二次函数精选练习题及答案1.docx

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二次函数练习题及答案

一、选择题

1．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（）

AB.C.D.

2．将抛物线向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（　　）

Ａ．； Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．

3．将抛物线y=（x-1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）

A．y=（x-2）2B．y=（x-2）2+6C．y=x2+6D．y=x2

4．由二次函数，可知（）

A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线

C．其最小值为1D．当x<3时，y随x的增大而增大

5．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（）

A．最大值1B．最小值﹣3C．最大值﹣3D．最小值1

6．把函数=的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（）

A．B．C．D．

7．抛物线

图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为

A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2

二、填空题

8．二次函数y=－2（x－5）2＋3的顶点坐标是．

9．已知二次函数中函数与自变量之间的部分对应值如下表所示，点、在函数图象上，当时，则（填“”或“”）．

0

1

2

3

2

3

2

10．在平面直角坐标系中，将抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为．

11．求二次函数的顶点坐标（＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。

12．已知（－2,y1）,（－1,y2）,（2,y3）是二次函数y=x2－4x+m上的点,

则y1,y2,y3从小到大用“<”排列是__________.

13．（2011•攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2﹣1；②y=2x2+3；③y=﹣2x2﹣1；④y=的图象不可能由函数y=2x2+1的图象通过平移变换得到

的函数是　　．（把你认为正确的序号都填写在横线上）

14．已知抛物线，它的图像在对称轴______（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的

15．x人去旅游共需支出y元，若x,y之间满足关系式y=2x2-20x+1050,则当人数为_____时总支出最少。

16．若抛物线y=x2﹣4x+k的顶点的纵坐标为n，则k﹣n的值为____．

17．若二次函数y=（x-m）2-1，当x<1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是______

三、解答题

18．已知二次函数.

（1）求二次函数的图象与两个坐标轴的交点坐标；

（2）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点（x,y）称为整点.直接写出二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数．

19．（8分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当x为何值时，S有最大值？

并求出最大值．

20．如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求△PBQ的面积的最大值.

21．如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为．设的外接圆的圆心为点．

（1）求与轴的另一个交点D的坐标；

（2）如果恰好为的直径，且，求和的值．

22．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3=0（m≠0）．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值；

（3）在

（2）的条件下，将关于的二次函数y=mx2+（3m+1）x+3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：

当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

23．已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=x2上的一个动点．

（1）求证：

以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；

（2）设直线PM与抛物线y=x2的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：

∠PNM=∠QNM．

24．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：

第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=x2+5x+90，

投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲、p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：

年利润=年销售额-全部费用）

（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p甲=-x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；

（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p乙=-x+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据

（1）、

（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润？

25．（12分）已知抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．

（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为，和，用等式表示，、之间的数量关系，并说明理由；

（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？

若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

26．如图，抛物线（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB的斜边OB在x轴上，顶点A的坐标为（3，3），AD为斜边上的高．抛物线y＝ax2＋2x与直线y＝x交于点O、C，点C的横坐标为6．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OA于点E．设点P的横坐标为m，以A、B、D、E为顶点的四边形的面积为S．

27．求OA所在直线的解析式

28．求a的值

29．当m≠3时，求S与m的函数关系式．

30．如图②，设直线PE交射线OC于点R，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN＝．直接写出矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形时m的取值范围．

O

O

A

A

B

B

C

C

P

D

E

Q

P

D

N

M

R

E

y

y

x

x

图①

图②

参考答案

1.【答案】B

【解析】分析：

根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．

解答：

解：

由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x2先向左平移2个单位可得到抛物线y=3（x+2）2；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）2先向下平移1个单位可得到抛物线y=3（x+2）2-1．

故选B．

点评：

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

2．D【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题；；

所以将抛物线向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是，选D

3．D.【解析】试题分析：

将y=（x-1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：

y=x2+3；

再向下平移3个单位为：

y=x2．故选D.

考点：

二次函数图象与几何变换．

4．C．【解析】试题分析：

由二次函数，可知：

A．∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；

B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；

C．其最小值为1，故此选项正确；

D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．

考点：

二次函数的性质．

5．B【解析】试题分析：

因为抛物线开口向上，顶点P的坐标是（1，﹣3），所以二次函数有最小值是﹣3．故选B．

考点：

二次函数的性质

6．C．【解析】试题分析：

抛物线的顶点坐标为（2，2），把点（2，2）向左平移1个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后的新图象的函数表达式为．故选C．

考点：

二次函数图象与几何变换．

7．B【解析】方法1，由平移的可逆性可知将，的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位，所得图像为抛物线

的图像，又的顶点坐标（1，-4）向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到（-1，-1），∴，即b=2,c=0;

方法2，的顶点向右平移2个单位再向下平移3个单位，得的顶点（1，-4）即∴b=2,,∴c=0,故选B

8．（5,3）.【解析】试题分析：

因为顶点式y=a（x﹣h）2+k,其顶点坐标是（h,k）,对照求二次函数y=－2（x－5）2＋3的顶点坐标（5,3）.故答案是（5,3）．

考点：

二次函数的顶点坐标.

9．（小于）【解析】试题分析：

代入点（0，-1）（1,2）（2,3）有

，因为在0到1递增，所以y1的最大值是2，y2的最小值是2，所以小于

考点：

二次函数解析式

点评：

本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查

10．（顶点式为）．

【解析】试题分析：

∵，∴顶点坐标为（﹣1，2），当x=0时，y=3，∴与y轴的交点坐标为（0，3），∴旋转180°后的对应顶点的坐标为（1，4），∴旋转后的抛物线解析式为，即．

考点：

二次函数图象与几何变换．

11．（1,-7）x=1

【解析】先把y=2x2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2（x-1）2-7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴．

解：

∵y=2x2-4x-5=2（x2-2x+1）-5=2（x-1）2-7，

∴二次函数y=2x2-4x-5的顶点坐标为（1，-7），对称轴为x=1，

故答案为（1，-7），x=1．

12．y3

【解析】由于点的坐标符合函数解析式，将点的坐标代入直接计算即可．

解：

将（-2，y1），（-1，y2），（2，y3）分别代入二次函数y=x2-4x+m得，

y1=（-2）2-4×（-2）+m=12+m，y2=（-1）2-4×（-1）+m=5+m，y3=22-4×2+m=-4+m，

∵12＞5＞-4，∴12+m＞5+m＞-4+m，∴y1＞y2＞y3．

按从小到大依次排列为y3＜y2＜y1．

故答案为y3＜y2＜y1．

13．③，④

【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可．

解：

二次项的系数不是2的函数有③④．故答案为③，④．

考点：

二次函数的变换问题．用到的知识点为二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数．

14．右侧

【解析】本题实际是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．

解：

∵抛物线y=-x2-2x+1中，a=-1<0，抛物线开口向下，

∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．

填：

右侧．

15．５【解析】考点：

二次函数的应用．

分析：

将y=2x2-20x+1050变形可得：

y=2（x-5）2+1000，根据二次函数的最值关系，问题可求．

解答：

解：

由题意，旅游的支出与人数的多少有关系，

∵y=2x2-20x+1050，

∴y=2（x-5）2+1000，

∴当x=5时，y值最小，最小为1000．

点评：

本题考查利用二次函数来求最值问题，将二次函数解析式适当变形即可．

16．4．【解析】试题解析：

∵y=x2-4x+k=（x-2）2+k-4，∴k-4=n，即k-n=4．

考点：

二次函数的性质

17．m≥1.【解析】试题分析：

根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围．

试题解析：

∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1，

∴该二次函数的开口方向是向上；

又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1），∴当x≤m时，即y随x的增大而减小；

而已知中当x＜1时，y随x的增大而减小，∴m≥1.

考点:

二次函数的性质．

18．

（1）（1，0）和（3，0）

（2）5

【解析】解:

（1）令，则，

∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，-6）.…………1分

令y=0，则，求得，

∴二次函数的图象与轴的交点坐标为（1,0）和（3,0）………3分

（2）5个.…………4分

19．

（1）S=-2x2+32x

（2）x=8时最大值是128

【解析】考点：

二次函数的应用。

分析：

在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求最大值。

解答：

（1）由题意，得S=AB•BC=x（32-2x），∴S=-2x2+32x。

（2）∵a=-2＜0，∴S有最大值．∴x=-b/2a=-32/2×（-2）=8时，

有S最大=（4ac-b2）/4a=-322/4×（-2）=128。

∴x=8时，S有最大值，最大值是128平方米。

点评：

求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比用公式法简便。

20．

（1）y=-x2+8x，自变量取值范围：

0

（2）△PBQ的面积的最大值为16cm2．

【解析】试题分析：

（1）根据矩形的对边相等表示出BC，然后表示出PB、QB，再根据三角形的面积列式整理即可得解，根据点Q先到达终点确定出x的取值范围即可；

（2）利用二次函数的最值问题解答．

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=4，

根据题意，AP=2x，BQ=x，∴PB=16-2x，

∵S△PBQ=，∴y=-x2+8x自变量取值范围：

0

（2）当x=4时，y有最大值，最大值为16∴△PBQ的面积的最大值为16cm2．

考点：

二次函数的最值．

21．

（1）（0，1）；

（2）

【解析】试题分析：

（1）令x=0，代入抛物线解析式，即求得点C的坐标．由求根公式求得点A、B的横坐标，得到点A、B的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD的值，从而得到点D的坐标．

（2）当AB又恰好为⊙P的直径，由垂径定理知，点C与点D关于x轴对称，故得到点C的坐标及k的值．根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB线段的长，由三角形的面积公式表示出△ABC的面积，可求得m的值．

（1）易求得点的坐标为

由题设可知是方程即的两根，

所以，所

∵⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，

∴△AOC∽△DOC，则

由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1）；

（2）因为AB⊥CD，AB又恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，

所以点的坐标为，即

又，

所以解得

考点：

一元二次方程求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，垂径定理，三角形面积公式

点评：

本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示OD及AB的长是本题中解题的关键．

22．

（1）证明略；

（2）m=1；（3）1＜b＜3，b＞．

【解析】试题分析：

（1）求出根的判别式总是非负数即可；

（2）由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m即可；

（3）先求出A、B的坐标，再根据图像得到b的取值范围．

试题解析：

（1）证明：

∵m≠0，∴mx2+（3m+1）x+3=0是关于x的一元二次方程.

∴△=（3m+1）2－12m=（3m－1）2．∵（3m－1）2≥0，∴方程总有两个实数根.

（2）解：

由求根公式，得x1=－3，x2=．

∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，∴m=1．

（3）解：

∵m=1时，∴y=x2+4x+3．

∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）．

依题意翻折后的图象如图所示．

当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．当直线y=x+b经过B点时，可得b=1．∴1＜b＜3．

当直线y=x+b与y=－x2－4x－3的图象有唯一公共点时，可得x+b=－x2－4x－3，

∴x2+5x+3+b=0，∴△=52－4（3+b）=0，∴b=．∴b＞．

综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞．

考点：

根的判别式，求根公式的应用，函数的图像.

23．

（1）证明见解析．

（2）证明见解析．

【解析】试题分析：

（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线．

（2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR⊥直线y=-1，PH⊥直线y=-1，垂足为R，H，那么QR∥MN∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：

MP=RN：

NH．

（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例关系式可写成QR：

PH=RN：

NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根据等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM．

试题解析：

（1）设点P的坐标为（x0，x20），则PM=x20+1；

又因为点P到直线y=-1的距离为，x20-（-1）=x20+1

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．

（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别

为H，R．

由

（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．

因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，

所以，PH∥MN∥QR，于是，所以，因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．

于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．

考点：

二次函数综合题．

24．

（1）（-x2+14x）万元；w甲=-x2+9x-90．

（2）n=15．（3）应选乙地．

【解析】试题分析：

（1）依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；

（2）求出利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元．求出n的值；

（3）分别求出x=18时，W甲和W乙的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做出选择．

试题解析：

（1）甲地当年的年销售额为（-x+14）•x=（-x2+14x）万元；

w甲=（-x2+14x）-（x2+5x+90）=-x2+9x-90．

（2）在乙地区生产并销售时，年利润：

w乙=-x2+nx-（x2+5x+90）=-x2+（n-5）x-90．

由=35，解得n=15或-5．

经检验，n=-5不合题意，舍去，∴n=15．

（3）在乙地区生产并销售时，年利润

w乙=-x2+10x-90，将x=18代入上式，得w乙=25．2（万元）；

将x=18代入w甲=-x2+9x-90，得w甲=23．4（万元）．

∵W乙＞W甲，∴应选乙地．

考点：

二次函数的应用．

25．

（1），D（1，﹣4）；

（2）；（3）M（，0），．

【解析】试题分析：

（1）把A、B的坐标代入即可求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；

（2）利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，分别求出△AOC，△BOC，△BCD的面积，计算即可得到答案；

（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，由MN∥BC，求出AN，根据偶△AMN∽△ACM，求出m，得到点M的坐标，从而求出BC的解析式，由于MN∥BC，设直线MN的解析式为，求解即可．

试题解析：

（1）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：

，∴抛物线的解析式为：

，∵=，∴点D的坐标为：

（1，﹣4）；

（2）．证明如下：

过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，由题意得，CD=，BD=，BC=，，∴△BCD是直角三角形，=×OA×OC=，=×OB×OC=，=×CD×BC=3，∴；

（3）存在点M使∠AMN=∠ACM，设点M的坐标为（m，0），∵﹣1＜m＜3，∴MA=m+1，AC=，∵MN∥BC，∴，即，解得，AN=，∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，∴△AMN∽△ACM，∴，即，解得，，（舍去），∴点M的坐标为（，0），设BC的解析式为，把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，，解得，则BC的解析式为，又MN∥BC，∴设直线MN的解析式为，把点M的坐标为（，0）代入得，b=，∴直线MN的解析式为．

考点：

1．二次函数综合题；2．存在型；3．探究型；4．和差倍分；5．动点型；6．综合题；7．压轴题．

26．

（1）

（2）点D的坐标为

（3）满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，）、（10，﹣39）。

【解析】分析：

（1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值。

（2）由

（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为。

由题意设点D的坐标为，则点F的坐标为，易求DF关于的函数表达式，根据二次函数最值原理来求线段DF的最大值。

（3）对点P的位置进行分类讨论：

点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况。

利用相似三角形的对应边成比例进行解答。

解：

（1）把A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1）代入得，

．解得。

∴抛物线的表达式为。

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）。

设直线MA的表达式为y=kx+b，

则，解得。

∴直线MA的表达式为。

设点D的坐标为，则点F的坐标为。

∴。

∴当时，DF的最大值为。

此时，即点D的坐标为。

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似。

设P，

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限。

①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM。

∴，即，解得m=﹣3或m=﹣