人教版八年级数学上册143因式分解 培优 专练含答案解析Word下载.docx

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A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）

C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）

11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（　　）

A．50B．100C．98D．97

12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×

q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算

．例如：

12＝1×

12＝2×

6＝3×

4，则

．

那么以下结论中：

①

；

②

③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；

④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则

．正确的个数为（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题（共6小题）

13．已知a＝

，b＝

，c＝

，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　　．

14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　　．

15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是　　．

16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值　　．

17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是　　．

18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　　．

三．解答题（共5小题）

19．因式分解：

a2﹣2ab+b2﹣1．

20．因式分解．

（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）

（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）

（3）

21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．

22．观察下列各式．

①4×

1×

2+1＝（1+2）2；

②4×

2×

3+1＝（2+3）2；

③4×

3×

4+1＝（3+4）2…

（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×

2016×

2017+1可以是哪个数的平方？

（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．

（3）利用前面的规律，将4（

x2+x）（

x2+x+1）+1因式分解．

23．定义：

若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．

例如：

3＝22+11﹣2×

1，39＝72+52﹣7×

5，147＝132+112﹣13×

11…

所以3，39，147是“希尔伯特”数．

（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．

（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．

（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．

人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题

参考答案与试题解析

【解答】解：

a2﹣ab﹣ac+bc＝11

（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11

a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11

（a﹣b）（a﹣c）＝11

∵a＞b，

∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，

∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．

故选：

D．

【解答】解法一：

∵x2﹣2x﹣5＝0，

∴x2＝2x+5，

∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，

＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5

＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5

＝x2﹣2x﹣5+25

＝25．

解法二：

∴x2﹣2x＝5，

∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5

＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5

＝6x2﹣12x﹣5

＝6（x2﹣2x）﹣5

＝6×

5﹣5

A．

a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），

C．

∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，

∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，

∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca

＝

＝3，

a2b+ab2﹣a﹣b

＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）

＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）

＝（ab﹣1）（a+b）

将a+b＝3，ab＝1代入，得

原式＝0．

B．

利用平方式公式进行分解该数字：

496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）

＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×

65×

63

20183﹣2018＝2018（20182﹣1）

＝2018×

（2018+1）（2018﹣1）

2019×

2017

2018×

2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．

∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，

∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，

∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc

b2（x﹣3）+b（x﹣3），

＝b（x﹣3）（b+1）．

原式＝（x﹣2）（x+9）．

∵993﹣99＝99×

（992﹣1）＝99×

（99+1）×

（99﹣1）＝99×

100×

98，

∴k可能是99、100、98或50，

依据新运算可得①2＝1×

2，则

，正确；

②24＝1×

24＝2×

12＝3×

8＝4×

6，则

③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；

④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×

8，则F（n）不一定等于

，故错误．

，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　6　．

a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，

2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）

＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac

＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2

＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2

＝1+4+1

＝6

故答案为6．

14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　3　．

∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，

则原式＝

（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝

[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．

故答案为：

3．

15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是　

　．

∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，

∴1＝3+2（ab+bc+ac），

∴ab+bc+ac＝﹣1，

∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5

∴5﹣3abc＝3+1

∴abc＝

，

∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）

∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+

∴a2b2+b2c2+a2c2＝

∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）

∴9＝a4+b4+c4+

∴a4+b4+c4＝

16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值　75　．

∵a3b+2a2b2+ab3

＝ab（a2+2ab+b2）

＝ab（a+b）2

又已知ab＝3，a+b＝5，

∴原式＝3×

52＝75

75．

17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是　等腰三角形　．

∵2xy+x2＝2yz+z2，

∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，

因式分解得：

（x﹣z）（x+z+2y）＝0，

∵x，y，z是△ABC的三边，

∴x+z+2y≠0，

∴x﹣z＝0，

∴x＝z，

∴△ABC是等腰三角形；

等腰三角形．

18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　2020　．

∵a2+a﹣1＝0

∴a2+a＝1

∴a3+a2＝a

又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020

∴a3+2a2+2019＝2020

a2﹣2ab+b2﹣1，

＝（a﹣b）2﹣1，

＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．

（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）

＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；

（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）

＝p（a﹣1）（p﹣1）；

（3）原式＝

∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，

∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，

∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，

∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，

∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0

得：

a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，

即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×

2017+1＝（2016+2017）2＝40332；

（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：

∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，

∴左边＝右边，

∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；

（3）利用前面的规律，可知4（

x2+x+1）+1＝（

x2+x+

x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．

（1）∵0＝02+02×

0，1＝12+02﹣1×

0，3＝22+11﹣2×

1，4＝22+02﹣2×

0，7＝22+32﹣2×

3，9＝32+02﹣3×

0，

∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；

（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）

∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，

∵4n2能被4整除，

∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．

（3）设两个“希尔伯特”数分别为：

（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．

由题意：

（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，

∴m2﹣n2＝56，

∴（m+n）（m﹣n）＝56，

可得整数解：

或

∴这两个“希尔伯特”数分别为：

327和103或903和679．