高考数学一二轮复习第九篇直线与圆圆的方程椭圆双曲线抛物线等专题共8讲集合Word格式文档下载.docx
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当l1∥l2时，a（a＋1）－2a2＝0，解得a＝0或a＝1*
当a＝1时，l1：
2x＋y－3＝0，l2：
2x＋y－3＝0，
此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0*
所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件*
答案 C
二、填空题（每小题5分，共10分）
5*一条直线经过点A（－2,2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________*
解析 设所求直线的方程为＋＝1，
∵A（－2,2）在直线上，∴－＋＝1*①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·
|b|＝1*②
由①②可得
（1）或
（2）
由
（1）解得或方程组
（2）无解*
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程*
答案 x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
6*（·
东北三校二模）已知直线l1：
ax＋3y－1＝0与直线l2：
2x＋（a－1）y＋1＝0垂直，则实数a＝________*
解析 由两直线垂直的条件得2a＋3（a－1）＝0，解得a＝*
答案
三、解答题（共25分）
7*（12分）已知两直线l1：
ax－by＋4＝0和l2：
（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值*
（1）l1⊥l2，且直线l1过点（－3，－1）；
（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等*
解
（1）∵l1⊥l2，∴a（a－1）－b＝0*
又∵直线l1过点（－3，－1），∴－3a＋b＋4＝0*
故a＝2，b＝2*
（2）∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在*
∴k1＝k2，即＝1－a*
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b*
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2*
8*（13分）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点*
（1）点A（5,0）到l的距离为3，求l的方程；
（2）求点A（5,0）到l的距离的最大值*
解
（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x＋y－5）＋λ（x－2y）＝0，即（2＋λ）x＋（1－2λ）y－5＝0，
∴＝3*解得λ＝2或λ＝*
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0*
（2）由解得交点P（2,1），
如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|（当l⊥PA时等号成立）*
∴dmax＝|PA|＝*
B级 能力突破（时间：
45分）
一、选择题（每小题5分，共10分）
1*将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2）与点（4,0）重合，点（7,3）与点（m，n）重合，则m＋n＝（ ）*
A*4B*6C*D*
解析 由题可知纸的折痕应是点（0,2）与点（4,0）连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点（7,3）与点（m，n）连线的中垂线，于是
解得故m＋n＝*
2*（·
长沙模拟）若动点A，B分别在直线l1：
x＋y－7＝0和l2：
x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）*
A*3B*2C*3D*4
解析 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：
x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：
x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：
x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3*
3*若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为________*
解析 由题意得，＝≠，∴a＝－4且c≠－2，
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
由两平行线间的距离，得＝，
解得c＝2或c＝－6，所以＝±
1*
答案 ±
1
盐城检测）已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为________*
解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A（2,0），与y轴的交点为B（0,1），由动点P（a，b）在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值*
5*（12分）已知直线l过点P（2,3），且被两条平行直线l1：
3x＋4y－7＝0，l2：
3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d*
（1）求d的最小值；
（2）当直线l与x轴平行，试求d的值*
解
（1）因为3×
2＋4×
3－7>
0,3×
3＋8>
0，所以点P在两条平行直线l1，l2外*
过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值*由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝＝3*
（2）当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A（x1,3），B（x2,3），则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3（x1－x2）＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5*
6*（13分）已知直线l1：
x－y＋3＝0，直线l：
x－y－1＝0*若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程*
解 法一 因为l1∥l，所以l2∥l，
设直线l2：
x－y＋m＝0（m≠3，m≠－1）*
直线l1，l2关于直线l对称，
所以l1与l，l2与l间的距离相等*
由两平行直线间的距离公式得＝，
解得m＝－5或m＝3（舍去）*
所以直线l2的方程为x－y－5＝0*
法二 由题意知l1∥l2，设直线l2：
在直线l1上取点M（0,3），
设点M关于直线l的对称点为M′（a，b），
于是有解得即M′（4，－1）*
把点M′（4，－1）代入l2的方程，得m＝－5，
特别提醒：
祝考生考出好成绩
第2讲圆的方程
1*（·
济宁一中月考）若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为（ ）*
A*－1B*1C*3D*－3
解析 化圆为标准形式（x＋1）2＋（y－2）2＝5，圆心为（－1,2）*∵直线过圆心，∴3×
（－1）＋2＋a＝0，∴a＝1*
太原质检）设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋（a－1）2＝0，若0<
a<
1，则原点与圆的位置关系是（ ）*
A*原点在圆上B*原点在圆外
C*原点在圆内D*不确定
解析 将圆的一般方程化为标准方程（x＋a）2＋（y＋1）2＝2a，因为0<
1，所以（0＋a）2＋（0＋1）2－2a＝（a－1）2>
0，所以原点在圆外*
3*圆（x＋2）2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为（ ）*
A*（x－2）2＋y2＝5B*x2＋（y－2）2＝5
C*（x＋2）2＋（y＋2）2＝5D*x2＋（y＋2）2＝5
解析 由题意知所求圆的圆心坐标为（0，－2），所以所求圆的方程为x2＋（y＋2）2＝5*
郑州模拟）动点P到点A（8,0）的距离是到点B（2,0）的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为（ ）*
A*x2＋y2＝32B*x2＋y2＝16
C*（x－1）2＋y2＝16D*x2＋（y－1）2＝16
解析 设P（x，y），则由题意可得：
2＝，化简整理得x2＋y2＝16，故选B*
5*以A（1,3）和B（3,5）为直径两端点的圆的标准方程为________*
解析 由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为（2,4），再由两点间的距离公式得圆的半径为＝，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y－4）2＝2*
答案 （x－2）2＋（y－4）2＝2
6*已知直线l：
x－y＋4＝0与圆C：
（x－1）2＋（y－1）2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________*
解析 由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心（1,1）到直线l的距离减去半径，即－＝*
7*（12分）求适合下列条件的圆的方程：
（1）圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：
x＋y－1＝0相切于点P（3，－2）；
（2）过三点A（1,12），B（7,10），C（－9,2）*
解
（1）法一 设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2*
∴圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8*
法二 过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为（1，－4）*
∴半径r＝＝2，
∴所求圆的方程为（x－1）2＋（y＋4）2＝8*
（2）法一 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95*
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0*
法二 由A（1,12），B（7,10），
得AB的中点坐标为（4,11），kAB＝－，
则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0*
同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0*
联立得
即圆心坐标为（1,2），半径r＝＝10*
∴所求圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝100*
8*（13分）已知以点P为圆心的圆经过点A（－1,0）和B（3,4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4*
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程*
解
（1）直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为（1,2），
∴直线CD的方程为y－2＝－（x－1），即x＋y－3＝0*
（2）设圆心P（a，b），则由P在CD上得a＋b－3＝0*①
又直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，
∴（a＋1）2＋b2＝40，②
由①②解得或
∴圆心P（－3,6）或P（5，－2），
∴圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40*
东莞调研）已知圆C：
x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为（ ）*
A*8B*－4C*6D*无法确定
解析 圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6*
2*圆心为C的圆与直线l：
x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足·
＝0，则圆C的方程为（ ）*
A*2＋（y－3）2＝B*2＋（y＋3）2＝
C*2＋（y－3）2＝D*2＋（y＋3）2＝
解析 法一 ∵圆心为C，
∴设圆的方程为2＋（y－3）2＝r2*
设P（x1，y1），Q（x2，y2）*
由圆方程与直线l的方程联立得：
5x2＋10x＋10－4r2＝0，
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝*
由·
＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：
x1x2－（x1＋x2）＋＝＋＝0，
解得r2＝，经检验满足判别式Δ>
0*
故圆C的方程为2＋（y－3）2＝*
法二 ∵圆心为C，
∴设圆的方程为2＋（y－3）2＝r2，
在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即2＋（y－3）2＝，故选C*
3*已知平面区域恰好被面积最小的圆C：
（x－a）2＋（y－b）2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________*
解析 由题意知，此平面区域表示的是以O（0,0），P（4,0），Q（0,2）所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点（2,1），半径为＝，∴圆C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5*
答案 （x－2）2＋（y－1）2＝5
4*已知圆C：
（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（－1,0），B（1,0），点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________*
解析 设点P（x0，y0），则d＝（x0＋1）2＋y＋（x0－1）2＋y＝2（x＋y）＋2，欲求d的最值，只需求u＝x＋y的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值*圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34*
答案 74 34
5*（12分）（·
大连模拟）已知圆M过两点C（1，－1），D（－1,1），且圆心M在x＋y－2＝0上*
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值*
解
（1）设圆M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>
0），
根据题意得：
解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4*
（2）因为四边形PAMB的面积
S＝S△PAM＋S△PBM＝|AM|·
|PA|＋|BM|·
|PB|，
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而|PA|＝＝，
即S＝2*
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝＝3，
所以四边形PAMB面积的最小值为
S＝2＝2＝2*
6*（13分）（·
南昌模拟）已知圆C过点P（1,1），且与圆M：
（x＋2）2＋（y＋2）2＝r2（r>
0）关于直线x＋y＋2＝0对称*
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求·
的最小值*
解
（1）设圆心C（a，b），则解得
则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，
故圆C的方程为x2＋y2＝2*
（2）设Q（x，y），则x2＋y2＝2，且·
＝（x－1，y－1）·
（x＋2，y＋2）＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，
令x＝cosθ，y＝sinθ，
∴·
＝x＋y－2＝（sinθ＋cosθ）－2
＝2sin－2，
所以·
的最小值为－4*
第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系
福建）直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（ ）*
A*2B*2C*D*1
解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心O到直线AB的距离d＝＝1，故|AB|＝2|BC|＝2＝2*
安徽）若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（ ）*
A*[－3，－1]B*[－1,3]
C*[－3,1]D*（－∞，－3]∪[1，＋∞）
解析 由题意可得，圆的圆心为（a,0），半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1*
潍坊模拟）若圆x2＋y2＝r2（r>
0）上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是（ ）*
A*（＋1，＋∞）B*（－1，＋1）
C*（0，－1）D*（0，＋1）
解析 计算得圆心到直线l的距离为＝>
1，得到右边草图*直线l：
x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1，故选A*
银川一模）若圆C1：
x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0（a∈R）与圆C2：
x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a＋b的最大值为（ ）*
A*－3B*－3C*3D*3
解析 易知圆C1的圆心为C1（－a,0），半径为r1＝2；
圆C2的圆心为C2（0，b），半径为r2＝1*
∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，
∴|C1C2|＝r1＋r2，即a2＋b2＝9*∵2≤，
∴a＋b≤3（当且仅当a＝b＝时取“＝”），
∴a＋b的最大值为3*
5*（·
北京）直线y＝x被圆x2＋（y－2）2＝4截得的弦长为________*
解析 由题意得，圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为（0,2），半径为2，圆心到直线x－y＝0的距离d＝＝*
设截得的弦长为l，则由2＋（）2＝22，得l＝2*
答案 2
江苏）设集合A＝（x，y）（x－2）2＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{（x，y）|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________*
解析 ∵A∩B≠∅，∴A≠∅，
∴m2≥*∴m≥或m≤0*显然B≠∅*
要使A∩B≠∅，只需圆（x－2）2＋y2＝m2（m≠0）与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即≤|m|或≤|m|，∴≤m≤2＋*
又∵m≥或m≤0，∴≤m≤2＋*
当m＝0时，（2,0）不在0≤x＋y≤1内*
综上所述，满足条件的m的取值范围为*
7*（12分）已知：
圆C：
x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：
ax＋y＋2a＝0*
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程*
解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋（y－4）2＝4，则此圆的圆心为（0,4），半径为2*
（1）若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－*
（2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或a＝－1*
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0*
8*（13分）已知圆C经过P（4，－2），Q（－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5*
（1）求直线PQ与圆C的方程；
（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A，B且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程*
解
（1）直线PQ的方程为：
x＋y－2＝0，
设圆心C（a，b）半径为r，
由于线段PQ的垂直平分线的方程是y－＝x－，
即y＝x－1，所以b＝a－1*①
又由在y轴上截得的线段长为4，知r2＝12＋a2，
可得（a＋1）2＋（b－3）2＝12＋a2，②
由①②得：
a＝1，b＝0或a＝5，b＝4*
当a＝1，b＝0时，r2＝13满足题意，
当a＝5，b＝4时，r2＝37不满足题意，
故圆C的方程为（x－1）2＋y2＝13*
（2）设直线l的方程为y＝－x＋m，A（x1，m－x1），B（x2，m－x2），
由题意可知OA⊥OB，即·
＝0，
∴x1x2＋（m－x1）（m－x2）＝0，
化简得2x1x2－m（x1＋x2）＋m2＝0*③
由得2x2－2（m＋1）x＋m2－12＝0，
∴x1＋x2＝m＋1，x1x2＝*
代入③式，得m2－m·
（1＋m）＋m2－12＝0，
∴m＝4或m＝－3，经检验都满足判别式Δ>
0，
∴y＝－x＋4或y＝－x－3*
南昌模拟）若曲线C1：
x2＋y2－2x＝0与曲线C2：
y（y－mx－m）＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）*
A*B*∪
C*D*∪
解析 C1：
（x－1）2＋y2＝1，C2：
y＝0或y＝mx＋m＝m（x＋1）*
当m＝0时，C2：
y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点；
当m≠0时，要满足题意，需圆（x－1）2＋y2＝1与直线y＝m（x＋1）有两交点，当圆与直线相切时，m＝±
，即直线处于两切线之间时满足题意，
则－<
m<
0或0<
*
综上知－<
江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点*那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是
（ ）*
解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内
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