高考理科数学试题汇编函数与导数.docx

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高考理科数学试题汇编函数与导数

数学

B单元函数与导数

B1　函数及其表示

6．B1[2014·安徽卷]设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋sinx．当0≤x<π时，f（x）＝0，则f＝（　　）

A.B.

C．0D．－

6．A　[解析]由已知可得，f＝f＋sin＝f＋sin＋sin＝f＋sin＋sin＋sin＝2sin＋sin＝sin＝.

2．B1、B3[2014·北京卷]下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝B．y＝（x－1）2

C．y＝2－xD．y＝log0.5（x＋1）

2．A　[解析]由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在（0，1）上递减，选项C，D中的函数在（0，＋∞）上为减函数，所以排除B，C，D，选A.

7．B1、B3、B4[2014·福建卷]已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数

B．f（x）是增函数

C．f（x）是周期函数

D．f（x）的值域为[－1，＋∞）

7．D　[解析]由函数f（x）的解析式知，f

（1）＝2，f（－1）＝cos（－1）＝cos1，f

（1）≠f（－1），则f（x）不是偶函数；

当x>0时，令f（x）＝x2＋1，则f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数，且函数值f（x）>1；

当x≤0时，f（x）＝cosx，则f（x）在区间（－∞，0]上不是单调函数，且函数值f（x）∈[－1，1]；

∴函数f（x）不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞）．

2．B1[2014·江西卷]函数f（x）＝ln（x2－x）的定义域为（　　）

A．（0，1]B．[0，1]

C．（－∞，0）∪（1，＋∞）D．（－∞，0]∪[1，＋∞）

2．C　[解析]由x2－x>0，得x>1或x<0.

3．B1，B7[2014·山东卷]函数f（x）＝的定义域为（　　）

A.B．（2，＋∞）

C.∪（2，＋∞）D.∪[2，＋∞）

3．C　[解析]根据题意得，解得故选C.

B2反函数

12．B2[2014·全国卷]函数y＝f（x）的图像与函数y＝g（x）的图像关于直线x＋y＝0对称，则y＝f（x）的反函数是（　　）

A．y＝g（x）B．y＝g（－x）

C．y＝－g（x）D．y＝－g（－x）

12．D　[解析]设（x0，y0）为函数y＝f（x）的图像上任意一点，其关于直线x＋y＝0的对称点为（－y0，－x0）．根据题意，点（－y0，－x0）在函数y＝g（x）的图像上，又点（x0，y0）关于直线y＝x的对称点为（y0，x0），且（y0，x0）与（－y0，－x0）关于原点对称，所以函数y＝f（x）的反函数的图像与函数y＝g（x）的图像关于原点对称，所以－y＝g（－x），即y＝－g（－x）．

B3函数的单调性与最值

2．B1、B3[2014·北京卷]下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．y＝B．y＝（x－1）2

C．y＝2－xD．y＝log0.5（x＋1）

2．A　[解析]由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在（0，1）上递减，选项C，D中的函数在（0，＋∞）上为减函数，所以排除B，C，D，选A.

7．B1、B3、B4[2014·福建卷]已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数

B．f（x）是增函数

C．f（x）是周期函数

D．f（x）的值域为[－1，＋∞）

7．D　[解析]由函数f（x）的解析式知，f

（1）＝2，f（－1）＝cos（－1）＝cos1，f

（1）≠f（－1），则f（x）不是偶函数；

当x>0时，令f（x）＝x2＋1，则f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数，且函数值f（x）>1；

当x≤0时，f（x）＝cosx，则f（x）在区间（－∞，0]上不是单调函数，且函数值f（x）∈[－1，1]；

∴函数f（x）不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞）．

21．B3、B12[2014·广东卷]设函数f（x）＝，其中k<－2.

（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；

（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；

（3）若k<－6，求D上满足条件f（x）>f

（1）的x的集合（用区间表示）．

12．B3[2014·四川卷]设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝则f＝________．

12．1　[解析]由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1.

15．B3，B14[2014·四川卷]以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：

对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1（x）＝x3，φ2（x）＝sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）＝b”；

②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）＋g（x）∉B；

④若函数f（x）＝aln（x＋2）＋（x>－2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.

其中的真命题有________．（写出所有真命题的序号）

15．①③④　[解析]若f（x）∈A，则f（x）的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f（a）＝b，故①正确．

取函数f（x）＝x（－1＜x＜1），其值域为（－1，1），于是，存在M＝1，使得f（x）的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f（x）没有最大值和最小值，故②错误．

当f（x）∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f（a）＝b，所以，当g（x）∈B时，对于函数f（x）＋g（x），如果存在一个正数M，使得f（x）＋g（x）的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f（a0）＝b－g（a0），即f（a0）＋g（a0）＝b0∉[－M，M]，故③正确．

对于f（x）＝aln（x＋2）＋（x＞－2），当a＞0或a＜0时，函数f（x）都没有最大值．要使得函数f（x）有最大值，只有a＝0，此时f（x）＝（x＞－2）．

易知f（x）∈，所以存在正数M＝，使得f（x）∈[－M，M]，故④正确．

21．B3，B12[2014·四川卷]已知函数f（x）＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f

（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

21．解：

（1）由f（x）＝ex－ax2－bx－1，得g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－b.

所以g′（x）＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当a≥时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g

（1）＝e－2a－b；

当

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b.

综上所述，当a≤时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当

当a≥时，g（x）在[0，1]上的最小值是g

（1）＝e－2a－b.

（2）设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，

则由f（0）＝f（x0）＝0可知，f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1.

同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2.

故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点．

由

（1）知，当a≤时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）在（0，1）内至多有一个零点；

当a≥时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）在（0，1）内至多有一个零点，都不合题意．

所以

此时g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增．

因此x1∈（0，ln（2a）]，x2∈（ln（2a），1），必有

g（0）＝1－b>0，g

（1）＝e－2a－b>0.

由f

（1）＝0得a＋b＝e－1<2，

则g（0）＝a－e＋2>0，g

（1）＝1－a>0，

解得e－2

当e－2

若g（ln（2a））≥0，则g（x）≥0（x∈[0，1]），

从而f（x）在区间[0，1]内单调递增，这与f（0）＝f

（1）＝0矛盾，所以g（ln（2a））<0.

又g（0）＝a－e＋2>0，g

（1）＝1－a>0.

故此时g（x）在（0，ln（2a））和（ln（2a），1）内各只有一个零点x1和x2.

由此可知f（x）在[0，x1]上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在[x2，1]上单调递增．

所以f（x1）>f（0）＝0，f（x2）

（1）＝0，

故f（x）在（x1，x2）内有零点．

综上可知，a的取值范围是（e－2，1）．

B4函数的奇偶性与周期性

7．B1、B3、B4[2014·福建卷]已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数

B．f（x）是增函数

C．f（x）是周期函数

D．f（x）的值域为[－1，＋∞）

7．D　[解析]由函数f（x）的解析式知，f

（1）＝2，f（－1）＝cos（－1）＝cos1，f

（1）≠f（－1），则f（x）不是偶函数；

当x>0时，令f（x）＝x2＋1，则f（x）在区间（0，＋∞）上是增函数，且函数值f（x）>1；

当x≤0时，f（x）＝cosx，则f（x）在区间（－∞，0]上不是单调函数，且函数值f（x）∈[－1，1]；

∴函数f（x）不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞）．

3．B4[2014·湖南卷]已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

3．C　[解析]因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，

所以f

（1）＋g

（1）＝f（－1）－g（－1）＝（－1）3＋（－1）2＋1＝1.

3．B4[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）g（x）是偶函数

B．|f（x）|g（x）是奇函数

C．f（x）|g（x）|是奇函数

D．|f（x）g（x）|是奇函数

3．C　[解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.

15．B4[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f（x）在[0，＋∞）单调递减，f

（2）＝0，若f（x－1）＞0，则x的取值范围是________．

15．（－1，3）　[解析]根据偶函数的性质，易知f（x）>0的解集为（－2，2），若f（x－1）>0，则－2

B5二次函数

16．B5、C6[2014·全国卷]若函数f（x）＝cos2x＋asinx在区间是减函数，则a的取值范围是________．

16．（－∞，2]　[解析]f（x）＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1，令sinx＝t，则f（x）＝－2t2＋at＋1.因为x∈，所以t∈，所以f（x）＝－2t2＋at＋1，t∈.因为f（x）＝cos2x＋asinx在区间是减函数，所以f（x）＝－2t2＋at＋1在区间上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈（－∞，2]．

B6指数与指数函数

4．B6、B7、B8[2014·福建卷]若函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是（　　）

图11

　　　　A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D

图12

4．B　[解析]由函数y＝logax的图像过点（3，1），得a＝3.

选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝（－x）3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3（－x），则其函数图像不正确．

3．B6[2014·江西卷]已知函数f（x）＝5|x|，g（x）＝ax2－x（a∈R）．若f[g

（1）]＝1，则a＝（　　）

A．1B．2C．3D．－1

3．A　[解析]g

（1）＝a－1，由f[g

（1）]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.

3．B6、B7[2014·辽宁卷]已知a＝2－，b＝log2，

c＝log，则（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>a>bD．c>b>a

3．C　[解析]因为0log＝1，所以c>a>b.

2．A1，B6[2014·山东卷]设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝（　　）

A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）

2．C　[解析]根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.

5．B6，B7，E1[2014·山东卷]已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）

A.＞B.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）

C.sinx＞sinyD.x3＞y3

5．D　[解析]因为ax＜ay（0＜a＜1），所以x＞y，所以sinx＞siny，ln（x2＋1）＞ln（y2＋1），＞都不一定正确，故选D.

7．B6[2014·陕西卷]下列函数中，满足“f（x＋y）＝f（x）·f（y）”的单调递增函数是（　　）

A．f（x）＝xB．f（x）＝x3

C．f（x）＝D．f（x）＝3x

7．B　[解析]由于f（x＋y）＝f（x）f（y），故排除选项A，C.又f（x）＝为单调递减函数，所以排除选项D.

11．B6[2014·陕西卷]已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________．

11.　[解析]由4a＝2，得a＝，代入lgx＝a，得lgx＝，那么x＝10＝.

B7对数与对数函数

5．B6，B7，E1[2014·山东卷]已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（　　）

A.＞B.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）

C.sinx＞sinyD.x3＞y3

5．D　[解析]因为ax＜ay（0＜a＜1），所以x＞y，所以sinx＞siny，ln（x2＋1）＞ln（y2＋1），＞都不一定正确，故选D.

3．B1，B7[2014·山东卷]函数f（x）＝的定义域为（　　）

A.B．（2，＋∞）

C.∪（2，＋∞）D.∪[2，＋∞）

3．C　[解析]根据题意得，解得故选C.

4．B6、B7、B8[2014·福建卷]若函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是（　　）

图11

　　　　A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D

图12

4．B　[解析]由函数y＝logax的图像过点（3，1），得a＝3.

选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝（－x）3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3（－x），则其函数图像不正确．

13．D3、B7[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．

13．50　[解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，

∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，

∴lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln（a1a2…a20）＝

ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝lne50＝50.

3．B6、B7[2014·辽宁卷]已知a＝2－，b＝log2，

c＝log，则（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．c>a>bD．c>b>a

3．C　[解析]因为0log＝1，所以c>a>b.

4．B7[2014·天津卷]函数f（x）＝log（x2－4）的单调递增区间为（　　）

A．（0，＋∞）

B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）

D．（－∞，－2）

4．D　[解析]要使f（x）单调递增，需有解得x<－2.

7．B7、B8[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x>0），g（x）＝logax的图像可能是（　　）

　　　A　　　　　　　　　　　　B

　　　C　　　　　　　　　　　　D

图12

图12

7．D　[解析]只有选项D符合，此时0

12．B7[2014·重庆卷]函数f（x）＝log2·log（2x）的最小值为________．

12．－　[解析]f（x）＝log2·log（2x）＝log2x·2log2（2x）＝log2x·（1＋log2x）＝（log2x）2＋log2x＝－，所以当x＝时，函数f（x）取得最小值－.

B8幂函数与函数的图像

4．B6、B7、B8[2014·福建卷]若函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是（　　）

图11

　　　　A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D

图12

4．B　[解析]由函数y＝logax的图像过点（3，1），得a＝3.

选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝（－x）3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3（－x），则其函数图像不正确．

10．B8[2014·湖北卷]已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝（|x－a2|＋|x－2a2|－3a2）．若∀x∈R，f（x－1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

10．B　[解析]因为当x≥0时，f（x）＝，所以当0≤x≤a2时，f（x）＝＝－x；

当a2

f（x）＝＝－a2；

当x≥2a2时，

f（x）＝＝x－3a2.

综上，f（x）＝

因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f（x）在R上的大致图象如下，

观察图象可知，要使∀x∈R，f（x－1）≤f（x），则需满足2a2－（－4a2）≤1，解得－≤a≤.故选B.

8．B8[2014·山东卷]已知函数f（x）＝|x－2|＋1，g（x）＝kx，若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（　　）

A.B.C.（1，2）D.（2，＋∞）

8．B　[解析]画出函数f（x）的图像，如图所示．若方程f（x）＝g（x）有两个不相等的实数，则函数f（x），g（x）有两个交点，则k＞，且k＜1.故选B.

7．B7、B8[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x>0），g（x）＝logax的图像可能是（　　）

　　　A　　　　　　　　　　　　B

　　　C　　　　　　　　　　　　D

图12

图12

7．D　[解析]只有选项D符合，此时0

B9函数与方程

10．B9、B14[2014·湖南卷]已知函数f（x）＝x2＋ex－（x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，）B．（－∞，）

C.D.

10．B　[解析]依题意，设存在P（－m，n）在f（x）的图像上，则Q（m，n）在g（x）的图像上，则有m2＋e－m－＝m2＋ln（m＋a），解得m＋a＝ee－m－，即a＝ee－m－－m（m＞0），可得a∈（－∞，）．

14．B9[2014·天津卷]已知函数f（x）＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f（x）－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．

14．（0，1）∪（9，＋∞）　[解析]在同一坐标系内分别作出y＝f（x）与y＝a|x－1|的图像如图所示．当y＝a|x－1|与y＝f（x）的图像相切时，由整理得x2＋（3－a）x＋a＝0，则Δ＝（3－a）2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f（x）的图像有四个交点时，09.

6．B9[2014·浙江卷]已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，且0

A．c≤3B．3

C．69

6．C　[解析]由f（－1）＝f（－2）＝f（－3）得⇒

⇒则f（x）＝x3＋6x2＋11x＋c，而0

∴6

B10函数模型及其应用

8．B10[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（　　）

A.B.

C.D.－1

8．D　[解析]设年平均增长率为x，则有（1＋p）（1＋q）＝（1＋x）2，解得x＝－1.

10．B10[2014·陕西卷]如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（　　）

图12

A．y＝x3－xB．y＝x3－x

C．y＝x3－xD．y＝－x3＋x

10．A　[解析]设该三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点（0，0），所以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点（－5，2），（5，－2），则该函数是奇函数，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入点（－5，2）得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点（－5，2）处的切线平行于x轴，y′＝3ax2＋c，得当x＝－5时，y′