工程问题.docx

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工程问题

工程问题

导言：

工程问题是有关工作（总）量、单位时间的工作量（也叫工作效率）和工作时间的问题。

工作量指工作的多少，它可以是全部的工作总量，如完成一项工程；也可以是部分工作量，如完成一项工程的一半。

有时题目会告诉工作量的具体数量，如果没有告诉具体数量，我们用分率表示，一般把工作总量看成整体“1”，把工作量的一半表示为1/2。

工作效率是指单位时间内完成的工作量，如一天、一小时等等完成了多少工作量。

如果工作总量是“1”，那工作效率表示单位时间内能完成工作总量的几分之一或几分之几？

所有的工程问题都是围绕着下面这三个基本数量关系式而分析展开的：

工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

我们在分析工程问题时，因从题目中寻找这三个量及运用它们间的数量关系式，去分析解答。

一、已知具体工作量的工程问题

例1：

已知一台织布机4小时织布96米，照这样计算，这台织布机7小时织布多少米？

解析：

工作效率=工作总量÷工作时间

=96÷4=24（米/时）

工作总量=工作效率×工作时间

=24×7

=168（米）

二、不给出具体数的工作量的工程问题

例2．一项工程，甲队单独做10天可完成，乙队单独做15天可完成

（1）两队合作多少天可完成？

（2）两队合做3天后，剩下的由甲队单独做，还要几天才能完成？

解析：

我们把一项工程看作“1”，甲单独10天完成，可知甲的工作效率是1÷10=1/10，

乙单独15天完成，可知乙的工作效率是1÷15=1/15

（1）两人合做的工作时间=两人合做的工作总量÷两人的工作效率之和

=1÷（1/10+1/15）

=6（天）

（2）要想求剩下的工程，甲还要做几天，求的是甲的工作时间，工作时间=剩余工作量÷工作效率。

所以这道题最关键的是要先求出剩余的工作量

剩余工作量=总工作量–甲乙合作3天的工作量

=1-3×（1/10+1/15）

=1/2

甲做剩余工程所需时间=1/2÷1/10

=5（天）

例3．一件工程，甲乙两队合作6天完成。

如果甲队单独做15天可完成，乙队单独做需要几天完成？

解析：

我们可以把一件工程看成“1”，要求乙队单独做的时间，必须先求出乙队的工作效率。

由题可知，甲乙的工作效率总和是：

1÷6=1/6，而甲的工作效率是：

1÷15=1/15

所以乙的工作效率=1/6–1/15=1/10

所以乙单独完成需要：

1÷1/10=10（天）

例4．一件工作，甲5小时完成1/4，乙6小时完成剩下的一半，余下部分由甲乙合作，还需要多少小时才能完成？

解析：

由题可知，甲的工作效率=1/4÷5=1/20

乙的工作效率=[（1-1/4）×1/2]÷6=1/16

余下的工作量=1-1/4-（1-1/4）×1/2=3/8

3/8÷（1/20+1/16）=10/3（小时），即为合作还需的时间

例5．一批零件，小王独做20小时可完成，小李独做30小时可完成。

如果两人同做，那么完成任务时小李比小王少做60个零件。

这批零件共有多少个？

解析：

由题可知，小王的工作效率是1/20，小李的工作效率是1/30

两人合作这批零件需要的时间=1÷（1/20+1/30）=12小时

即，都做12小时，小李比小王少做60个，说明1小时，小李比小王少做5个。

而5个所对应的分率是他们的工作效率之差

所以，总零件个数=5÷（1/20–1/30）=300（个）

例6．一个水池，单开甲管5分钟灌满，单开乙管10分钟灌满，单开丙管15分钟可将满池水放尽。

现在甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，再过3分钟后，还差0.8立方米的水灌满全池。

求水池的总容量。

解析：

我们把水池的总容量看成“1”，甲管的工作效率是1/5，乙管的工作效率是1/10，丙管的工作效率是1/15。

三管齐开，每分钟灌水是1/5+1/10–1/15=7/30。

开始2分钟三管都在工作，灌了7/30×2=7/15，后3分钟只有甲丙在工作，灌了（1/5–1/15）×3=2/5

剩下1-7/15-2/5=2/15就是没灌的，正好是0.8立方米对应的分率，所以整池水就是：

0.8÷2/15=6立方米。

三、工程问题常用方法

（一）假设法

例7．修一条公路，甲乙两队合修需要30天，如果甲乙两队合修12天后，余下的乙队单独还需24天才能完成。

问甲乙两队单独修，各需要多少天？

解析：

题目的关键是要把甲乙两队各自的工作效率先求出来。

把一条公路看成“1”，甲乙的工作效率和是1/30，合修12天，修了12×1/30=2/5

余下1-2/5=3/5，这些余下的公路由乙单独修24天完成，可求出乙的工作效率=3/5÷24=1/40，那甲的工作效率=1/30–1/40=1/120

所以，甲乙两队各自修，各需要120天和40天

该题我们也可以用假设法来解答

由题可知，修完这条路，甲修了12天，乙共修了12+24=36天，我们假设甲也修了36天，这样甲乙合修36天可以修：

1/30×36=6/5，比题目中的工作总量“1”多修了1/5，这是因为甲多修了24天，由此可得出甲的工作效率=1/5÷24=1/120那乙的工作效率=1/30–1/120=1/40

例8．一项工作，甲队单独做20天可完成，乙队单独做30天可完成，现在甲乙两队一起做，中途甲队休息了3天，乙队休息了若干天，所以要16天才完成这项工作，问乙休息了多少天？

解析：

假设甲乙两队都不休息，16天可以完成：

（1/20+1/30）×16=4/3，比工作总量“1”多做了1/3，实际这多做的工作量是因为甲多做了3天和乙多做了若干天，由此我们可以算出乙多做若干天做的工作量是1/3–1/20×3=11/60，所以乙多做了到11/60÷1/30=5.5（天），即为乙休息的天数。

（二）对应法

例9．加固一段防洪大堤，如果甲先做20天，乙接着做还需要8天可完成；如果甲先做5天，乙接着做20天可完成。

如果甲乙合做，多少天可以完成？

解析：

由题意，我们可以列出以下数量关系式：

20甲+8乙=1

5甲+20乙=1即20甲+80乙=4

下面的式子对应减去上面的式子，可得：

72乙=3，那么乙的工作效率=3/72=1/24，

把乙的工作效率代入第一个式子，可得：

甲的工作效率=（1-1/24×8）÷20=1/30

所以，两人合作需要的时间=1÷（1/30+1/24）=40/3（天）

（三）转化法

例10．两辆汽车同时从甲站开往乙站，客车行完全程需要6小时，卡车的速度比客车快1/5，卡车将比客车提前多少小时到达乙站？

解析：

这道题看似行程问题，但题中既没有路程也没有速度，所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。

我们将题目改述一下：

两辆车同时完成一项工程，客车单独做要6小时，卡车的工作效率比客车的快1/5，卡车比客车提前几小时完成这项工程

由题可知，客车的工作效率是1/6，所以卡车的工作效率是1/6×（1+1/5）=1/5

这样卡车需要1÷1/5=5（小时）完成这项工程，比客车提前1小时完成。

例11．甲乙二人同时从两地出发，相向而行。

走完全程甲需要60分钟，乙需要40分钟。

出发后5分钟，甲因忘记带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟。

甲再出发后多少时间与乙相遇？

解析：

该题与例7相似。

我们把它转化成工程问题来解答。

甲出发5分钟后又返回，在路上就耽误了10分钟，取东西又耽误了5分钟，总共耽误了15分钟，相当于比乙晚出发15分钟。

我们将题目改述为：

完成一项工程，甲需要60分钟，乙需要40分钟，乙先干15分钟后，甲乙合干还需要多少时间？

（1-1/40×15）÷（1/60+1/40）=15（分）

即，甲再出发15分钟后与乙相遇。

例12．打印一份文稿，甲乙合作需要6小时完成。

现在乙先做7小时，然后甲接着做4小时，共完成了13/15，如果把其余的打印任务交给乙单独做，还要几小时才能打印完？

解析：

由题可知，甲乙的工作效率之和是1/6

这句话“现在乙先做7小时，然后甲接着做4小时，共完成了13/15”，我们可以转化为“甲乙合作4小时，再由乙独做3小时，共完成了13/15”，我们就可以求出乙的工作效率。

乙的工作效率=（13/15-1/6×4）÷3=1/15

所以，其余的由乙独做需要的时间=（1-13/15）÷1/15=2（小时）

例13．一个水池，甲乙两管同时开，5小时灌满，乙丙两管同开，4小时灌满。

如果乙管先开6小时，还需甲丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独灌满水池需要多少小时？

解析：

由题可知，甲乙的工作效率之和是1/5，乙丙的工作效率之和是1/4

这句话：

“如果乙管先开6小时，还需甲丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭）”，我们可以转化为“甲乙同开2小时，乙丙同开2小时，乙独2小时，可灌满水池”，

这样，我们可以求出乙的工作效率=（1-2×1/5-2×1/4）÷2=1/20

所以，单开乙管，需要20小时灌满水池。

（四）比及比例法

例14．甲乙丙三人共同完成一项工作，5天完成了全部工作的1/3，然后甲休息了3天，乙休息了2天，丙没休息。

如果甲一天的工作量是丙的3倍，乙一天的工作量是丙的2倍，那么这项工作，从开始算是第几天完成？

解析：

由题可知，甲乙丙三人的工作效率之和是1/3÷5=1/15，而且，甲乙丙三人的工作效率之比是3：

2：

1，由此我们可以算出：

甲的工作效率=1/15×3/6=1/30，乙的工作效率=1/15×2/6=1/45，丙的工作效率=1/15×1/6=1/90

假设甲乙都没休息，这样甲就多干了3天，乙多干了2天，总的工作量就多了甲3天的工作量和乙2天的工作量，这时的总工作量=1+3×1/30+2×1/45=103/90

三人合做需要的时间=103/90÷1/15=103/6（天）

小结：

从上面这些例题，特别是后几道较复杂的例题，我们发现，工程问题会和分数应用题揉合在一起，那么一些分数应用题的解题思维和方法，同时也可应用于工程问题当中。