工程问题.docx

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工程问题

工程问题

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。

由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：

两队合做需要6天完成。

例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。

因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件？

24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）

（2）这批零件共有多少个？

7÷（1/6－1/8）＝168（个）

答：

这批零件共有168个。

解二上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3

由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7

所以，这批零件共有24÷1/7＝168（个）

例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。

现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

解必须先求出各人每小时的工作效率。

如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

60÷12＝560÷10＝660÷15＝4

因此余下的工作量由乙丙合做还需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

答：

还需要5小时才能完成。

也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）

例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。

当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。

往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。

为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。

只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知

每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。

由此可知

一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15

又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，

所以，2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管？

（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）

答：

至少需要9个进水管。

16正反比例问题

【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：

把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

解由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，

从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：

这条公路总长3600米。

例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？

解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题则有28∶4＝91∶X

28X＝91×4X＝91×4÷28X＝13

答：

91分钟可以做13道应用题。

例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？

解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完，就有24∶36＝X∶15

36X＝24×15X＝10

答：

10天就可以看完。

在教学中，如何让学生建立正确概念是数学应用题的关键。

本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。

联系实际谈话引入。

引入设悬，渗透概念。

目的在于让学生复习理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系。

初步的复习再次强化工程问题的概念。

通过比较，建立概念。

在教学中充分发挥学生的主体地位，运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。

合理运用强化概念。

学生在感知的基础上，于头脑中初步形成了概念的表象，具备概念的原型。

一部分学生只是接受了概念，还没有完全消化概念。

所以我编拟了练习题，目的在于通过学生运用，来帮助学生认识、理解、消化概念，使学生更加熟练的找到了工程问题的解题方法。

在学生大量练习后，引出含有数量的工作问题，让学生自己找到问题的答案。

从而又一次突出工程问题概念的核心。

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作总量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是——工作效率×时间=工作总量

在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫它们做“工程问题”.

举一个简单例子.：

一件工作，甲做15天可完成，乙做10天可完成.问两人合作几天可以完成？

一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，

再根据基本数量关系式，得到

工作量÷工作效率=工作时间

1÷（1/15+1/10）

=6（天）

答：

两人合作需要6天.

这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。

为了计算整数化（尽可能用整数进行计算），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30。

设全部工作量为30份，那么甲每天完成2份，乙每天完成3份，两人合作所需天数是:

30÷（2+3）=6（天）

如果用数计算，更方便.

3：

2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是10∶15=2∶3

编辑本段工程问题方法总结

一：

基本数量关系

1.工效×时间=工作总量2.工作效率=工作总量÷工作时间3.工作时间=工作总量÷工作效率

二：

基本特点

设工作总量为“1”，工效=1/时间

三：

基本方法

算术方法、比例方法、方程方法。

四：

基本思想

分做合想、合做分想。

五：

类型与方法

一：

分做合想:

1.合想,2.假设法,3.巧抓变化（比例）,4.假设法。

二：

等量代换：

方程组的解法→代入法，加减法。

三：

按劳分配思路：

每人每天工效→每人工作量→按比例分配

四：

休息请假：

方法：

1.分想：

划分工作量。

2.假设法：

假设不休息。

五：

休息与周期：

1.已知条件的顺序：

①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2.天数：

①近似天数，②准确天数。

3.列表确定工作天数。

六：

交替与周期：

估算周期，注意顺序！

七：

注水与周期：

1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。

八：

工效变化。

九：

比例：

1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想（周期）。

十：

牛吃草问题：

1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。

编辑本段工程问题

.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也可以灵活解答。

因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.

一、两个人的问题

标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.

●例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。

现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？

解一：

把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。

乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天）

答：

乙需要做4天可完成全部工作.

解二：

9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是

（18-2×3）÷3=4（天）.

解三：

甲与乙的工作效率之比是

6∶9=2∶3.

甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.

●例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

解：

共做了6天后，

原来，甲做24天，乙做24天，

现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的

（倍）

甲做6天相当于乙做

（天），

如果乙独做，所需时间是6+4+40=50天。

如果甲独做，所需时间是

天

答：

甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

●例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成。

现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

解：

先对比如下：

甲做63天，乙做28天；

甲做48天，乙做48天.

就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的工作效率

是乙工作效率的

（倍）.

甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），

相当于乙要做

（天）

因此，乙还要做

28+28=56（天）.

答：

乙还需要做56天。

●例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

解一：

甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

2+8+1=11（天）.

答：

从开始到完工共用了11天.

解二：

设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）.

解三：

甲队做1天相当于乙队做3天.

在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

4=3+1，

其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

解四：

方法：

分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.）

甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。

那么甲开始工作时，乙还要休息：

8-2=6（天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作：

（4/10）÷（1/10+1/30）=3天。

所以从开始到完工共需：

8+3=11（天）

●例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

解一：

如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是（1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3

由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3

乙队休息期间未做的工作量是1/3-1/20×3=11/60

乙队休息的天数是11/60÷（1/30）=11/2

答：

乙队休息了5天半.

解二：

设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

两队休息期间未做的工作量是

（3+2）×16-60=20（份）.

因此乙休息天数是

（20-3×3）÷2=5.5（天）.

解三：

甲队做2天，相当于乙队做3天.

甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

16-6-4.5=5.5（天）.

●例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

解：

很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.

设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

8+4=12（天）.

答：

这两项工作都完成最少需要12天.

●例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他

要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？

解：

设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

两人合作，共完成

3×0.8+2×0.9=4.2（份）.

因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是

（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.

●例8甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时快

如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

解：

乙6小时单独工作完成的工作量是

乙每小时完成的工作量是

两人合作6小时，甲完成的工作量是

甲单独做时每小时完成的工作量

甲单独做这件工作需要的时间是

答：

甲单独完成这件工作需要33小时.

这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

有一点方便，但好处不大.不必多此一举.

二、多人的工程问题

我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.

●例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

解：

设这件工作的工作量是1.

甲、乙、丙三人合作每天完成

减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

答：

甲一人独做需要90天完成.

例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？

●例10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？

解：

甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），三人一共做了

2+6+12=20（天）.

答：

完成这项工作用了20天.

本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

●例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

解：

丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

答：

甲独做需要26天.

事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.

●例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

解一：

设这项工作的工作量是1.

甲组每人每天能完成

乙组每人每天能完成

甲组2人和乙组7人每天能完成

答：

合作3天能完成这项工作.

解二：

甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.

现在已不需顾及人数，问题转化为：

甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.

●例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

解一：

仍设总工作量为1.

甲每天比乙多完成

因此这批零件的总数是

丙车间制作的零件数目是

答：

丙车间制作了4200个零件.

解二：

10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.

乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

已知

甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.

综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

12∶8∶7.

当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

2400÷（12-8）×7=4200（个）.

●例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：

设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

答：

丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.

三人共同搬完，需要

60×2÷（6+5+4）=8（小时）.

甲需丙帮助搬运

（60-6×8）÷4=3（小时）.

乙需丙帮助搬运

（60-5×8）÷4=5（小时）.

三、水管问题

从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

例15甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

解：

甲每分钟注入水量是：

（1-1/9×3）÷10=1/15

乙每分钟注入水量是：

1/9-1/15=2/45

因此水池容积是：

0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米）

答：

水池容积是27立方米.

例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？

分析：

增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。

设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：

1：

4，

那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5。

10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水管的注水量是1/10×1/3=1/30

要注满水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根）

解：

前后两段时间的注水量之比为：

1：

[（1-1/3）÷1/3×2]=1：

4

前段时间注水量是：

1÷（1+4）=1/5

每根水管在预定1/3的时间注水量为：

1÷10×1/3=1/30

开始时打开水管根数：

1/5÷1/30=6（根）

答：

开始时打开6根水管。

例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

分析：

此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：

一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？

看起来它每小时只往上爬3-2=1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.

因此，答案是28小时，而不是30小时.以后（20小时），池中的水已有，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.

例18一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

解：

先计算1个水龙头每分钟放出水量.

2小时半比1小时半多60分钟，多流入水

4×60=240（立方米）.

时间都用分钟