学年天津市静海区四校第四中学等联考高一份数学试题.docx
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学年天津市静海区四校第四中学等联考高一份数学试题
静海区2019—2020学年度第一学期四校联考试卷
高一数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第2页至第4页。
试卷满分120分。
考试时间90分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题（共12题；每题3分，共36分,其中每题的四个选项中，有1个正确答案）
1．设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝（ ）
A．{－1}B．{－1,0}
C．{－1,3}D．{－1,0,3}
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为（ ）
A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
4．设A＝{x|2A．m>3B．m≥3
C．m<3D．m≤3
5．已知：
a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（ ）
A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>－b，则c－aC．若a>b，c>
D．若a2>b2，则－a<－b
6．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ）
A．a>bB．aC．a≥bD．a≤b
7．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝
和y＝（
）2
C．f（x）＝x2和g（x）＝（x＋1）2
D．f（x）＝
和g（x）＝
8.已知函数y＝x－4＋
（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（ ）
A．－3B．2
C．3D．8
9．若不等式x2＋mx＋
>0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．（－∞，2）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0,2）
10．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），则实数m的取值范围是（ ）
A．（－∞，－3）B．（0，＋∞）
C．（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（3，＋∞）
11．下列函数在[1,4]上最大值为3的是（ ）
A．y＝
＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2D．y＝1－x
12．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有
<0，则（ ）
A．f（3）（1）B．f
（1）C．f（－2）（1）（1）第Ⅱ卷
二、填空题（每题3分，共24分）
13．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.
14．已知集合A＝{x|（x－3）（x＋1）<0}，B＝{x|x－1>0}，则A∪B＝________.
15.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
16．给定下列命题：
①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒
<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d.
其中错误的命题是________（填写相应序号）．
17．已知x>0，y>0，且
＋
＝1，则3x＋4y的最小值是________
18．函数f（x）＝
在[1，b]（b>1）上的最小值是
，则b＝________.
19．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
20．已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________．
三、解答题（每题12分，共60分）
21.（12分）求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝
；
（2）f（x）＝
；
（3）f（x）＝
－
＋
.
22.（12分）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2
23．（12分）已知函数f（x）＝
，x∈[3,5]．
（1）判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
（2）求该函数的最大值和最小值．
24．（12分）解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
25.（12分）如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
一、选择题（每题3分）
1．设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝（）
A．{－1}B．{－1,0}
C．{－1,3}D．{－1,0,3}
解析：
集合B＝{x|x2－3x>0}＝{x|x<0或x>3}，则A∩B＝{－1}，选A.
答案：
A
2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B
a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
答案：
A
3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为（）
A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
解析：
由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.
答案：
C
4．设A＝{x|2A．m>3B．m≥3
C．m<3D．m≤3
解析：
因为A＝{x|2将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.
答案：
B
5．已知：
a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（）
A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>－b，则c－aC．若a>b，cbdD．若a2>b2，则－a<－b
解析：
选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立．
答案：
B
6．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（）
A．a>bB．aC．a≥bD．a≤b
解析：
a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）
＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b.
答案：
C
7．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．y＝x＋1和y＝x2－1x－1
B．y＝和y＝（）2
C．f（x）＝x2和g（x）＝（x＋1）2
D．f（x）＝xx和g（x）＝
解析：
只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．
答案：
D
8.已知函数y＝x－4＋9x＋1（x>－1），当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）
A．－3B．2
C．3D．8
解析：
y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5.由x>－1，得x＋1>0，9x＋1>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥29x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：
C
9．若不等式x2＋mx＋m2>0的解集为R，则实数m的取值范围是（）
A．（2，＋∞）B．（－∞，2）
C．（－∞，0）∪（2，＋∞）D．（0,2）
解析：
由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m2－4×1×m2<0，即m2－2m<0，解得0答案：
D
10．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），则实数m的取值范围是（）
A．（－∞，－3）B．（0，＋∞）
C．（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（3，＋∞）
解析：
因为函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）>f（－m＋9），所以2m>－m＋9，即m>3.
答案：
C
11．下列函数在[1,4]上最大值为3的是（）
A．y＝1x＋2B．y＝3x－2
C．y＝x2D．y＝1－x
解析：
B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
答案：
A
12．定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有f（x1x1－x2<0，则（）
A．f（3）（1）B．f
（1）C．f（－2）（1）（1）解析：
由已知f（x1x1－x2<0，
得f（x）在x∈[0，＋∞）上单调递减，
由偶函数性质得f（3）（1），故选A.
答案：
A
2、填空题（每题3分）
13．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________.
解析：
由集合相等的概念得a2－1＝0，a2－3a＝－2，解得a＝1.
答案：
1
14．已知集合A＝{x|（x－3）（x＋1）<0}，B＝{x|x－1>0}，则A∪B＝________.
解析：
因为集合A＝{x|（x－3）（x＋1）<0}＝{x|－11}，所以A∪B＝{x|x>－1}．
答案：
{x|x>－1}
15．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．
解析：
所给命题是存在量词命题；其否定应为全称量词命题．
答案：
∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
16．给定下列命题：
①a>b⇒a2>b2；②a2>b2⇒a>b；③a>b⇒ba<1；④a>b，c>d⇒ac>bd；⑤a>b，c>d⇒a－c>b－d.
其中错误的命题是________（填写相应序号）．
解析：
由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故①②都错误；对于③，只有当a>0且a>b时，ba<1才成立，故③错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故④错误；对于⑤，由c>d得－d>－c，从而a－d>b－c，故⑤错误．
答案：
①②③④⑤
17．已知x>0，y>0，且1y＋3x＝1，则3x＋4y的最小值是________．
解析：
因为x>0，y>0，1y＋3x＝1，
所以3x＋4y＝（3x＋4y）3x＝13＋3xy＋12yx≥13＋3×24yx＝25（当且仅当x＝2y＝5时取等号），
所以（3x＋4y）min＝25.
答案：
25
18．函数f（x）＝1x在[1，b]（b>1）上的最小值是14，则b＝________.
解析：
因为f（x）在[1，b]上是减函数，所以f（x）在[1，b]上的最小值为f（b）＝1b＝14，所以b＝4.
答案：
4
19．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
解析：
∵f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，
∴a－1＋2a＝0，∴a＝13.又f（－x）＝f（x），
∴b＝0，∴a＋b＝13.
答案：
13
20．已知y＝f（x）是奇函数，当x<0时，f（x）＝x2＋ax，且f（3）＝6，则a的值为________．
解析：
因为f（x）是奇函数，所以f（－3）＝－f（3）＝－6，所以（－3）2＋a（－3）＝－6，解得a＝5.
答案：
5
3、解答题
21.求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝6x2－3x＋2；
（2）f（x）＝（x＋1|x|－x；
（3）f（x）＝－12－x＋1x.
解析：
（1）要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，
即x≠1且x≠2，
故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．
（2）要使函数有意义，则x＋1≠0，|x|－x>0，
解得x<0且x≠－1.
所以定义域为（－∞，－1）∪（－1,0）．
（3）要使函数有意义，则2－x>0，x≠0，
解得－32≤x<2，且x≠0.
故定义域为3，0∪（0,2）．
22.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解析：
把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：
由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2∁U（A∩B）＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
（∁UA）∩B＝{x|－323．已知函数f（x）＝2x－1x＋1，x∈[3,5]．
（1）判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
（2）求该函数的最大值和最小值．
解析：
（1）函数f（x）在[3,5]上是单调递增的，
证明：
设任意x1，x2，满足3≤x1因为f（x1）－f（x2）＝2x1－1x1＋1－2x2－1x2＋1
＝（2x1－1（x1＋1
＝3（x1－x2（x1＋1，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f（x1）－f（x2）<0，
即f（x1）所以f（x）＝2x－1x＋1在[3,5]上是单调递增的．
（2）f（x）min＝f（3）＝2×3－13＋1＝54，
f（x）max＝f（5）＝2×5－15＋1＝32.
24．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解析：
方程x2－ax－2a2＝0的判断式Δ＝a2＋8a2＝9a2≥0，得方程两根x1＝2a，x2＝－a.
（1）若a>0，则－a（2）若a<0，则2a（3）若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为∅.
综上所述，原不等式的解集为：
当a>0时，{x|－a当a<0时，{x|2a当a＝0时，∅.
5．（12分）
25.如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
解析：
（1）设每间虎笼长为xm，宽为ym，则由条件，知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼的面积为S，则S＝xy.
方法一由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤272，即S≤272.
当且仅当2x＝3y时等号成立．
由2x＝3y，2x＋3y＝18，解得x＝4.5y＝3.
故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．
方法二由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.
∵x>0，∴0S＝xy＝3yy＝32（6－y）y.
∵00.∴S≤32（6－y22＝272.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大．
（2）由条件知S＝xy＝24.
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
方法一∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2（2x＋3y）≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.
故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．
方法二由xy＝24，得x＝24y.
∴l＝4x＋6y＝96y＋6y＝616＋y≥6×216×y＝48，
当且仅当16y＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋总长最小．
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