固体物理基础课后答案.docx
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固体物理基础课后答案
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一．本章习题
P272习题
1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.
一．说明：
C是上下底面距离，a是六边形边长。
二．分析：
首先看是怎样密堆的。
如图（书图1.10（a），P8），六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）
上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a。
所以球心之间即格点之间距离均为a（不管是同层还是上下层之间）。
三．证明：
如图OA=a，OO’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=aO’是ABC的三垂线交点
AO'
AB
a
3
3
（由余弦定理
x2
a2
x2
2axcos30
a
a
a
2xcos30,x
）
2cos30
3
OA2
2
2
（c）2
（a）2
OO'
AO'2
3
a2
（c）2
（
a）2
2
2
2a2
1c2
3
4
c82
21.633
a33
.
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2．若晶胞基矢a,b,c互相垂直，试求晶面族（hkl）的面间距。
一、分析：
我们想到倒格矢与面间距的关系
d
2
。
G
倒格矢与晶面族
（hkl）的关系G
hb1
kb2lb3
写出（b1b2b3）与正格子基矢
（abc）的关系。
即可得与晶面族（
hkl）垂直的倒格矢G。
进而求
得此面间距d。
二、解：
a,b,c互相垂直，可令a
ai,bbj,c
ck
晶胞体积va
（bc）
abc
倒格子基矢：
b1
2（bc）
2
（bjck）
2i
v
abc
a
b2
2
（ca）
2
（ckai）
2
v
abc
j
b
b3
2
（ab）
2
（aibj）
2k
v
abc
c
2（hi
kj
lk）
Ghb1
kb2lb3
而与（hkl）晶面族垂直的倒格矢
a
b
c
（h）2
（k）2
（l）2
G
2
a
b
c
故（hkl）晶面族的面间距
2
d
G
2
2（h）2
（k）2
（l）2
a
b
c
1
（h）2
（k）2
（l）2
a
b
c
.
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3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？
每个原胞含有几个原子？
1．分析：
考虑选取原胞的条件：
（即布拉菲晶格的最小单元）
（1）体积最小的重复结构单元
（2）只包含一个格点
（3）能反映晶格的周期性
应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
原胞反映周期性，在空间无空隙无交叠排列成晶格。
我们不容易看出哪几个原子组合成一个格点。
我们可先分析晶胞是否组成复式格子？
何种格子组成的复式格子？
是由几层套构而成的？
我们知道如果是体心立方，将是两个简立方套构而成的二重复式格子。
如果是面心立方，将有对面面心处的原子构成三重简立方格子；加上顶点处是四重简立方格子。
这样，我们的题中是体心加面心，面心的四重格子加上体心处的原子构成的一重格子，故应是五重简立方的复式格子。
所以布拉菲晶格是简单立方格子。
这样可将体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为一个组合形成一个格点，即由5个原子形成一个格点，亦即基元是选这样的原子组合。
最后格点的原胞是简立方，每个原胞
含一个格点，每个格点含五个原子。
故每个原胞含有5个原子。
2．答：
通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。
体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。
布拉菲晶格是简单立方格子。
.
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4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。
一．（111）面
（1）分析：
先分析有几个原子？
如图（书图1.12，P10）。
（111）面由3顶点连线组成的面。
3个顶点原子，每个贡献
1/6，3个面心原子，每个
贡献1/2，共6原子，每个（111）面有3
1
31
2个原子。
6
2
求出（111）面面积可得原子面密度。
（2）
解：
平均每个（111）面有3
1
1
2个原子。
3
2
6
（111）面面积所以原子面密度
1
2a（2a）2
（
2
a）2
2
a
3
a
3
a2
2
2
4
2
2
2
2
（111）
3a2
3a2
2
二．（110）面
（1）分析：
如图（书图1.12，P10）。
（110）面是四顶点组成的面。
分析有几个原子？
4个顶点原子，每个贡献
1/4（上下两层，每层两个单胞中的（
110）共用一个顶点）；
2个面心原子，每个贡献1/2。
110）面有41
1
共6个原子，平均每个（
2
2原子。
再求出（110）面积即可。
（2）
解：
4
2
1
2
1
2个原子。
平均每个（110）面有4
42
（110）面面积a2a2a2
所以（110）面原子面密度
2
2
（110）
2
a2
2a
.
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5．设二维矩形格子的基矢为a1ai,a22aj，试画出第一、二、三、布里渊区。
解：
倒格子基矢：
b1
2
（a2
a3）
a
2
x
2aix
2
i（a3
xk）
v
2a
a
b2
2
（a3
a1）
2
axj
2
j
12
j
1
b1j
v
a
2a
x
2a
2a
2
所以倒格子也是二维矩形格子。
b2方向短一半。
最近邻b2,b2;
次近邻b1,b1,2b2,2b2;
再次近邻b1b2,b1b2,b2b1,b2b1;
再再次近邻3b2,3b2;
做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。
再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：
第一布里渊区是一个扁长方形；
第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；
第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。
.
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6．六方密堆结构的原胞基矢为：
a1
1ai
3aj
2
2
a2
1
3
ai
aj
2
2
a3
ck
试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。
1．分析：
从前面的学习我们已经知道，六方密堆结构是两个简单六方格子复合成的二重复式格子。
所以原胞为简单六方结构。
1．解：
原胞为简单六方结构。
原胞体积：
va1（a2
a3）
1a（i
3j）[1a（i
3j）ck]
2
2
1a（i
3j）[1ac（j
3i）]
2
2
1a2c（i
3j）（3i
j）
4
3a2c
2
倒格子基矢：
b1
2（a2
a3）
2
[1a（i
3j）ck]
2（i
3j）
v
2
3a
3a2c
2
b2
2
a1）
2
1
3j）]
2
3j）
（a3
3
[cka（i
（i
v
a
2
2
a
2
c
b3
2（a1
a2）
2
k
v
c
由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。
（注意：
倒格
子是简单六方，而不是六方密堆）
选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。
次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。
再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。
所以第一布里渊区是一个六角柱体。
比倒格子六方要小。
.
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7．试求金刚石的结构因子并讨论X射线衍射消失的条件。
解：
图见书P7图1.9（a）
金刚石结构的布拉菲晶格是面心立方格子，基元中有两个原子。
将顶角处选为原点，另一原子位置
rL
a（i
j
k）
4
进而，将面心再看成是四套简立方的复式格子。
简立方每个格点有四个面心立方的格点，而面心立方的格点有
2个原子。
所以简立方的每个格
点就相当于有2
4
8个原子。
6个面心中的3个原子（每对对面中
也就是考虑一个金刚石结构单胞中，顶点中的一个原子和
取一个）及4个对角原子作为一个基元。
最后可构成简单立方晶格。
这时基矢：
a1
ai,a2
aj,a3
ak
一个单胞中各原子位矢：
顶点：
r1
0,
面心：
r2
a（i
j）,r3
a（j
k）,r4
a（i
k）,
对角：
2
2
2
r5
a（i
j
k）,r6
a（i
3j
3k）,
4
4
r7
a（3i
3j
k）,r8
a（3i
j
3k）
4
4
f，
因为都是同一原子，故原子散射因子都为
简立方布拉菲晶格的倒格矢
a
2
（h1i
h2j
h3k）
a
则结构因子
S（G）
fj
iGrj
e
j
1e
i（h1i
h2jh3k）（i
j）
i（h1ih2jh3k）（jk）
e
i2（hihjhk）a（i
jk）
ei（h1ih2jh3k）（ik）
ea
1
2
3
4
f
h3k）（i3j3k）
（h1i
h2j
h3k）（3i
i（h1ih2j
i
3j
k）
e2
e2
i（h1ih2jh3k）（3i
j3k）
e2
1ei（h1h2）
ei（h2h3）
ei（h1h3）
i（h1h2h3）
e2
f
e
i（h13h23h3）i（3h13h2h3）i（3h1h23h3）
2e2e2
1
i（h1
h2）
i（h
2h
3）
i（h1h3）
e
e
e
f
（h1h2
h3）
i
ei（h1h2）
ei（h1h3）]
e2
[1ei（h2
h3）
.
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f[1ei（h1h2）
ei（h2h3）
ei（h1h3）
i
（h1h2h3）
][1e2
]
故当
（1）ei（h1
h2）
ei（h2
h3）
ei（h1
h3）
1
时，S=0，消光；
i（h1
h2
h3）
1
或当
（2）e2
时，也有S=0，也消光。
为使得
（2）成立,需1（h1
h2
h3）
2n
1（奇数）（n为整数）
2
即h1h2h3
2（2n1）
即：
（b）密勒指数之和为奇数的
2倍时，消光。
为使得
（1）成立，需（a）h1、h2、h3不全为奇或不全为偶。
（奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数）（
（1）中左端的3项有2个是-1，能保证
（1）式成立）
所以当：
（a）3个密勒指数不全为奇或不全为偶时，消光；
或（b）3个密勒指数之和为奇数的
2倍时，消光。
若
（Ⅰ）
密勒指数为全奇，并且三者之和为
h1h2h32
2n4n
即3者之和可被4整除时，S
0能看到衍射线。
4整除，所以此条件不存在。
但因为全奇时，三者之和必为奇数，故肯定不能被
故只有在下面的条件，能看到衍射线。
即仅当
（Ⅱ）密勒指数为全偶并且三者之和可被
4整除时，方有S
0，才能看到衍射线。
8、证明一维NaCl晶体的马德隆常数为
2ln2
证明：
N
1
由马德隆常数的定义有
aj
j（i）
其中异号离子取“+”，同号离子取“-”
一维NaCl晶体的结构如图，正负离子相间排列。
最近邻离子的距离为
a。
选O点处离子为参考点，其它离子与它的相对距离为
r01
aa1
a1,r02
aa2
a
2,r03
aa3
a3,
r01
aa1
a1,r02aa2
a2,r03
aa3
a3,
N
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
aj
a1
a2
a3
a4
aN
a1
a2
a3
a4
...
j（i）
aN
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
...
N
1
2
3
...
4
4
N
2
2
.
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2（1
1
1
1
...
1）
1
2
3
4
N
2
x2
1）n1xn
由泰勒公式展开
ln（1
x）
x
...（
Rn（x）（高数第一册
P161例2）
1
2
1）n11
n
当x=1时，有ln2
1
...
（
Rn
（1）
N
2
n
上面的
大，余项Rn
（1）很小，舍去。
2
n
N很大，n
故有
2ln2
问题得证。
r
9、若离子间的排斥势用e来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。
解：
（1）一般情况：
第j个与第i
个离子间的库仑势为
e2
（同号取“+”，异号取“-”）
40rij
rij
排斥势为e
2
rij
第j个与第i
个的相互作用势为u（rij）
e
e
4
0rij
N
2
rij
所有离子对
第i个离子的总相互作用为
e
e
4
0rij
j（i）
因为表面离子数相对总数少，忽略晶体表面离子与内部的差异。
设最近邻离子间距为r，则rij=raj
故有晶体内离子间总的相互作用为：
U
N
2
N
2
rij
2
N
N
raj
（
e
e
）
N
[e
1
e
]
j（i）
4
0rij
24
0rj（i）aj
j（i）
（此时，
1
“-”表示同号离子之间）
中的“+”表示异号离子之间，
aj
如果只考虑最近邻的排斥，且设有
Z个最近邻离子
.
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N（
e
2
r
则U
Ze）
2
4
0r
α是马德隆常数。
结合能ECU
（2）平衡时结合能的表达式：
设r=r0是平衡时的最近邻距离。
则U（r0）取得极小值。
即
U（r）
0
rrr0
则有U（r）
N[
2
1）Ze
r0
e
2
（
）0
r
rr0
2
4
0r0
e
2
r0
解得
e
0r0
2
4
Z
平衡时，晶体相互作用能
U（r0）
N
e2
（1
）
8
0r0
r0
平衡时结合能的表达式
EC
U（r0）
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