椭圆定义与几何意义有关习题及答案.docx
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椭圆定义与几何意义有关习题及答案
椭圆定义与几何意义习题及答案
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值围为
（
）
A.
（0,
+OO）
B.（0,2）
C.
（1,
+OO）
D.（0,1）
2.已知
F1、
F2是椭圆的两个焦点，满足MF1.MF20的点M总在椭圆
部，贝財椭圆离心率的取值围是（）
A-（0,1）B嗚］C-（0申D•日）
4.已知椭圆的两个焦点为F1（.5,0）,F2C一5,0）,M是椭圆上一点，若
22
6.椭圆笃+爲=1（a>b>0）上一点A关于原点的对称点为B,F为其
ab
右焦点，若AF丄BF,设/ABF二，且€［-,］，则该椭圆离
124
心率的取值围为（）
A•［乎,1）B•［乎罟］C•［弓,1）D•［乎弓］
223322
22
7.设抛物线y22px（p0）的焦点F恰好是椭圆笃爲1ab0的
ab
（A）
3、.2
（B）
2
3
8.在椭圆
22
xy
2.2
ab
1（ab
0）上有一点
右焦点，且两条曲线的交点的连线过点
F，则该椭圆的离心率为
（C）、21（D）'
3
M,F1,F2是椭圆的两个焦点，
若|MFJIMF2I2b2，则椭圆离心率的围是（）
1
同，离心率为2，则此椭圆的方程为（）
2x
2
y1
2x
2
y1
A.
12
16
B.
16
12
2
2
2
2
x
厶1
x
「1
C.
48
64
D.
64
48
10.
22在椭圆务占
1（a
b
0）上有一点M,F1,F2是椭圆的两个焦点,
厶I1
ab
若|MF1||MF2|2b2，贝卩椭圆离心率的围是（）
A•（0,子］B.［自）C•谆，1）D•【21）
二、填空题（共4小题，每小题4分）
11.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2,点P是C1与
C2的一个公共点，PF^2是一个以PF1为底的等腰三角形，
3
|PF1〔4,C1的离心率为7,则C2的离心率
为。
22
12.设冃、2是椭圆—丄1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1:
94
P卮=2:
1，则△PF1F2的面积等于.
22
13•椭圆笃爲1上的点P到它的两个焦点F1、F2的距离之比
ab
PF1UPF22:
73，且PF1F2（0-），则的最大值为..
2
14.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆
b2
1（ab0）的左顶点为A,左焦点为F，上顶点为B，若
BAOBFO900，则椭圆的离心率是
£
\■
7
J*1
O'
三、解答题（共44分，写出必要的步骤）
22
15.（本小题满分10分）已知点P（4,4）,圆C:
（xm）y5（m3）
是椭圆的左、右焦点，
直线PF1与圆C相切.
（I）求m的值与椭圆E的方程;
uuuUULT
（H）设Q为椭圆E上的一个动点，求APAQ的取值围.
22C：
x_y_
16.
（本小题满分10分）已知椭圆a2b2
-1）,离心率为2。
过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C
交于异于M的另外两点P、Q
（I）求椭圆C的方程；
（II）PMQ能否为直角？
证明你的结论；
（III）证明：
直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。
22
C:
-2y^1（ab0）
17.（本小题满分12分）已知椭圆ab经过点m（-2,
返
-1）,离心率为2。
过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C
交于异于M的另外两点P、Q。
（I）求椭圆C的方程；
（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论。
18.（本小题满分12分）已知椭圆Ci、抛物线C2的焦点均在x轴上，Ci的中心和C2的顶点均为原点0,从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
2
4
v'2
y
2%/3
0
4
2
（I）求G、C2的标准方程;
（H）请问是否存在直线I满足条件：
①过C2的焦点F；②与Ci交不同两点M、N,且满足0M0N?
若存在，求出直线I的方程；若不存在，说明理由.
答案
一、选择题
I.D2.C3.D4.C5.B6.B7.C8.B9.B10.B
二、填空题
II.312.413.14.辽1
32
三、解答题
15.解：
（I）点A代入圆C方程，
得（3m）2
因为mv3，二m=1.2分
圆C:
（x1）2y25.
设直线PF1的斜率为k,
则PF1:
yk（x4）4,
即kxy4k40.
因为直线PF与圆C相切，
所以比_°_4匚|5.
Tk^7
解得k11,或k1.
22
当k=11时，直线PFi与x轴的交点横坐标为逆，不合题意，舍
211
去.
当k=1时，直线PFi与x轴的交点横坐标为一4,
2
所以c=4.F1（—4,0）,F?
（4,0）.
2a=AFi+AF2=52262,a32,a2=18,b2=2.
22
椭圆E的方程为：
y_i.
182
/、uuu、口/、uur
（H）AP（1,3），设Q（x,y）,AQ（x3,y1）,
uuiur
APAQ（x3）3（y1）x3y6.
22
因为—y1，即x2（3y）218,
182
而x2（3y）2>2|x||3y|，二一18<6xyW18.
则（x3y）2x2（3y）26xy186xy的取值围是[0,36].
x3y的取值围是[—6,6].
所以APAQx3y6的取值围是[—12,0].
a2+b2
①
由①、②解得a2=6,b2=3,
x2y2
椭圆c的方程为xr+y2=1.
（H）记P（x1,y1）、Q（x2,y2）.
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得
（1+2k2）x2+（8k2-4k）x+8k2-8k-4=0,
-4k2+4k+2
~1+2k2~
设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2）,
因y1+1=k（x1+2）,y2+1=-k（x2+2）,
8k
1+2k2
1,
因此直线PQ的斜率为定值.
41
17.（I）由题设，得a2+b2=1，
x2
y2
3
1.
（H）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为—k,
假设/PMQ为直角，则k•（—k）=—1,k=±1.
若k=1，则直线MQ方程y+1=—（x+2）,
与椭圆C方程联立，得x2+4x+4=0,
该方程有两个相等的实数根-2,不合题意；
同理，若k=—1也不合题意.
故/PMQ不可能为直
角.6分
（皿）记P（x1,y1）、Q（x2,y2）.
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得
（1+2k2）x2+（8k2—4k）x+8k2—8k—4=0,
—4k2+4k+2
1+2k2
设直线MQ的方程为y+1=—k（x+2）,
同理得x2
—4k2—4k+2
1+2k2
因y1+1=k（x1+2）,y2+1=—k（x2+2）,
8k
故kPQ=X1—2=
y1—y2k（x1+2）+k（x2+2）k（x1+x2+4）1+2k2
x1—x2
x1—x2
8k
1+2k2
1,
因此直线PQ
值.
12分
18.解：
（I）设抛物线C2:
y22px（p
0），则有
2
1-2p（x
x
0），据此
验证4个点知（3，2.3）、（4，
4）在抛物线上，易求
C2:
y24x
2设CC2:
笃a
2yb2
（a
b0），把点（
2，0）c2'子）代入得:
4
a
2
a
1
2b2
解得｛4
b21
（H）法一:
假设存在这样的直线I过抛物线焦点F（1,0），设直线I的方程为
x1my,两交点坐标为M（X1,yJ,N（X2,y2）,
x1
2
x
4
my
y21
22
（m4）y
2my3
0,
…yi
X]X2
2m3
y2k""2k
2
（1my0（1my2）1m（yiy?
）my°2
2
2m2344m
1m—2m2—
m4m4m4
tUUJUUULT
由OMON，即OMON0，得x1x2
yiy2
0（*）
①②代入（*）式，得-
4m2m24
11分
所以假设成立，即存在直线I满足条件，且l的方程为：
y2x2
2x2
…12分
法二：
容易验证直线I的斜率不存在时，不满足题
意；6分
当直线I斜率存在时，假设存在直线I过抛物线焦点F（1,0）,设其
方程为yk（x1）,
与C的父点坐标为M（X1,yJN（X2,y2）
2
X由2
y21
消
掉
y
y
k（x1）
（14k2）x28k2x4（k21）0,
②10分
丄uuunujur
由OMON，即OMON0,得x1x2y1y20（*）
11分
所以存在直线I满足条件，且I的方程为：
y2x2或
y2x2.12分
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