椭圆培优经典讲义教师版.docx

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椭圆培优经典讲义教师版

圆锥曲线与方程

第一节椭圆

考点一……椭圆的定义及应用

22

1.（2009年北京卷，理12）椭圆-上1的焦点为戶、F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,贝U

92

|PF2|=,/F1PF2的大小为.

22

解析:

由椭圆方程-L1可知a=9,b2=2,

92

2

.c=7,c=7,a=3.

由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,

由|PF1|=4,得|PF2|=2.

在△PF1F2中，由余弦定理的推论有

222

cos/F1PF2=PF1—PF2_F1F2_

2|PF1||PF2|

=422228

Safae=1X（2X）X（1+1）=3.

22

答案：

3

22

3.（2009年上海卷,理9）已知Fi、F2是椭圆C:

手％1（a>b>0）的两个焦点,P为椭圆C上

ab

解析:

由题意可知,1器2=9,①

由椭圆定义可知,|PFi|+|PF2|=2a,③

联立①②③解得a-c2=9,

2

即b=9,•••b=3.

答案：

3

考点二

椭圆的方程及其简单性质应用

1.（2013

22

年新课标全国卷I,理10）已知椭圆E:

41（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点

F的直线交E于A、B两点.若AB的中点坐标为（1,-1）,则E的方程为（）

2

（A）-

45

222

yxy

1（B）1

363627

2

（C）-

27

222

1（D）x_y_1

18189

解析：

已知椭圆与直线相交弦的中点及斜率，可以用两点式求解

设A（xi,yi）,B（x2,y2）,AB的中点D（1,-1）,

则kAB=],

2

X1+X2=2,y计y2=-2,

答案:

D

2.（2011年新课标全国卷，理14）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点R、F2

在x轴上，离心率为—,过F1的直线I交C于A、B两点，且厶ABF的周长为16,那么C的方

2

程为.

22

解析：

设椭圆标准方程为二占1（a>b>0）,

ab

由题意知|BA|+|BF2|+|AF2|=|BF1|+|BF2|+|AF1|+|AF2|=4a=16,

•a=4,

由e=-=2得c=2-2,a2

.222f

•b=a-c=8,

22

•••椭圆标准方程为-1.

168

22

答案：

L仝i

168

22

3.（2011年江西卷，理14）若椭圆$占1的焦点在x轴上，过点1,丄作圆x2+y2=1的切线，

ab2

切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.

解析:

设点D1,1,

2

由平面几何知识易知,AB丄OD,

…kAB=-2.

设AB方程为y=-2x+m.

又过点1,1作圆x2+y2=1的切线中有一条是x=1,

2

不妨设B（1,0）.

把x=1,y=0代入AB方程，可得m=2.

由题意可知,b=2,c=1,

•••a2=5.

22•椭圆方程为'工1.

54

22

答案：

竺乂1

54

考点三…椭圆离心率的求法

22

1.（2012年新课标全国卷，理4）设F1,F2是椭圆E:

笃爲1（a>b>0）的左、右焦点,P为直

ab

线x=3a上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）

2

（A）1（B）-（C）-（D）-

2345

解析:

如图所示,设直线x=-a与x轴的交点为Q,

2

由题意可知，

/F2F1P=ZF1PF2=30°,

|PF2|=|F1F2|=2c,

•••/PRQ=60°,/F2PQ=30

1

•••|F2Q|=1|PF2|.

2

即3a-c=1•2c,

22

•••e=£=3

答案:

C

22

2.（2013年福建卷,理14）椭圆r:

寿1（a>b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,焦距为2c.

ab

若直线y=3（x+c）与椭圆r的一个交点满足/MFF2=2/MFFi,则该椭圆的离心率等

于.

解析：

直线y=3（x+c）过点Fi（-c,O）且倾斜角为60°,

所以/MFF2=60°,/MFFi=30°,

所以/FiMF=90°,

所以RM!

F2M,

在Rt△F1MF中,

|MF1|=c,|MF2|=3c,

所以e=c=?

£=2c=2c=3-1.

a2a|MFj|MF2|cJ3c

答案：

.3-1

22

3.（2013年辽宁卷，理15）已知椭圆C:

乡爲1（a>b>0）的左焦点为F,椭圆C与过原点的

ab

直线相交于A,B两点，连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos

/abf=4,则椭圆C的离心率

5

e=

5

解析：

如图所示,由|AB|=10,|AF|=6,cos/ABF=4,得BF=8,则AF丄BF,半焦距c=FO=」AB=5.

设椭圆右焦点为F2,

由对称性知AR=BF=8,a=7,所以e=-c=-5.a7

答案:

|

考点四….直线与椭圆的位置关系

1.（2014高考新课标全国卷n

是C上一点且MF与x轴垂直，直线MF与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为,求C的离心率；

⑵若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1NI，求a,b.

将b=a-c2代入2b=3ac,解得洋汁2.（舍去）•

故C的离心率为.

⑵由题意,原点0为F1F2的中点，MF2〃y轴,所以直线MF与y轴的交点D（0,2）是线段MF的

中点，故=4,即

口

2

b=4a.①

由|MN|=5|FiN|得|DFi|=2|FiN|.

设N（xi,yi）,由题意知yi<0,则

J二U

I对=£

代入C的方程，得寻*=1.②

将①及c=、--代入②得解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=^：

-|.

2.（2014高考新课标全国卷I,理20）已知点A（0,-2）,椭圆E：

W+「=1（a>b>0）的离心率为

-,F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为一,O为坐标原点

（1）求E的方程；

解:

（1）设F（c,O）,

⑵设过点A的动直线I与E相交于P,Q两点，当厶OPQ的面积最大时，求I的方程.

又D,所以a=2,b2=a2-c2=1.

故E的方程为宁+y2=1.

4

⑵当I丄x轴时不合题意,故设l:

y=kx-2,P（x1,y1）,Q（x2,y2）.

将y=kx-2代入二+y2=1得

22

（1+4k）x-16kx+12=0.

从而|PQ|="；广I|xi-x2|=

设J+fcH-3=t，则t>O,S

dt斗

△OPQ^=—

Saopct-d•|PQ|=

因为t+f>4,当且仅当t=2,即k=土「时等号成立，且满足△>0.

所以，当厶OPQ勺面积最大时,l的方程为

22

M:

笃占1（a>b>0）右ab

y=—x-2或y=-—x-2.

3.（2013年新课标全国卷H,理20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆

焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点，且OP的斜率为丄.

2

（1）求M的方程；

⑵C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDLAB,求四边形ACBD面积的最大值

2222

解：

（1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,P（x0,y0）,则込1,电与1,皿~"=-1,

ababx2x1

2

由此可得IX2X1=-追Xi*

ay2y1x2x1

因此|AB|=甘.

设C（X3,y3）,D（x4,y4）.

yxn,

由x2y2得3x2+4nx+2n2-6=0.

-乞1

63

十口2nv'29n2

于是X3,4=.

3

因为直线CD的斜率为1,

所以|CD|=盪|x4-x3|=4J9n2.

3

由已知,四边形ACBD勺面积

S=!

|CD|•|AB|=869n2.

29

当n=0时,S取得最大值，最大值为^6

3

所以四边形ACBD面积的最大值为出.

3

4.（2014高考浙江卷，理21）如图，设椭圆C:

+「=1（a>b>0）,动直线I与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限

（1）已知直线I的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;

⑵若过原点O的直线I1与I垂直，证明：

点P到直线11的距离的最大值为a-b.

解:

（1）设直线l的方程为y=kx+m（k<0）,ry=kxin,

由弓十gr消去y得

222222222

（b+ak）x+2akmx+am-ab=0.

又点P在第一象限，故点P的坐标为卡—，丿.

⑵由于直线11过原点0且与I垂直，故直线11的方程为x+ky=0,所以点P到直线Ii的距离|严一」「

d=

22卜亠

因为ak+>2ab,

it"

Jl+fc

当且仅当k2=时等号成立

二

所以，点P到直线Ii的距离的最大值为a-b.

22

5.（2012年福建卷，理19）如图，椭圆E:

笃yT1（a>b>0）的左焦点为R,右焦点为F2,离心

ab

率e=-.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且厶ABF的周长为8.

2

•••4a=8,a=2,

又e=2=1,

a2

c=1,•b=3.

22

•椭圆E的方程是、乙1.

43

ykxm,

⑵由x2y2消去y,

1

43

整理得（3+4k2）x2+8mkx+4n2-12=0.

P（xo,yo）,

•••动直线l与椭圆E有且只有一个公共点

222

•△=（8km）-4（3+4k）（4m-12）=0,m工0,整理得m=4k2+3.①

此时Xo=

8mk

234k2

4k

m

yo=k•兰+m=2,

mm

•P4k3

.・P,.

mm

x4由’得Q（4,4k+m）.

ykxm

M,

假设在坐标平面内存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点

由椭圆的对称性可知，点M—定在x轴上，

设M（X1,0）,

rULLr4k3UULU

则MP=—X1,—,MQ=（4-x1,4k+m）.

mm

•/MP!

MQ,

即Mp•MQ=0对满足①式的所有m,k均成立,

即4kx1（4-x1）+—•（4k+m）=0对满足①式的所有m

mm

整理得（4x1-4）-+x!

-4x1+3=0.②m

由于②对满足①的m,k恒成立，

4X140,

x；4x,3

o,解得x1=1.

M.

故存在定点M（1,o）,使得以PQ为直径的圆恒过点

（1）求椭圆E的方程；