集合的概念及其运算.docx

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集合的概念及其运算

1-11-1集合的概念及其运算

基础巩固

一、选择题

1．（文）（2012·四川文，1）设集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则A∪B＝（　　）

A．{b}B．{b，c，d}

C．{a，c，d}D．{a，b，c，d}

[答案]　D

[解析]　本题考查了集合的并集运算，

∵A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，

∴A∪B＝{a，b，c，d}，属容易题．

（理）（2012·陕西理，1）集合M＝{x|lgx>0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（　　）

A．（1,2）B．[1,2）

C．（1,2]D．[1,2]

[答案]　C

[解析]　本题考查了对数不等式、一元二次不等式的解法与集合的运算．

M＝{x|x>1}，N＝{x|－2≤x≤2}，

M∩N＝{x|1

2．（文）（2012·浙江文，1）设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩（∁UQ）＝（　　）

A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}

C．{1,2,5}D．{1,2}

[答案]　D

[解析]　本题考查了集合的交、补运算，由已知得

P∩（∁UQ）＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．

（理）（2012·浙江理，1）设集合A＝{x|1

A．（1,4）B．（3,4）

C．（1,3）D．（1,2）∪（3,4）

[答案]　B

[解析]　本题考查了集合的运算．

x2－2x－3≤0，－1≤x≤3，

∴∁RB＝{x|x<－1或x>3}．

∴A∩（∁RB）＝{x|3

3．（文）已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则（∁UA）∩B等于（　　）

A．[－1,4）B．（2,3）

C．（2,3]D．（－1,4）

[答案]　C

[解析]　解法1：

A＝{x|x>3或x<－1}，B＝{x|2

解法2：

验证排除法，取x＝0，x∉B，故排除A、D.取x＝3,3∉A,3∈B.∴3∈（∁UA）∩B.排除B.

（理）已知函数f（x）＝

的定义域为M，g（x）＝ln（1＋x）的定义域为N，则M∩N等于（　　）

A．{x|x>－1}B．{x|－1

C．{x|x<1}D．∅

[答案]　B

[解析]　M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，

∴M∩N＝{x|－1

4．已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝（　　）

A．{（1,1），（－1,1）}B．{1}

C．[0,1]D．[0，

]

[答案]　D

[解析]　∵M＝[0，＋∞），N＝[－

，

]，

∴M∩N＝[0，

]，故选D.

[点评]　本题特别易错的地方是将数集误认为点集．

5．（文）（2012·安徽文，2）设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg（x－1）的定义域，则A∩B＝（　　）

A．（1,2）B．[1,2]

C．[1,2）D．（1,2]

[答案]　D

[解析]　本题考查了不等式解法，函数定义域求法，集合中的交集运算．

由－3≤2x－1≤3知，－1≤x≤2，要使函数y＝lg（x－1）有意义，须x－1>0，即x>1，∴集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|1

（理）若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（　　）

A．A⊆CB．C⊆A

C．A≠CD．A＝∅

[答案]　A

[解析]　考查集合的基本概念及运算．

∵B∩C⊆B⊆A∪B，A∪B＝B∩C⊆B，

∴A∪B＝B，B∩C＝B，∴A⊆B，B⊆C，∴A⊆C，选A.

6．已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝

，x>2}，则∁UP＝（　　）

A．[

，＋∞）B．（0，

）

C．（0，＋∞）D．（－∞，0]∪[

，＋∞）

[答案]　A

[解析]　本题考查函数值域求解及补集运算．

∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝（0，＋∞），

P＝{y|y＝

，x>2}＝（0，

），

∴∁UP＝[

，＋∞）．

二、填空题

7．若集合A＝{x|（x－1）2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．

[答案]　6

[解析]　由（x－1）2<3x＋7得x2－5x－6<0，

∴A＝（－1,6），因此A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，共有6个元素．

8．（2012·九江模拟）集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．

[答案]　4

[解析]　本小题主要考查了集合的并集运算．

∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，

∴

∴a＝4.

三、解答题

9．已知集合A＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．

[分析]　由A∪B＝B，可以得出A⊆B，

而A⊆B中含有特例A＝∅，应注意．

[解析]　由x2＋4x＝0得：

B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，

（1）若A＝∅，则Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，得a＜－1.

（2）若A≠∅，则0∈A或－4∈A，

当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；

但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．

故由

（1）

（2）得实数a的取值范围是：

a≤－1或a＝1.

能力提升

一、选择题

1．（文）（2012·辽宁文，2）已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则（∁UA）∩（∁UB）（　　）

A．{5,8}B．{7,9}

C．{0,1,3}D．{2,4,6}

[答案]　B

[解析]　本题考查了集合的补集、交集运算．

由已知可得∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}，

∴（∁UA）∩（∁UB）＝{7,9}．

（理）（2012·全国大纲理，2）已知集合A＝{1,3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（　　）

A．0或

B．0或3

C．1或

D．1或3

[答案]　B

[解析]　本小题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合间的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论思想．∵A∪B＝A，∴B⊆A，又A＝{1,3

}，B＝{1，m}，m∈A，即有m＝3或m＝

，

∴m＝0，m＝3，m＝1（舍），故选B.

2．（文）设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：

A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉（A∩B）}，则（A*B）*A等于（　　）

A．AB．B

C．（∁UA）∩BD．A∩（∁UB）

[分析]　本题考查集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的部分，再画出（A*B）*A表示的部分．

[答案]　B

[解析]　画一个一般情况的韦恩图，如图所示，由题目的规定，可知（A*B）*A表示集合B.

（理）（2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考）已知集合P＝{正奇数}和集合M＝{x|x＝a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（　　）

A．加法　　　　　　　B．除法

C．乘法D．减法

[答案]　C

[解析]　因为M⊆P，所以只有奇数乘以奇数还是奇数，所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算，选C.

二、填空题

3．（文）A＝{（x，y）|x2＝y2}，B＝{（x，y）|x＝y2}，则A∩B＝______.

[答案]　{（0,0），（1,1），（1，－1）}．

[解析]　A∩B＝

＝{（0,0），（1,1），（1，－1）}．

（理）已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．

[答案]　（2,3）

[解析]　B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或x≤1.

又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.

∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2

4．（文）设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lgx<1}，若A∩∁UB＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.

[答案]　{2,4,6,8}

[解析]　A∪B＝{x∈N＋|lgx<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩∁UB＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．

（理）设全集U＝R，A＝{x|

>0}，∁UA＝[－1，－n]，则m2＋n2等于________．

[答案]　2

[解析]　由∁UA＝[－1，－n]，知A＝（－∞，－1）∪（－n，＋∞），即不等式

>0的解集为（－∞，－1）∪（－n，＋∞），所以－n＝1，－m＝－1，因此m＝1，n＝－1，

故m2＋n2＝2.

三、解答题

5．（文）设a，b∈R，集合

＝{a2，a＋b,0}，求a2014＋b2014的值．

[解析]　由已知得a≠0，

∴

＝0，即b＝0.

又a≠1，∴a2＝1，∴a＝－1.

∴a2014＋b2014＝（－1）2014＝1.

（理）已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B.

[解析]　

（1）∵9∈（A∩B），

∴9∈A且9∈B，

∴2a－1＝9或a2＝9，

∴a＝5或a＝－3或a＝3，

经检验a＝5或a＝－3符合题意．

∴a＝5或a＝－3.

（2）∵{9}＝A∩B，∴9∈A且9∈B，

由

（1）知a＝5或a＝－3

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，

B＝{－8,4,9}，

此时A∩B＝{9}，

当a＝5时，A＝{－4,9,25}，

B＝{0，－4,9}，

此时A∩B＝{－4,9}，不合题意．

综上知a＝－3.

6．（文）（2013·郑州模拟）设集合A＝{x|x2<4}，B＝

.

（1）求集合A∩B；

（2）若不等式2x2＋ax＋b<0的解集是B，求a，b的值．

[解析]　A＝{x|x2<4}＝{x|－2

B＝

＝

＝{x|－3

（1）A∩B＝{x|－2

（2）∵2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3

∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根，

∴

∴a＝4，b＝－6.

（理）已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}．

（1）若a＝3，求（∁RP）∩Q；

（2）若P⊆Q，求实数a的取值范围．

[解析]　

（1）因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}，

∁RP＝{x|x<4或x>7}．

又Q＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，

所以（∁RP）∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}

＝{x|－2≤x<4}．

（2）若P≠∅，由P⊆Q，

得

解得0≤a≤2；

当P＝∅，即2a＋1

综上，实数a的取值范围是（－∞，2]．

7．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|（x－a）·（x－3a）<0}．

（1）若A⊆B，求a的取值范围；

（2）若A∩B＝∅，求a的取值范围；

（3）若A∩B＝{x|3

[解析]　∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，

∴A＝{x|2

（1）当a>0时，B＝{x|a

应满足

⇒

≤a≤2，

当a<0时，B＝{x|3a

应满足

⇒a∈∅，

∴A⊆B时，

≤a≤2.

（2）要满足A∩B＝∅，

当a>0时，B＝{x|a

a≥4或3a≤2，

∴0

或a≥4；

当a<0时，B＝{x|3a

，

∴a<0时成立；验证知当a＝0时也成立．

综上所述，a≤

或a≥4时，A∩B＝∅.

（3）要满足A∩B＝{x|30且a＝3时成立，

∵此时B＝{x|3

而A∩B＝{x|3

故所求a的值为3.