全国数模竞赛A题.docx

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全国数模竞赛A题

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

20111663

所属学校（请填写完整的全名）：

南京邮电大学

参赛队员（打印并签名）：

1.刘超舟

2.刘立亿

3.董睿

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2011年9月12日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

A题城市表层土壤重金属污染分析

一．摘要

二．问题重述

三．符号约定

四．基本假设

五．建模与求解

5.1问题

（1）的建模与求解

5.1.1问题分析

根据采样的坐标，我们可以得到一个大概的区域分布散点图，如下图：

图5.1.1功能区采样点分布散点图

图中各功能区得分布无规律，采样间隔比较大，很难建立各重金属测量值与样本采集点坐标的平滑函数，故采用等高线图来描述各种重金属在该城区的空间分布。

附件中给了采样点的三维坐标和各重金属元素的含量值，由于我们只需要考虑该区域的污染程度，因此不需要考虑坐标，只用知道采样地点位于某一区即可。

我们从采集样本的样本值中可以分析出每一区域的污染程度。

由于重金属分子的相对分子质量较大，取样时只对表层土壤0~10厘米深度进行取样，从收集的资料来看，可对取样值污染程度采用地积累指数分析法进行评级分析。

5.1.2建模与求解

首先，在MATLAB中运用插值法作图，具体结果如下:

图5.1.2As浓度空间分布图5.1.3Cd浓度空间分布

图5.1.4Cr浓度空间分布图5.1.5Cu浓度空间分布

图5.1.6Hg浓度空间分布图5.1.7Ni浓度空间分布

图5.1.8Pb浓度空间分布图5.1.9Zn浓度空间分布

下面对该城区内不同区域重金属污染程度运用地积累指数法进行分析。

地积累指数法（Muller指数）常用于评价土壤中重金属的污染状况，表达式为：

其中：

是元素n在土壤中的含量；

是土壤中该元素的地球化学背景值；k为考虑各地岩石差异可能会引起背景值的变动而取的系数（一般取值为1.5），用来表征沉积特性，岩石地质和其他影响。

土壤中重金属地积累指数分级与污染程度之间相互关系如下表：

表Muller地积累指数分级

地积累指数（

）

分级

污染程度

极严重污染

强-极严重污染

强污染

中等-强污染

中等污染

轻度-中等污染

无污染

根据附件2，可知8种主要重金属元素在城区采样点处的浓度

。

而根据附件3可知这8中重金属元素的背景值

。

再依照公式

计算，就能得到8种元素的地积累指数。

现在用分级频率（污染频率）来表示某种重金属元素对该城市的污染程度。

分级频率就是满足某分级的采样点个数比上所用采样点个数。

例如：

As地积累指数分级频率计算如下：

具体结果如下表：

表该地区土壤中8种重金属元素地积累指数分级频率分布

分级

地积累指数（

）

污染程度

As（%）

Cd（%）

Cr（%）

Cu（%）

Hg（%）

Ni（%）

Pb（%）

Zn（%）

无污染

50.47

37.30

62.07

27.59

52.04

66.14

50.47

47.34

轻度-中等污染

46.39

39.50

32.60

37.30

21.63

32.29

33.86

28.84

中等污染

2.19

18.50

3.76

22.88

14.42

0.94

14.11

16.30

中等-强污染

0.94

4.39

0.94

9.09

6.27

0.63

4.08

强污染

0.00

0.31

0.00

2.51

1.57

0.00

0.94

2.51

强-极严重污染

0.00

0.63

0.00

1.57

0.00

0.63

极严重污染

0.00

0.63

2.51

0.00

0.31

再做如下计算：

用每个区域的某一元素的地积累指数的平均值作为该元素在此区域的的地积累指数，进行分级评价。

以生活区为例：

…………

所有结果如下表：

表该地区8种土壤重金属地积累指数及其分级情况

元素

生活区

工业区

山区

交通区

公园绿地区

分级

0.1273

0.2129

-0.5327

0.0556

0.1374

0.3384

0.7977

-0.5264

0.5962

0.1821

0.1475

-0.0301

-0.4458

0.027

-0.1659

0.8767

1.3772

-0.395

1.0747

0.3951

0.1989

1.3161

-0.5988

0.4626

0.1961

-0.0782

-0.0319

-0.4579

-0.1848

-0.3397

0.2386

0.6747

-0.4557

0.2822

0.1269

0.4683

0.8574

-0.5925

0.6524

0.0531

从8种重金属元素的分级频率计算的结果来看（表），该城区总体重金属污染情况是Cu的污染频率最大，达到72.41%，其次是Cd和Zn，是60.5%和52.66%；其余5种重金属元素污染频率的大小顺序为As，Pb，Hg，Cr和Ni。

而对于每个功能区来说（表）：

生活区几乎没有Ni污染，其他重金属元素均属于1等级，即轻度-中等污染；工业区没有Ni污染和Cr污染，但Cu和Hg属于中等污染；山区几乎不受这8中重金属元素污染；交通区同样基本不受Ni污染，但Cu污染较多，公园绿地区没有Ni污染和Cu污染,其他重金属污染程度较轻。

具体排序如下：

表

污染程度

生活区

工业区

山区

交通区

公园绿地区

表

污染程度

工业区

生活区

工业区

公园绿地区

交通区

生活区

交通区

生活区

工业区

生活区

交通区

生活区

交通区

公园绿地区

山区

为了评价该城区不同区域的综合污染程度，现将各个区域的8种重金属地积累指数的平均值再做算术平均处理，即

……

该城区各个区域污染程度及排序如下：

5.2问题

（2）的建模与求解

近年来，随着工业发展、废弃物排放，土壤重金属污染已经成为一个世界性问题。

大量的研究证实，土壤重金属污染不但损害土壤自身的理化性质，而且影响作物的产量与品质，并通过食物链进入人体危害人体健康。

城市土壤由于生产、生活、和商业等不同土地利用的特点不同，重金属污染具有其特定的空间分布特征，不同的功能区土壤中不同重金属浓度有着一定的差异。

一般来说，工业区重金属污染最为严重。

从上一问的分析计算中，可以看到该城市土壤重金属的浓度的空间分布特征及污染程度，下面针对不同功能区的土壤重金属浓度状况进行分析，解释污染原因如下：

1）生活区

生活区是人口密集的功能区，该区域土壤中Cr的含量多于其他区域，Cu、Hg和Zn的含量也偏高。

这是由于城市生活垃圾中电池、废电灯、废旧电器等各种金属制品或镀金属制品中金属离子的溶出对重金属污染有直接的贡献，垃圾中最常见的重金属污染主要就是Cu、Hg、Zn和Cr。

2）工业区

工业区的土壤是受重金属污染最严重的功能区，除了Cr和Ni，其他重金属在土壤中的含量都较高。

工业能源大都以煤、石油类为主，它们是环境中Hg、Pb、Cd、As等重金属污染的主要来源。

在采矿、选矿、冶炼、锻造、加工、运输等工业生产过程中会产生大量的重金属污染。

排放的废水、废渣等直接进入水体及土壤中，废气中的重金属经沉降也进入土壤等环境中，从而使得环境中重金属浓度严重超标。

3）山区

山区的土壤重金属浓度是最低的，几乎不受重金属污染。

这是由于山区海拔较高，一般不会有人类活动，且生物多样性丰富，植被对重金属的吸收，微生物对重金属的分解，都使得山区土壤中重金属含量偏低。

4）交通区

工业区的土壤是受重金属污染较严重的功能区，仅次于工业区。

Cu，Cd，Zn和Pb的含量都相对较高。

这是由于城市离不开交通运输，汽车尾气排放、轮胎添加剂中含有大量的Cu，Cd，Zn和Pb。

随着交通的发展，汽车的普及化，这些重金属对土壤的污染会更加严重。

5）公园绿地区

公园绿地区的土壤中重金属浓度也比较低，相对而言，Cu的能读偏高。

从该城市功能区分布图可看出公园绿地区周围分布着一些工厂，工业污染扩散，导致公园绿地区土壤收到少量重金属污染。

整体来看

5.3问题（3）的建模与求解

5.3.1问题分析

重金属污染物的传播主要有以下途径：

1.大气中重金属废气的沉降；

2.农药、化肥和塑料薄膜的使用；

3.污水灌溉，污泥堆肥；

4.含重金属废弃物得堆积；

5.金属矿山酸性废水的污染。

从2—5可以看出重金属污染的范围基本以污染源为中心，在其周围分布，在1中，我们暂不考虑该城市的风向以及风速，还有污染源所处的海拔高度等因素，设排放的废弃自然扩散，由于重金属分子的相对分子质量较大，故会较快沉降，在污染源周围形成污染，但范围会相对大一些。

由以上的传播特性，我们可以看出，重金属污染严重的地区，在其附近定会存在污染源。

由于线性综合指标往往是不能直接观测到，但它能反映事物的本质，故我们采用统计学中的因子分析，将多个变量转化为少数几个线性不相关的综合指标，用较少的有代表性的因子来说明多个变量提取的主要信息。

因此因子分析在成因、来源问题分析上是较有效的。

我们通过SPSS对数据进行因子分析，对得到的因子用MATLAB做等高线图，得到每个因子和其对应坐标的分布图，由以上分析的金属传播特性可知，在最大污染程度附近，可以找到其对应的污染源。

5.3.2建模与求解

设总体

，其均值向量

和协方差矩阵

都存在。

建立因子模型的一般形式

其中

，

为初始变量的公共因子，

为变量

的特殊因子。

下面通过SPSS11.0软件对本问题进行因子分析：

1）描述性统计输出。

下表所示的是关于8个初始变量（As,Cd,Cr,Cu,Hg,Ni,Pb,Zn）的描述性统计量，包括均值、标准差和分析用到的取值个数（N）。

描述统计量

均值

标准差

分析N

5.6765

3.02429

319

302.3962

224.98760

319

53.5097

70.00179

319

55.0167

162.91510

319

299.7113

1629.53978

319

17.2618

9.94142

319

61.7409

50.05776

319

201.2026

339.23254

319

初始变量的相关性检验。

如下表，可见，Cr和Ni的相关性最大，为0.716，其次是Pb和Cd，相关系数为0.660，且上面两组的Sig值很小，而其他元素之间的相关性并不是很好。

从成因上来分析，相关性好的元素可能在成因和来源上有一定的联系。

2）