届一轮复习数学理高考达标检测37椭圆命题3角度求方程研性质用关系Word文档下载推荐.docx

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C.D.

选D　如图所示，把x＝－c代入椭圆方程＋＝1（a>

0），

可得P，

又A（0，b），B（a,0），F2（c,0），

∴kAB＝－，kPF2＝－，

∵PF2∥AB，∴－＝－，化简得b＝2c.

∴4c2＝b2＝a2－c2，即a2＝5c2，∴e＝＝.

4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°

，则椭圆与双曲线的离心率之积为（　　）

A．2B.

选A　设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，焦距为2c,

由椭圆与双曲线的定义可知，

|AF1|＋|AF2|＝2a1,

|AF1|－|AF2|＝2a2,

在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝30°

，

则|AF2|＝|F1F2|＝c，|AF1|＝|F1F2|＝c,

所以2a1＝（＋1）c,2a2＝（－1）c，

即e1＝＝，e2＝＝，

所以e1·

e2＝×

＝2,

即椭圆与双曲线的离心率之积为2.

5．已知P（x0，y0）是椭圆C：

＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的左、右焦点，若·

<

0，则x0的取值范围为（　　）

选A　∵F1（－，0），F2（，0），

∴·

＝（－－x0，－y0）·

（－x0，－y0）＝x＋y－3.

又∵＋y＝1，∴·

＝x＋1－－3<

0，

解得－<

x0<

.

6．中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

选C　由已知得c＝5，

设椭圆的方程为＋＝1，

联立得

消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，

设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

由根与系数关系得x1＋x2＝，

由题意知x1＋x2＝1，即＝1，解得a2＝75，

所以该椭圆方程为＋＝1.

二、填空题

7．若F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0<

b<

1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________________．

设点A在点B上方，F1（－c,0），F2（c,0），其中c＝，

则可设A（c，b2），B（x0，y0），

由|AF1|＝3|F1B|，可得＝3，

故即

代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，

故椭圆方程为x2＋＝1.

答案：

x2＋＝1

8．已知过点M（1，－1）的直线l与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若点M是AB的中点，则直线l的方程为____________________．

法一：

设A（x1，y1），B（x2，y2）,

由中点坐标公式可知：

x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2,

则两式相减得：

＋＝0，

则＝－＝，

所以直线AB的斜率k＝＝，

所以直线l的方程y＋1＝（x－1），

即3x－4y－7＝0.

法二：

由点M是AB的中点，可设A（1＋m，－1＋n），

B（1－m，－1－n）,

则＋＝1，①

＋＝1，②

两式相减得：

m－n＝0，即＝，

则直线l的方程y＋1＝（x－1），

3x－4y－7＝0

9．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ内切圆面积的最大值是________．

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，

所以只需求△F1PQ面积的最大值．

设直线l的方程为x＝my＋1，

联立消去x，得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0,

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则y1＋y2＝－，y1y2＝－，

于是S△F1PQ＝|F1F2|·

|y1－y2|＝＝12.

设m2＋1＝t，则t≥1，

即S△F1PQ＝＝12＝12.

因为g（t）＝9t＋在[1，＋∞）上为单调递增函数，

所以g（t）≥g

（1）＝10，

所以S△F1PQ＝≤3，所以内切圆半径r＝≤，

因此△F1PQ内切圆面积的最大值是π.

答案：

π

三、解答题

10．已知F1，F2是椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点，点P（－1，e）在椭圆上，e为椭圆的离心率，且点M为椭圆短半轴的上顶点，△MF1F2为等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点F2作不与坐标轴垂直的直线l，设l与圆x2＋y2＝a2＋b2相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点，当·

＝λ且λ∈时，求△F1CD的面积S的取值范围．

解：

（1）由△MF1F2是等腰直角三角形，得b＝c，a2＝2c2＝2b2，

从而得到e＝，故而椭圆经过点，

代入椭圆方程得＋＝1，解得b2＝1，a2＝2，

故所求椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）由

（1）知F1（－1,0），F2（1,0），

由题意，设直线l的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由消去x，得（t2＋1）y2＋2ty－2＝0，

＝（x1＋1，y1）·

（x2＋1，y2）

＝（x1＋1）（x2＋1）＋y1y2

＝（ty1＋2）（ty2＋2）＋y1y2

＝（t2＋1）y1y2＋2t（y1＋y2）＋4

＝－2－＋4＝.

∵·

∈，∴≤≤1，

解得t2∈.

由消去x，得（t2＋2）y2＋2ty－1＝0.

设C（x3，y3），D（x4，y4），

则y3＋y4＝－，y3y4＝－，

∴S△F1CD＝|F1F2|·

|y3－y4|＝

＝＝.

设t2＋1＝m，则S＝＝，

其中m∈，

∵S关于m在上为减函数，

∴S∈，

即△F1CD的面积的取值范围为.

11．已知F1，F2分别是长轴长为2的椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A1，A2是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为－.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．

（1）由题意可知2a＝2，则a＝，设P（x0，y0），

∵直线PA2与OM的斜率之积恒为－，

＝－，

∴＋y＝1，∴b＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）设直线l的方程为y＝k（x＋1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点Q（x0，y0）．

联立消去y，

得（2k2＋1）x2＋4k2x＋2k2－2＝0,

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴x0＝－，y0＝k（x0＋1）＝，

∴AB的中点Q，

∴QN的直线方程为y－＝－.

令y＝0，得x＝－，

∴N，由已知得－＜－＜0，

∴0＜2k2＜1，

∴|AB|＝·

＝·

＝.

∵＜＜1，

∴|AB|∈，

故线段AB长的取值范围为.

12．已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1,0）且不过点E（2,1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.

（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；

（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．

（1）由题意可得2c＝2，即c＝，

又e＝＝，解得a＝，b＝＝1，

所以椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）由直线l过点D（1,0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，－y1），

则直线AE的方程为y－1＝（1－y1）（x－2）．

令x＝3，可得M（3,2－y1），

所以直线BM的斜率kBM＝＝1.

（3）直线BM与直线DE平行．

理由如下：

当直线AB的斜率不存在时，由

（2）知kBM＝1.

又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE;

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k（x－1）（k≠1），

A（x1，y1），B（x2，y2）,

则直线AE的方程为y－1＝（x－2）．

令x＝3，得M，

所以直线BM的斜率kBM＝.

得（1＋3k2）x2－6k2x＋3k2－3＝0，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

因为kBM－1

＝

＝＝0，

所以kBM＝1＝kDE，即BM∥DE.

综上所述，直线BM与直线DE平行.

　已知椭圆M：

＋＝1（a>

0）的右焦点F的坐标为（1,0），P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B（线段PQ不垂直x轴），当Q运动到椭圆的右顶点时，|PF|＝.

（1）求椭圆M的方程；

（2）若S△ABO∶S△BCF＝3∶5，求直线PQ的方程．

（1）当Q运动到椭圆的右顶点时，PF⊥x轴，

∴|PF|＝＝，

又c＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝，b＝1.

∴椭圆M的方程为＋y2＝1.

（2）设直线PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，

联立椭圆方程得：

（2k2＋1）x2＋4kbx＋2（b2－1）＝0，

设点P（x1，y1），Q（x2，y2）,

则

由·

＝0，得（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝0，

即（k2＋1）x1x2＋（kb－1）（x1＋x2）＋b2＋1＝0，

代入化简得3b2－1＋4kb＝0.④

由y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2b＝，

得C，

∴线段PQ的中垂线AB的方程为

y－＝－.

令y＝0，x＝0，可得A，B，

则A为BC中点，

故＝＝2＝＝2.

由④式得，k＝，则xA＝＝，

∴＝2＝＝，解得b2＝3.

∴b＝，k＝－或b＝－，k＝.

经检验，满足条件①②③，

故直线PQ的方程为y＝x－或y＝－x＋.