全国卷II含答案高考文科数学.docx
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全国卷II含答案高考文科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试(1新课标Ⅱ卷)
数学(文)试题
一、选择题(本大题共12题,共计60分)
1.已知集合M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则M∩N=().
A.{-2,-1,0,1}B.{-3,-2,-1,0}
C.{-2,-1,0}D..{-3,-2,-1}
2.2=().
1i
A.22
B.2
C.2
D..1
.设,
满足约束条件
x
y
1
0,
则z=2x-3y的最小值是(
).
x
y
1
0,
3
xy
x
3,
A.-7
B.-6
C.-5
D.-3
4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B
π,C
π,
6
4
则△ABC的面积为(
).
A.2
3+2
B.3+1
C.2
32
D.31
.设椭圆
C
:
x2
y2
>>
0)
的左、右焦点分别为
F
1,F2,
5
a
2
b
2=1(a
b
P
是
C
上的点,
PF
2⊥F12,∠PF12=30°,则C的离心率为(
).
F
F
A.3
B.1
C.1
D.3
6
3
2
3
.已知
α=2
,则
cos
2
π=(
).
6
sin2
3
4
A.1
B.1
C.1
D.2
6
3
2
3
7.执行下面的程序框图,如果输入的
N=4,那么输出的
S=
(
).
A.1+
111
234
1
B.1+1
3
1
4
1
2
2
2
3
C.1+1
1
1
1
2
3
4
5
D.1+1
3
1
4
1
2
5
4
1
2
2
2
3
3
8.设a=log32,b=log52,c=log23,则().
A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b
9.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),
(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,
则得到的正视图可以为().
10.设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若
|AF|=3|BF|,则l的方程为(
).
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=3(x
1)或y=
3(x1)
3
3
C.y=3(x1)或y=
3(x1)
3
3
D.y=2(x
1)或y=
2(x1)
2
2
32
11.已知函数f(x)=x+ax+bx+c,下列结论中错误的是().
B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=0
12.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是().
A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)
2
C.(0,+∞)D.(-1,+∞)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是__________.
14.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=__________.
.已知正四棱锥
O-ABCD的体积为
32
,底面边长为
3,则以O为球
15
2
心,OA为半径的球的表面积为__________.
16.函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移π个单位后,与函数y
2
=sin2xπ的图像重合,则φ=__________.
3
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,
a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+,+a3n-2.
3
18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:
BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A1DE的体积.
4
19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售
出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,
得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售
季度购进了130t该农产品.以X(单位:
t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内
的市场需求量,T(单位:
元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
(1)将T表示为X的函数;
(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
5
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得
线段长为22在y轴上截得线段长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程;
=
x
的距离为
2,求圆P的方程.
(2)若P点到直线y
2
2-x
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xe.
(1)求f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
6
22.(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.
(1)证明:
CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面
积的比值.
7
23.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:
x2cost,(t为参数)上,对应参数分别为t=α
y2sint
与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标
原点.
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:
(1)ab+bc+ca≤1;
3
(2)a2b2c2≥1.
bca
8
2013年普通高等学校招生全国统一考试(1新课标Ⅱ卷)
数学(文)试题
答案解析:
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.答案:
C
解析:
由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选C.
2.答案:
C
解析:
∵2
=1-i,∴
2
=|1-i|=2.
1
i
1
i
3.答案:
B
解析:
如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而
目标函数可化为y
2
x
z
,先画出l0:
y=2
x,当z最小时,直线在
3
3
3
y轴上的截距最大,故最优点为图中的点C,由
x3,
xy10,
可得C(3,4),
代入目标函数得,zmin=2×3-3×4=-6.
4.答案:
B
解析:
A=π-(B+C)=πππ7π,
6412
9
由正弦定理得
a
b
,
sinA
sinB
bsinA
2sin
7π
则a
12
6
2,
sinB
sin
π
6
∴S△
ABC
=1absin
C
1
2
(62)
2
31
2
2
2
.
5.答案:
D
解析:
如图所示,在Rt△PF1F2中,|F1F2|=2c,
设|PF2|=x,则|PF1|=2x,
由tan30=°|PF2|
x
3,得x
23c.
|F1F2|
2c
3
3
而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x,
∴a
3x
3c,∴e
c
c
3.
2
a
3c
3
6.答案:
A
解析:
由半角公式可得,cos2
π
4
π
1
2
1cos2
1sin2
1
=
2
3
.
2
2
2
6
7.答案:
B
解析:
由程序框图依次可得,输入N=4,T=1,S=1,k=2;
10
T
1,S
1+1,k=3;
2
2
T
3
1,S=1+1
3
1,k=4;
2
2
2
T
4
1
2
,S11
1
2
4
1
,k=5;
3
2
3
3
2
输出S
1
1
3
1
4
1
2
.
2
2
3
8.答案:
D
解析:
∵log25>log23>1,∴log23>1>
1
>
1
>0,即log2
3
log23
log25
>1>log3
>
5>,∴>>
2
log20cab.
9.答案:
A
解析:
如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:
则它在平面zOx的投影即正视图为,故选A.
10.答案:
C
解析:
由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.
当直线l的斜率大于0时,如图所示,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.
11
设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,
在△AMK中,由|NB|
|BK|,得t
x
,
|AM|
|AK|
3t
x
4t
解得x=2t,则cos∠NBK=|NB|
t
1,
|BK|
x
2
∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.
∴斜率k=tan60=°3,故直线方程为y=3(x-1).
当直线l的斜率小于0
时,如图所示,同理可得直线方程为
y=
3(x-1),故选C.
11.答案:
C
解析:
若x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故C不正确.
12
12.答案:
D
1
x
解析:
由题意可得,ax
(x>0).
2
x
令f(x)=x1
2
,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知f(x)的值
域为(-1,+∞),故a>-1时,存在正数x使原不等式成立.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:
0.2
解析:
该事件基本事件空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),
(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}共有10个,记A=“其和为5”={(1,4),
(2,3)}有2个,∴P(A)=2
=0.2.
10
14.答案:
2
解析:
以AB,AD为基底,则ABAD
0,
而AE
1AB
AD,BD
ADAB,
2
∴AEBD(
1
ABAD)(ADAB)
1
2
2
1
22
22
2.
ABAD
2
2
2
15.答案:
24π
13
解析:
如图所示,在正四棱锥O-ABCD中,VO-ABCD=1×S正方
3
形ABCD·|OO1|=1×(3)2×|OO1|=32,
32
∴|OO
=32
,|AO
=
6,
1
|
1
|
2
2
2
2
在Rt△OO1A中,OA=|OO1|2
|AO1|2=
32
6
6,
2
2
即R
6,
∴S球=4πR2=24π.
16.答案:
5π
6
解析:
y=cos(2x+φ)向右平移
π
π
个单位得,y
cos2x
2
2
=
cos(2x-π+φ)=sin2xπ++π=sin2xπ,而它与函数
22
ysin2xπ的图像重合,令2x+φ-π=2x+π+2kπ,k∈Z,
323
得5π+2kπ,k∈Z.
6
又-π≤φ<π,∴5π.
6
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.解:
(1)设{an}的公差为d.
14
由题意,a112=a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.
又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.
故an=-2n+27.
(2)
令
n=a1+a4
+a7
+,+a3n
-2
S
.
由
(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为25,公差为-6的等差数列.
从而Sn=n(a1+a3n-2)=n(-6n+56)=-3n2+28n.
22
18.解:
(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.
又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.
因为DF?
平面A1CD,BC1平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.
由已知AC=CB,D为AB的中点,所以CD⊥AB.
又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB
22得∠ACB=90°,CD
2,
A1D6,DE
3,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
15
所以VC-A1DE=1
1
632=1.
3
2
19.解:
(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X
-39000.
当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.
800X39000,100X130,
所以T
65000,130X150.
(2)由
(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.
由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售
季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.
20.解:
(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2.
从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0).由已知得|x0y0|
2.
2
2
又P点在双曲线y2-x2=1上,
从而得|x0
y0|
1,
y1
2
x0
2
1.
由x0
2
y0
2
1,得x0
0,
y0
x0
1
y0
1.
此时,圆P的半径r=3.
由x0
2
y0
2
1,得x0
0,
y0
x0
1y0
1.
此时,圆P的半径r
3.
故圆P的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.
21.解:
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=-e-xx(x-2).①
16
当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(0,2)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增.
故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;
当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为
f
(2)=4e-2.
(2)设切点为(t,f(t)),
则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t).
f(t)
t
t
2
2
所以l在x轴上的截距为m(t)=t
t
3.
f'(t)
t
2
t
2
由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
令h(x)=x
2(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为
x
[22
,+∞);
当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)
∪[2
23,+∞).
综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2
2
3,+∞).
请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2B铅笔
在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;
不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.
22.解:
(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,
所以∠DCB=∠A.
由题设知BC
DC,
FA
EA