教案8 新人教A版必修2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 《直线的交点坐标与距离公式》教案8 新人教A版必修2.docx（19页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高中数学《直线的交点坐标与距离公式》教案8新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《直线的交点坐标与距离公式》教案8新人教A版必修2
教材分析
点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一,它是解决点线、线线距离的基础,也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线作准备.教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程,深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法,逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题;能让学生充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣.
学情分析
我校是省一级A类学校,从总体上看,本班学生的数学基础比较好,平时肯思考问题,钻研精神强,有较好的自主学习和探究学习能力,同时,学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的基础知识,但学生大容量的自主探究,对课堂教学过程的控制带来一定的难度.
教学目标
使学生掌握点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离及运用这一公式解决实际问题;学习并领会探究点到直线的距离公式的思维过程,掌握用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法,培养学生自主探究和发散思维的能力;同时,提高学生学习数学的积极性,培养他们勇于探索、善于研究的精神和合作互助的团队精神.
教学重点
点到直线的距离公式的探究过程,有关数学思想方法及应用.
教学难点
点到直线的距离公式的探究.
教学方式
讨论、探究式
教学过程
一、问题情境
如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短？
最短路程又是多少？
铁路
二、探究问题
问题已知点P和一条直线l,怎样求点P到直线l的距离d.
Y
1．分组讨论,合作交流
学生进行方法探究后,请学生讲清解题的步骤.
●
估计学生可能寻求到下面的解法:
O
X
（1）求出过P点与l垂直的直线l′,求出l与l′的交点H的坐标,再求出.上述方法的算法流程图是什么?
（2）构造三角形;
（3）求函数最小值等.
2.用上述方案解答下题:
已知点P（3，2）和直线l:
2x-y+1=0，求P点到直线l的距离．
解（略）．
1.3.给出点到直线的距离公式
平面内点P（x0，y0）到直线l：
Ax+By+C＝0的距离为：
一、（学生练习）求下列点到相应直线的距离：
（1）P（0,0）,l:
3x-2y+4=0
（2）P（-1,2）,l:
x-y=-
（3）P（3,-3）,l:
x=y
（投影学生解答并与学生共同小结）①直线的方程要化成一般式；②分子是用点的坐标代入直线方程左边再取绝对值;分母是直线方程中x,y系数平方和的算术平方根.
二、理解应用
1.点A（a，6）到直线3x-4y=2的距离等于4，求a的值．
分析应用点到直线的距离公式,建立关于a的方程.
解（略）．
2.求平行直线l1：
2x-7y-6=0和l2：
2x-7y+8=0间的距离.
分析 平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
解（略）．
3．等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差
与一腰上的高有何关系?
师：
（用几何画板演示）你们看到了什么?
可以得到什么结论?
生：
等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差等于一腰上的高.
师:
如何证明?
估计学生可能寻求到下面的解法:
（1）几何法;
（2）解析法.
分析1用几何法,考虑三角形的面积.
分析2用解析法,建立适当的直角坐标系,写出相关点的坐标和直线的方程.
证明（略）．
师：
（再次用几何画板演示）你们还看到了什么?
还可以得到什么结论?
生：
等腰三角形底边上一点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的高.
师：
请大家课后证明.
四、课堂小结
师：
这节课我们学到了什么?
有何体会?
生：
这节课我们学习了平面内点到直线的距离公式和两条平行直线之间的距离公式,体会到了数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法.
师：
点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有着密切的联系．通过公式的推导,请同学们认真体会利用图形特点解题的好处．
五、作业
1.已知平行线2x+3y-3=0与2x+3y-9=0，求与它们等距离的平行线的方程.
2.求平行于直线x-y-2=0且与它的距离为的直线方程.
3.解析法证明:
等腰三角形底边上一点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的高.
4.求两平行直线l1:
Ax+By+C1=0与l2:
Ax+By+C2=0间的距离.
创设问题情境，激发学生的学习欲望.
多种方法进行探究,培养学生自主探究和发散思维的能力，同时培养学生合作学习的意识.
学生体会算法思想.
学生体会函数思想.
学生体会探究成功的喜悦.
学生课后进行推导，带着问题下课，让课堂延伸.
题目较简单,学生自己解答,加深对公式的记忆.
引导学生分析公式特征,有利于加深对公式的理解和应用.
逆用公式.
活用公式.学生体会转化思想.
将课本例题（证明题）改编为开放题,有利于培养学生的自主探究的能力,也体现了数学教学与信息技术的结合.
进一步挖掘题目的开放功能,形成“再创造”的过程.
根据元认知理论,小结以学生为主,教师为辅的方式进行,学生可回顾本节课的学习过程,也是对探究过程的再认识和数学思想方法的升华.
进一步巩固本节课所学.
《点到直线的距离公式》教学设计思路
1、设计思路
点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一,它是解决点线、线线距离的基础,也是研究直线与圆、圆与圆位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线作准备.考虑到教材和学生特点，我的设计思路是：
（1）以普通高中《数学课程标准》理念为指南设计教学目标.普通高中《数学课程标准》要求:
探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.根据这一精神,结合对北师大版《数学2》（必修）的学习,在设计知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维目标时,要求学生掌握点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离及运用这一公式解决实际问题;学习并领会探究点到直线的距离公式的思维过程,掌握用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法,培养学生自主探究和发散思维的能力;同时,提高学生学习数学的积极性,培养他们勇于探索、善于研究的精神和合作互助的团队精神.
（2）以人本主义学习理论为依据设计教学方式.人本主义学习理论认为:
人天生就有寻求真理,探索奥秘和创造的欲望以及自我主动学习的潜能.可以说,探索奥秘是人的天性.因此,将本节课的教学方式定位为讨论、探究式.主要表现在:
①注重探究点到直线的距离公式的推导方法和其间蕴涵的数学思想方法;②将教材P.92例19（证明题）改编为一道开放题,探究“等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差与一腰上的高的关系”,再进一步探究得出“等腰三角形底边一点到两腰所在直线的距离之和等于一腰上的高”这一重要结论.同时,在教学方式设计上技术手段起到了重要的作用.几何画板动态的实验环境使学生发现数学结论,是信息技术在数学教学中不可替代的优势.
（3）以建构主义学习理论为指导设计教学过程.建构主义认为:
学习是一个积极主动的活动过程,学习者不是被动地接受外界信息,而是主动的依据先前认识结构,有选择的知觉和接受外界信息.学习不是由教师把知识简单地传递给学生,而是学生自己建构事物的意义.对知识的真正理解只能靠学习者自身基于自己的经验背景,通过新旧知识经验间的的反复、双向的相互作用而建构.这种建构无法由他人来代替,教师则是学生建构知识的支持者、辅导者和高级合作者,负有调动学习者的积极性的使命”.因而,本节课的教学过程设计了五个环节:
①以实际问题为背景,建立数学模型,使学生感到数学来源于生活,调动学生学习的积极性、激发学生的探究欲望;②探究点到直线的距离公式的推导方法,体会数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法,培养学生自主探究和发散思维的能力以及学生合作学习的意识.③理解应用.通过正用、逆用、活用公式,使学生掌握和理解公式;特别将教材P.92例19改编后公式的应用更显灵活.④课堂小结以学生为主,教师为辅的方式进行,学生可回顾本节课的学习过程,也是对探究过程的再认识和数学思想方法的升华.⑤布置作业.进一步巩固本节课所学.总之,教师和学生共同参与知识的形成和应用,让学生认识建构的意义、巩固建构的知识.
（4）以布鲁纳的认识结构理论为指引设计学生的学习活动.对于学习过程,认识结构理论强调:
“学生是一个主动的积极的知识探索者,教师的作用是要形成一种学生能够独立探索的情境,而不是提供现成的知识”.因此,本节课为学生创设了自主活动（探究点到直线的距离公式的推导方法;小结算法流程图;应用公式;探究“等腰三角形底边延长线上一点到两腰所在直线的距离之差与一腰上的高的关系”等）、师生活动（分析公式特征;完成理解应用第3题;课堂小结;多次个别提问与交流）、生生活动（讨论与交流探究点到直线的距离公式的推导方法等）等多种学习活动情境,在活动中让学生向自己的能力提出挑战.这样做的目的是适时地正确评价学生的学习结果,帮助学生形成一种寻求知识的内驱力.
总之,努力把整个教学活动设计为:
师生共同参与、全身心投入、相互作用、创造性地实现教学目标,共同感受课堂中生命的涌动和成长,共同创造充满生命活力的课堂教学.通过教学,让教师的劳动闪现出创造的光辉和人性的魅力,学生在课堂上学会合作,感受和谐的欢愉、发现的惊喜,迸发出创造性思维的火花.
2、几点困惑
（1）新课程的目标很高,40分钟的课堂教学时间,很难放开手脚让学生去进行探究，同时,由于把课堂的时间大部分给了学生,教师如何利用好有限的时间进行教学就成为难题.
（2）对学生的讨论与交流的过程怎样控制成为教学关注的一个焦点.教学时，不但要控制讨论题目的数量和难度,还要实时控制讨论的深度和广度,更要控制好讨论的时间.一旦控制不到位或疏于控制,教学内容将难以完成,会出现课后再花时间去补救的尴尬局面.
（3）教材在处理这一节内容时,好象重在应用,那么点到直线的距离公式的推导方法是否需要探究?
课标要求如何落实?
（4）我们的教学实施要符合学生的认知水平,在教学设计之前就应该去评估学生的现有认知水平.但现在的学生获取知识渠道众多,且认知水平差距较大.教师如何去评估学生的现有认知水平?
以上是我对这节课的一些思考，不当之处，望得到各位领导、专家和同行的指教.
2019-2020年高中数学《直线的交点坐标与距离公式》教案9新人教A版必修2
设计理念与思路：
让学生掌握知识的同时，重点形成一种提出问题解决问题的能力以及学习数学的兴趣；学会发散性思考问题。
总之，能力是主要的，知识是次要的。
教材与概念结构分析：
解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。
学情分析:
我们学校的学生思维能力不高,但思维较活跃,有个性,经过长期的训练后,能养成一种比较好的思维习惯与做人的态度。
教学目标：
知识目标：
让学生掌握点线距离公式的推导方法并能利用公式求点线距离。
能力目标：
培养学生从特殊到一般的分析解决问题能力。
提高学生使用现代化工具的动手能力。
情感目标：
让学生充分感受数学的美；增加对解几的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。
重点难点：
教学重点：
公式的推导与应用。
教学难点：
知识教学方面：
如何启发学生自己构思出距离公式的推导方案。
情感教育方面：
如何营造课堂积极求解的氛围。
以激发学生的创造力。
增强学生知难而进的决心。
教学资源：
多煤体教室。
教学流程图：
复习——提出问题——寻找解决方案——尝试——解决问题——形成结论——应用结论——提出新问题。
教学过程：
一、课题引入，提出问题
师：
直线方程的一般式是怎么样的，其中的系数有什么要求的？
生：
是Ax+By+C=0（A、B不同时为0）
师：
两点A（x,y）、B（x,y）间的距离公式是什么？
生：
|AB|= y
师：
当直线AB垂直y轴或x轴时，
公式又成什么样子的？
生：
|AB|=|x-x|或|y-y|
师：
点Q在直线Ax+By+C=0
上,点P在直线外,则什么时候它们最近。
Ox
生：
当直线PC与直线Ax+By+C=0
垂直时。
师；这是|PQ|就是点P到直线
Ax+By+C=0的距离，它会等于什么呢？
这就是现在我们要究研的问题。
（板书课题）
二、课题解决，形成理念
师：
如何求点P（3,5）到直线L：
y=2的距离？
生：
可化为两点间的距离。
师：
是哪两点？
生：
过点P作垂直L的直线，它交L于Q，则求PQ的距离。
师：
Q的坐标有什么特点？
生：
它的横坐标与P的一样，纵坐标是2。
且在教师的引导下利用公式|AB|=|x-x||或|y-y|计算。
师：
变为求点P（3,5）到直线L：
x=2的距离？
如何求？
（学生思考一会儿）教师再引导学生同理来求，并归纳：
己知P（x,y），当直线平行x轴时，为d=|y-y|;当直线平行y轴时，为d=|x-x|。
师：
那么一般情况下，己知P（x,y）与直线L，你们想到用什么方案解决这个问题呢？
生：
先求过点P且垂直L的直线；
再求两直线交点Q的坐标；
最后用两点间的距离公式求|PQ|。
y
师：
垂直L的直线的斜率是多少？
P
它方程用什么形式？
生：
直线的斜率是，它的方程是Q
y-y=（x-x）Ox
师：
怎么求点Q的坐标？
生：
由这两条直线方程联立方程组来解。
师：
这种方法好吗？
（生沉思,感叹：
难算。
）
师：
所以，我们还要寻找其它的简便的方法。
我们用一个特殊点（0，0）来代
P（x,y）来思考一下，有没有其它的好方法。
生：
用面积法求|PQ|。
师：
若直线交两坐标分别于R、S两点，则有什么关系式存在？
生：
|OR||OS|=|SR||OQ|
师：
哪些可以求出来？
生：
点S、P可以算出，再算|OR|、|OS|、|SR|，从而算出|OQ|。
师：
还有其它方法吗？
生：
Rt∆相似法。
师：
哪两个三角形相似？
生：
∆OSR与∆QOP
师：
其中有什么关系？
生：
，知道其中三个可以求出|OQ|。
师：
还有其它方法吗？
生：
解直角三角形。
师：
要先求出哪些量？
生：
|OR|，与。
yl
师：
|OQ|与它们有什么关系？
生：
|OQ|=|OR|sin
师：
与直线的倾斜角α什么关系？
ORx
生：
相等。
Q
师：
一定吗？
如果直线不是这样放的？
生：
或有互补关系。
S
师：
所以sin与sinα什么关系？
生：
相等。
师：
sinα怎么算？
生：
可以由tanα=k算。
师：
具体怎么算，先算什么？
生：
由secα=得cosα,再由sinα=cosαtanα算出sinα就行了。
并讨论哪种方法与高中知识联系最紧密，并有代表性。
生：
利用直角三角形的边角关系来计算。
师：
下面就考虑一般情况，先求什么？
生：
求|PM|，
师：
∠P与倾斜角α有什么的关系？
生：
∠P=α或π－α。
Pl
师：
然后解Rt△PMQ，求|PQ|，如何求？
生：
|PQ|=|PM|sin∠P,得PQ|=|PM|sinα,Q
sinα可由tanα=k=-算出.OMαx
（师生一起演算）得出
归纳：
点P（x,y）到直线Ax+By+C=0的距离为d=
三、公式应用，简单模仿
师：
上面的公式有什么范围限制吗?
生：
无论点和直线的位置如何，点线距离公式都是适用的。
师：
做以下的练习
1.平面内一点A到一条直线L的距离公式的使用范围是（）
A对坐标平面内任意点与直线都适用
B当直线过原点时不适用
C当直线的斜率不存在时不适用
D当点A在直线L上时不适用
2.点A（-3,2）到直线L:
y=-3的距离为______.
3.点B（-1,2）到直线L:
3x=2的距离为______.
4.点B（5,-4）到两坐标轴的距离和为______.
5.直线x=-1与直线x=7间的距离是_______.
6.若B（3,m）到直线L:
y=5的距离大于2，求m的取值范围。
（以上的题目可学生口答,教师简要分析。
）
师：
在什么条件下，用什么公式？
生：
己知P（x,y），当直线平行x轴时，为d=|y-y|;当直线平行y轴时，为d=|x-x|。
师：
第5题中可取怎样的两点？
生：
与x轴的两个交点。
四、活用公式，理解本质
7.求点P（-1,2）到直线L:
x/5+y/10=1的距离。
8.已知点（a,6）到直线4x-3y-3=0的距离为28/5，求a的值。
9.已知点A（1,0）到直线x/m+y=1的距离为1/2，求m的值。
学生上来板书，教师再叫其它同学来评价。
师：
用到什么公式？
生：
d=
注：
一般式；A、B化整求其它末知量。
针对每个题目教师叫学生说清哪个是A哪个是B。
五、数形结合，提高能力
10.x轴上任意一点（a,0）到一三象限角平分线的距离是_________.
师：
一三象限角平分线上点的坐标有什么特点？
它的方程为什么？
生：
它的点的横纵坐标相等，方程是y=x。
11.求过原点且与点（-2,5）的距离为2的直线方程。
师；这样的直线有几条？
生；两条。
师：
它们都有斜率吗?
当它斜率不存在时行吗?
生（思考）：
行。
师：
斜率存在时，怎么求呢？
生：
设为点斜式，利用距离来求它，再写出方程。
注：
有几个题来不及做，让学生带回家思考。
六、小结内容，形成体系：
师：
我们学了几种推导点线距离的方法?
生：
二种求点线距离的方法。
师：
哪几种求点线距离的方式?
生：
①|坐标差|②解Rt∆③距离公式.
师：
思考新的问题——两直线间的距离公式为什么？
怎么求？
七、作业：
1.课本第45页第12、13题。
2.补充题：
已知∆ABC的顶点A（4,0）、B（6,7）、C（0,3），求这个三角形的面积。
学习评价方法：
提问法、问卷法、测试法、个别学生谈心法，用这些方法了解学生掌握知识，形成能力的情况。
教学反思:
这堂课，既是一堂新课，也是一堂习题课，一堂实验课；既学习了新知识，也锻炼了用从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法分析解决问题的能力，提高了学生使用现代化工具的动手能力；也让学生感受到数学变化的美；也在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。
因为我第一次上这个班，对学生的情况还不是很了解，导至上课时存在一定的问题，比如教师在引导时，有时讲得太快，使个别同学还不能很快领会；课的容量太大，虽然用了多煤体，但还是让练习的时间太少；设问太深，使成绩中下的同学不容易回答。
以下从五个方面进行进一步的反思：
一、在知识目标的落实上，我的课前设计是先讨论简单情况再讨论复杂情况，然后引导学生从中纳归出一个公式。
在这个过程中要引导学生讨论各种可能的情况。
由于备课不充分，以至于在讨论原点到直线的距离时，认为就是直线的倾斜角，只说了一种情况，后来在讨论一般情况时得到了补充。
上面的书写过程是有经过稍微改动的。
二、在能力目标的落实上，我想通过多煤体的演示引导学生发现问题，解决问题，比如，点P到点O是设计了一个动画形式，这样做是想让学生通过类比，把这种方法迁移过来。
在公式得出的过程中，引导学生用分类讨论以及数形结合的思想思考问题，引导学生思考要全面。
在上课的过程中，发现学生并不是教师想的这么聪明，因此有个别地方学生无法思考，这就要我们在设问上再下点功夫。
三、在情感目标的落实上，我主要是通过多煤体让学生感到数学的美，激发他们的学习兴趣，通过鼓励，让他们有信心去解决难题；通过不断的提问，培养他们思考的坚持性。
而事实上，对学生的鼓励还不够，以至于使数学成绩较差的学生得不到回答问题的机会。
所以以后，我在设问时要做到问题有梯度，让各种学生都能想一点，说一点，做一点。
五、在知识点的联系上，我安排了一些承上启下的问题，使学生能利用所用的知识得出新的结论。
但在设问上还不够细化，过度不太自然，思维跨度较大，不利于中等以下学生思维的培养，这点在以后的教学中要注意。
六、在教学方法的展示上，我利用了动态模拟教学法与提问法等，使学生在计算机的动态的模拟下认识问题的本质以及培养学生数学的审美观，并在教师的问题引导下养成一种思考问题的思维习惯，为以后学习打下良好的基础。
总之，这是一堂从全方位进行探索的课，内容多，难度大，操作性强，所以上好上坏只是一步之差，还好这些学生在他们前任老师的培养下己经初步具有了探索能力，所以这堂课总体还算成功，特作以案例，有什么不当，请大家批评指正。
升级会员 