北工商《概率论与数理统计》期末考试试题A.docx
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北工商《概率论与数理统计》期末考试试题A
《概率论与数理统计》期末考试试题A
一、填空题（每题3分，共15分）
1、已知随机变量X服从参数为2的泊松（Poisson）分布，且随机变量Z=2X-2，则EZi=
2、设A、B是随机事件，PA]=0.7,PA-B]=0.3，贝UPABV-
3、设二维随机变量X,Y的分布列为
—
1
2
3
1
1
1
1
6
9
18
2
1
3
a
若X与Y相互独立，则八]的值分别为。
4、设D（X）=4,D（Y）=1,R（X,Y）=0.6，贝UD（X—Y尸
n
5、设Xi,X2，川，Xn是取自总体N（・i,；「2）的样本，则统计量AfXi」）2服从
iA
分布•
、选择题（每题3分，共15分）
1、一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】
（A）——；（B）旳一1）；（C）亠;（D）.
a+b_1（a+b）（a+b_1）a+b（a+b丿
2、设事件A与B互不相容，且PA-0,PB"0，则下面结论正确的是【】
（A）A与B互不相容；（B）P（BA）a0;
（C）PAB=PAPB；（D）PAB=PA.
3、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N0,1和N1,1，则【】
1“1
（A）PXY乞0=-；（B）PXY乞1=-;
22
j1
（C）PXY乞0；
4、如果X,Y满足D（XDX-Y，则必有【】
（A）X与Y独立；（B）X与丫不相关；（C）DY=O;（D）DX=0
X的分布律为
5、设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且则随机变量Z二maxX,Y的分布律为【】
X
01
P
11
22
11
（A）Pz=0,Pz"；（B）Pz=0=1,Pz=1=0；
22
（C）Pz"J'P"1电；（D）Pz=°电'PzE€。
4444
三、解答题（共30分）
1.（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放
在一起，求：
任意取出的零件是合格品（A）的概率•
2.（本题满分8分）将一枚硬币连掷三次，X表示三次中出现正面的次数，Y表示三次中出
现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：
（1）（X，Y）的联合概率分布；
（2）P「Y.X?
.
3.（本题满分10分）设随机变量X~N0,1，Y=X2T，试求随机变量Y的密度函数.
四、（8分）设X的密度函数为f（x）-leYR,x・（」：
，*）
2
1求X的数学期望E（X）和方差D（X）；
2求X与X的协方差和相关系数，并讨论X与X是否相关？
五、（本题满分8分）二维随机变量（X,Y）的概率密度为
求：
（1）系数A；
（2）X，Y的边缘密度函数;
22
六、（本题满分12分）设总体X~NT二，二，其中丄是已知参数，-0是未知
参数.X2,…，Xn是从该总体中抽取的一个样本，
22
⑴•求未知参数匚的极大似然估计量：
？
;
⑵.判断C?
2是否为未知参数/的无偏估计.
七、（本题满分8分）设总体X~N1L,二2，其中且」与二2都未知，7：
：
：
」：
：
：
；
2
匚0•现从总体X中抽取容量n=16的样本观测值％,X2,…，为6,算出
1161162
xxi=503.75,sxi-x6.2022，试在置信水平1=0.95下，
16ia15id
求丛的置信区间.（已知:
t0.05（15）=1.7531,t0.05（16）=1.7459,t0.025（15）=2.1315,
t°Q2516=2.1199）•
八、（本题满分8分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为7.5kg且强力
服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25件作强力试验，算
I135
s-一£（码-=95kg
得，「二,问新产品的强力标准差是否有显著变化？
（分别取二.丄和0.01,已知1厂」；〉-
《概率论与数理统计》期末考试试题参考答案
21一2
、填空题：
1、2；2、0.4;3.,；4、2.6;5、忆（n）
99
二、选择题：
1、C;2、D;3、B;4、B;5、C
三、1.解：
设Bi=取出的零件由第i台加工”（i=1,2）
21
PM-PB1PAB1PB2PAB2A0.970.98=0.973
33
2.解：
由题意知，X的可能取值为：
0,1,2,3;Y的可能取值为：
1,3.
p，：
x=0,丫=3‘=2=8，P牧=1,y=*=c311=8，
28
*
1
3
0
0
1
8
1
3
8
0
2
3
8
0
3
0
1
8
（2）pVX^P'X=0,Y=3'=~
8
3.解：
随机变量X的密度函数为
f（x）=^^e
12兀
设随机变量Y的分布函数为Fyy，则有
Fyy「丫乞y；=P?
X21辽y；=P〈X2乞y
1.如果y-1乞0，即八1，则有Fyy=0;
2.如果y•1，则有
Fyy=P?
X2乞y_仁=pl.y_1乞X乞.y_1?
■u'Rx2
e2dx
1
2-r
・2沪
e2dxy1
0
0
所以,
X2
fYy二Fyy二、2二
2
x
2-：
：
：
X：
：
：
y乞1
2上
e2y1
2jy-1
y-1
rJ
=尹y1
-1
四、解:
D（X）=
2
二x
E（X
Qx
2
I0
y-1
1xl
E（X）x—e^dx
J^o2
二0
2）-[E（X）]2
①
1e」dx=2
2
■-:
2
dx—0=2x
②Cov（X,X）=E（XX）-E（X）E（X）=
所以X与X不相关•
五、（本题满分10分）
解：
（1）由仁.；，:
f（x,y）dxdy=「「Ae"2y）dxdy
=A0e^dx0e°ydy=1A所以A=2
-He
1-x
edx-0二0
2
（2）X的边缘密度函数：
fX（x）=「「f（x,y）dy=«
e」
L0,
2eJy
0,
（3）因f（x,y）二fx（x）fy（y），所以X，Y是独立的六、解：
⑴.当
n
2
y的边缘密度函数：
fY（y）=广f（x,y）dx=*
-^0
x0
其他
y0
其他
L（o2）=（2兀Q2Pexp』—
-20为未知，
1n
2、X
i=i
1
因而InL二21=-°ln2■-2
2
所以InL；「2二
c（^2）
n
解得二2=丄7Xj_.二：
2
nim
n
2；「2
而-:
:
:
:
:
■「:
：
•：
：
为已知参数时，似然函数为
）
2"
1n21
\x」2二=0
2y匚
1
因此，匚2的极大似然估计量为：
？
2Xj-」2
ni#
⑵.因为Xi~N，，匚2iu=1，
X|〜N0,1I=1,2，
a
E〔X|-心0,DXi-—2
—町1=Ex—卩*+dX
-1
所以
所以
所以ElXI
因此，E?
2二E-、Xj-」2
十2十2
n；-
n
2,
I=1,2,,n,
-21=1，2，，n
n
所以，；？
2二丄Xj—I2是未知参数C2的无偏估计nv
七、解：
由于正态总体N]L,c2中期望
CS-S、
「祁严1）乂计严鋼•
得t°.025（15）=2.1315.
Of
由：
=0.05,n=16，得0.025•查表，
2
「一X2&022
15y
116
由样本观测值，得X=1a人=503.75,s=
16y
所以，X-St-.n-1=503.75-6.20222.1315=500.445，
Jn2£16
s6.2022
x——t-n—1=503.752.131550.7）55
、；n2
因此所求置信区间为500.445,507.055
八、解：
要检验的假设为
匚：
亍_于一…；W、--
25x9^
7.53
=4011
在二.丄时，i--■二--■-】
故在二.丄时，拒绝‘亠」认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大
当二…1时，「一一--_..-.；:
故在二...1下接受-.1,认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异。
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