圆锥曲线的综合问题-分题型整理Word格式.doc
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重点：
掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；
掌握弦中点轨迹的求法；
理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：
轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：
综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求
②弦中点问题用“点差法”设而不求
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：
已知点为椭圆的左焦点，点，动点在椭圆上，则的最小值为
点拨：
设为椭圆的右焦点，利用定义将转化为，在结合图形，用平面几何的知识解决。
，当共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：
交点个数问题
[例1]设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A． B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析] 易知抛物线的准线与x轴的交点为Q（-2,0），
于是，可设过点Q（-2,0）的直线的方程为，
联立
其判别式为，可解得，应选C.
【名师指引】
（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：
一是判别式法；
二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1已知圆与抛物线的准线相切，则的值等于（）
A．B．C．D．
2.已知将圆上的每一点的纵坐标压缩到原来的,对应的横坐标不变,得到曲线C；
设，平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0）,直线与曲线C交于A、B两个不同点.
（1）求曲线的方程；
（2）求m的取值范围.
3.求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.
题型2：
与弦中点有关的问题
[例2]已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点，且它们的斜率之积为－2.
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程;
（Ⅱ）若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
[解析]（Ⅰ）设，
因为,所以化简得:
（Ⅱ）设
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意
设直线的方程为
将代入得
…………
（1）…………
（2）
（1）-
（2）整理得:
直线的方程为即所求直线的方程为
解法二:
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,
其中点不是N,不合题意.
故设直线的方程为,将其代入化简得
由韦达定理得,
又由已知N为线段CD的中点,得,解得,
将代入
（1）式中可知满足条件.
此时直线的方程为,即所求直线的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
1.椭圆的弦被点所平分，求此弦所在直线的方程
2.已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：
x－2y=0上，求此椭圆的离心率
题型3：
与弦长有关的问题
[例3]已知直线被抛物线截得的弦长为，为坐标原点．
（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？
【解题思路】用“韦达定理”求弦长；
考虑△
面积的最大值取得的条件
[解析]
（1）将代入得，
由△可知，
另一方面，弦长AB，解得；
（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得，
即，即位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
1.已知椭圆与直线相交于两点．
（1）当椭圆的半焦距，且成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在
（1）的条件下，求弦的长度；
2.已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．
考点2：
对称问题
题型：
对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
[例4]若直线过圆的圆心M交椭圆=1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．
[解析]，设，则
又，，两式相减得：
，
化简得，
把代入得
故所求的直线方程为，即
所以直线l的方程为：
8x-9y+25=0.
【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：
（1）中点在对称轴上
（2）两个对称点的连线与轴垂直
（3）两点连线与曲线有两个交点（）,通过该不等式求范围
1.已知抛物线上有一内接正△AOB，O为坐标原点.求证：
点A、B关于x轴对称；
2在抛物线上恒有两点关于直线对称，求k的取值范围.
2.若抛物线，总存在不同的两点A、B关于直线y+x=0对称，求实数a的范围.
考点3圆锥曲线中的范围、最值问题
求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
[解析]由，得
由，得
此时
由，得，∴
即，故
∴
由得，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：
充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：
建立目标函数，再求目标函数的最值．
1.已知P是椭圆C：
的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围。
2.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
3直线m：
y=kx+1和双曲线的左支交于A，B两点，直线过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
4已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，
求：
（1）求的最小值；
（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值．
5.定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。
点评：
解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。
而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
考点4定点，定值的问题
论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6]已知P、Q是椭圆C：
上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
求证：
线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明：
设知
同理
①当，
从而有
设线段PQ的中点为，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
1.已知抛物线C的方程为，则抛物线C恒过定点________________
2试证明双曲线－=1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
3.设抛物线y2=2px（p>
0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，C在抛物线上，且BC//x轴。
证明直线AC经过原点O。
考点5曲线与方程
用几种基本方法求方程
[例1]已知抛物线C：
，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
［解析］由抛物线,得焦点,准线
（1）设，则,
椭圆中心,则∶=,
又设点B到l的距离为,∶=,
∴∶=∶,即,
化简得P点轨迹方程为
[名师指引]求曲线方程的方法主要有：
直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
1.点P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是_____________.
2.过双曲线C:
的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
3已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；
4.已知抛物线C的对称轴与轴平行，顶点到原点的距离为5.若将抛物线C向上平移3个单位，则在轴上截得的线段长为原抛物线C在轴上截得的线段长的一半；
若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程.
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