03第三节 为什么它们平行Word下载.docx

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小结（记作投影片§

6.3E）

●教学过程

Ⅰ.巧设现实情境，引入新课

［师］前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想：

两条直线在什么情况下互相平行呢？

［生甲］在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线.

［生乙］两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行.

［生丙］同位角相等，两直线平行.

内错角相等，两直线平行.

同旁内角互补，两直线平行.

［师］很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实.

我们知道：

“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢？

这节课我们就来探讨第三节：

为什么它们平行.

Ⅱ.讲授新课

［师］看命题（出示投影片§

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

［师］这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

图6－12

如图6－12，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：

a∥b.

那如何证明这个题呢？

我们来分析分析.

［师生共析］要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：

∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行.

因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°

所以：

∠3=180°

－∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补，即：

∠2+∠1=180°

所以∠1=180°

－∠2,因此由等量代换可以知道：

∠1=∠3.

［师］好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：

符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）

证明：

∵∠1与∠2互补（已知）

∴∠1+∠2=180°

（互补的定义）

［∵∠1+∠2=180°

］

∴∠1=180°

－∠2（等式的性质）

∵∠3+∠2=180°

（1平角=180°

）

∴∠3=180°

［∵∠1=180°

－∠2，∠3=180°

－∠2］

∴∠1=∠3（等量代换）

［∵∠1=∠3］

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：

直线平行的判定定理.

这一定理可简单地写成：

注意：

（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.

（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°

”等，就是上面刚刚得到的“∴∠1+∠2=180°

”，在这种情况下，方括号内的这一步可以省略.

（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.

好，下面大家来议一议（出示投影片§

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？

为什么？

图6－13

图6－14

［生］我认为他的作法对.他的作法可用图6－14来表示：

∠CFE=45°

∠BEF=45°

.因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°

－∠BEF=180°

－45°

=135°

.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°

，因此可知：

CD∥AB.

［师］很好.从图中可知：

∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知：

“内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.

图6－15

［师生共析］已知，如图6－15，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.

求证：

a∥b

∵∠1=∠2（已知）

∠1+∠3=180°

∴∠2+∠3=180°

（等量代换）

∴∠2与∠3互补（互补的定义）

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：

（出示投影片§

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

这一定理可以简单说成：

［师］刚才我们是应用判定定理“同旁内角互补，两直线平行”来证明这一定理的.下面大家来想一想（出示投影片§

借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？

［生甲］已知，如图6－16，直线a⊥c,b⊥c.

图6－16

∵a⊥c,b⊥c（已知）

∴∠1=90°

∠2=90°

（垂直的定义）

∴∠1=∠2（等量代换）

∴b∥a（同位角相等，两直线平行）

［生乙］由此可以得到：

“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.

［师］同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.

Ⅲ.课堂练习

（一）课本P190随堂练习

1.蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图6－17所示，其中∠α=109°

28′,∠β=70°

32′,试确定这三个四边形的形状，并说明你的理由.

图6－17

解：

这三个四边形的形状是平行四边形.

理由是：

∵∠α=109°

28′∠β=70°

32′（已知）

∴∠α+∠β=180°

（等式的性质）

∴AB∥CD，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）

（二）看课本P188~190，然后小结.

Ⅳ.课时小结

这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表（出示投影片§

由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；

而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角.

1.证明语言的规范化.

2.推理过程要有依据.

3.“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”这个真命题以后证.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P191习题6.41、2

（二）1.预习内容P192~194

2.预习提纲

（1）直线平行的性质如何证明？

（2）总结归纳证明的一般步骤.

Ⅵ.活动与探究

1.你能用圆规和直尺作出两条平行线吗？

能证明你的作法吗？

［过程］通过这个活动，一来复习用尺规作图，二来熟悉掌握证明的步骤.

图6－18

［结果］如图6－18所示.

用圆规和直尺能作出两条平行线.

因为在作图中，作∠β=∠α.而∠α与∠β是同位角.由“同位角相等，两直线平行”可知：

还可以作内错角，即：

作一个角等于已知角α，使所作的角与∠α是内错角即可.

●板书设计

一、平行线的判定方法

1.公理：

同位角相等，两直线平行.

2.定理：

图6－19

已知：

如图6－19，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：

3.定理：

图6－20

已知，如图6－20，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.且∠1=∠2.

求证a∥b.

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

●备课资料

一、参考例题

［例1］如图6－21，已知∠B=142°

∠BFE=38°

∠EFD=40°

∠D=140°

求证：

AB∥CD.

图6－21

分析：

不难发现：

∠B+∠BFE=180°

∠D+∠EFD=180°

于是推出：

AB∥EF，EF∥CD，根据平行于同一条直线的两条直线平行，则有AB∥CD.

∵∠B=142°

∠BFE=38°

（已知）

∴∠B+∠BFE=142°

+38°

=180°

（等式性质）

∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

∵∠D=140°

，∠EFD=40°

∴∠D+∠EFD=140°

+40°

∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

∴AB∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）

［例2］求证：

两条平行线的一对内错角的平分线平行，并写出已知、求证（不证明），画出图形.

要审清题意，并分清这个文字命题的条件和结论.然后根据条件和结论结合图形写出已知.

图6－22

已知，如图6－22，AB∥CD，∠BPF与∠CGE是一对内错角，PQ平分∠BPF，GH平分∠CGE.

PQ∥GH.

略.

3.为什么它们平行

作业导航

理解并掌握平行线的判定公理和定理，会用它们进行推理，掌握推理论证的方法，逐步培养逻辑思维推理能力和逐步熟悉掌握规范的推理格式.

一、选择题

1.下列命题中，不正确的是（）

A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

B.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

C.两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行

D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

2.如图1，可以得到DE∥BC的条件是（）

图1

A.∠ACB=∠BAC

B.∠ABC+∠BAE=180°

C.∠ACB+∠BAD=180°

D.∠ACB=∠BAD

3.如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:

图2

（1）∠1=∠2，

（2）∠3=∠6，（3）∠4+∠7=180°

，（4）∠5+∠8=180°

，

其中能判定a∥b的条件是（）

A.

（1）（3）B.

（2）（4）

C.

（1）（3）（4）D.

（1）

（2）（3）（4）

4.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）

A.第一次向右拐40°

，第二次向左拐40°

B.第一次向右拐50°

，第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°

，第二次向右拐130°

D.第一次向左拐50°

5.如图3，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是（）

图3

A.AD∥BCB.AB∥CD

C.∠3=∠4D.∠A=∠C

二、填空题

6.如图4，∠1=∠2=∠3，则直线l1、l2、l3的关系是________.

图4

7.如图5，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据.

图5

（1）∠1=∠2，________________________.

（2）∠A=∠3，________________________.

（3）∠ABC+∠C=180°

，________________________.

8.如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°

，那么这两条直线的位置关系是________.

9.同垂直于一条直线的两条直线________.

10.如图6，直线EF分别交AB、CD于G、H.∠1=60°

，∠2=120°

，那么直线AB与CD的关系是________，理由是：

___________________________________________________.

图6

三、解答题

11.已知：

如图7，∠1=∠2，且BD平分∠ABC.

图7

AB∥CD.

12.已知：

如图8，AD是一条直线，∠1=65°

，∠2=115°

.求证：

BE∥CF.

图8

13.已知：

如图9，∠1=∠2，∠3=100°

，∠B=80°

EF∥CD.

图9

14.已知：

如图10，FA⊥AC，EB⊥AC，垂足分别为A、B，且∠BED+∠D=180°

.

AF∥CD.

图10

参考答案

一、1.C2.B3.D4.A5.B

二、6.l1∥l2∥l37.

（1）AD∥BC内错角相等，两直线平行

（2）AD∥BC同位角相等，两直线平行（3）AB∥DC同旁内角互补，两直线平行8.平行9.平行10.平行∵∠EHD=180°

－∠2=180°

－120°

=60°

，∠1=60°

，∴∠1=∠EHD，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.

三、11.略12.略13.略14.略

班级：

_______姓名：

_______

一、

看图填空

如图6—3—1，根据图形及上下文的含义推理并填空：

图6—3—1

（1）∵∠A=_______（已知）

∴AC∥ED（）

（2）∵∠2=_______（已知）

（3）∵∠A+_______=180°

∴AB∥FD（）

二、

请你填一填

（1）如图6—3—2，已知直线a、b，任意画一条直线c,使它与a、b都相交，量得∠1=46°

，∠2=46°

那么a与b的关系是___________________________，其根据是_____________________________________________________________________.

图6—3—2图6—3—3图6—3—4

（2）如图6—3—3，直线AB、CD被直线EF所截

①量得∠3=100°

，∠4=100°

则AB与CD的关系是_______，根据是_____________

____________________________________.

②量得∠1=80°

∠3=100°

则AB与CD的关系是_______，根据是________________

（3）如图6—3—4,BE是AB的延长线，量得∠CBE=∠A=∠C

①从∠CBE=∠A，可以判定直线_______与直线_______平行，它的根据是___________

__________________________________.

②从∠CBE=∠C，可以判定直线_______和直线_______平行，它的根据是______________________________.

三、回答下列问题

数学眼光看世界

（1）如图6—3—5，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°

∠BCD=60°

这时说管道AB∥CD对吗？

（2）如图6—3—6木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？

图6—3—5图6—3—6

参考答案

一、

（1）∠BED同位角相等，两直线平行

（2）∠DFC内错角相等，两直线平行

（3）∠AFD同旁内角互补，两直线平行

二、依次为：

（1）平行同位角相等，两直线平行

（2）①平行内错角相等，两直线平行

②平行同旁内角互补，两直线平行

（3）①ADBC同位角相等，两直线平行

②ABDC内错角相等，两直线平行

三、

（1）AB∥CD因为同旁内角互补，两直线平行

（2）平行因为垂直于同一条直线的两直线平行