一次函数和几何综合题Word文件下载.docx

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C?

6.（2012?

）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3,3）,将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度a（0°

<

a<

90°

得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.

（1）求证：

△AOG◎△ADG;

（2）求/PAG的度数；

并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；

（3）当/1=/2时，求直线PE的解析式.

7.（2012?

桃源县校级自主招生）如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线I交线段

AB于点C,过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点

必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：

（1）当△AOC和厶BCP全等时，求出t的值；

（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；

（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围.

8（2012秋？

海陵区期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B,与直线OC交

于点C.

（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，直线OC解析式为y=x,

1求点C的坐标；

2求厶OAC的面积.

（2）如图2,作/AOC的平分线ON，若AB丄ON，垂足为E,△OAC的面积为6，且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；

若不存在，说明理由.

9.（2012秋?

成都校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线PA是一次函数y=x+m（m>

0）的图象，直

线PB是一次函数y=-3x+n（n>

m）的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.

（1）用m、n分别表示点A、B、P的坐标及/PAB的度数；

（2）若四边形PQOB的面积是¥

，且CQ:

AO=1:

2，试求点P的坐标，并求出直线PA与PB的函数表达式；

（3）在

（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点D的坐

标；

10.（2012秋？

綦江县校级期末）如图，一次函数•：

；

的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB

为直角边在第一象限内作RtAABC，且使/ABC=30°

（1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，普）试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB与厶ABC面积相等时m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?

若存在，请写出点Q所有可能的坐标；

若不存在，请

参考答案与试题解析

一.解答题（共10小题）

）如图1,在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0,4）,点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.

求直线AB的解析式；

，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

考点：

一次函数综合题.

专题：

压轴题.

分析：

（1）过点B作BE丄y轴于点E,作BF丄x轴于点F.依题意得BF=OE=2，利用勾股定理求出OF，然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b，把已知坐标代入可求解.

（2）由厶ABD由厶AOP旋转得到，证明△ABDBAAOP.AP=AD,/DAB=/PAO,/DAP=/BAO=60°

△ADP

是等边三角形.利用勾股定理求出DP.在RtABDG中，/BGD=90°

/DBG=60°

利用三角函数求出

BG=BD?

cos60°

DG=BD?

sin60°

然后求出OH,DH，然后求出点D的坐标.

（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（t,0）:

1当P在x轴正半轴上时，即t>

0时，关键是求出D点的纵坐标，方法同

（2）,在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和/DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值.

2当P在x轴负半轴，但D在x轴上方时.即-出匡vtO时，方法同①类似，也是在直角三角形DBG用

BD的长表示出DG,进而求出GF的长，然后同①.

3当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即tw-仝唾时，方法同②.

3

综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.

解答：

解：

（1）如图1,过点B作BE丄y轴于点E,作BF丄x轴于点F.由已知得：

BF=OE=2,OFnJ/-2?

=如^,

•••点B的坐标是（2辽2）

设直线AB的解析式是y=kx+b（k旳）,则有（旷厶后胡殆.

解得&

.

b=4

•••直线AB的解析式是y

二x+4;

（2）如图2,•••△ABD由厶AOP旋转得到，

•△ABD◎△AOP,

•AP=AD,/DAB=/PAO,

•/DAP=/BAO=60°

•△ADP是等边三角形，

•DP=AP=.——

如图2,过点D作DH丄x轴于点H，延长EB交DH于点G,贝UBG丄DH.方法

（一）

在RtABDG中，/BGD=90°

•点D的坐标为（上：

二）

方法

（二）

易得/AEB=/BGD=90°

/ABE=/BDG,

•△ABEs^BDG,

'

.;

而AE=2,BD=OP=C,BE=2:

AB=4,AEBEAB

则有-T——，解得BG=］：

DG=；

（3）假设存在点P,在它的运动过程中，使△OPD的面积等于

Vs

设点P为（t,0）,下面分三种情况讨论：

1当t>

0时，如图，BD=OP=t,DG=

•DH=2+

T'

•••△OPD的面积等于

解得；

亠丄

-V21-2V3

（舍去）

•••点Pl的坐标为（

②•••当D在y轴上时，根据勾股定理求出

BD='

=OP

•当一t<

0时，如图，BD=OP=-t,DG=-：

：

t,

32

■I，

•;

解得―三，

3当twI时，如图3,BD=OP=-t，DG=-「，

•DH=-

•••丄（-t）[-（2+解得一-

•••点P4的坐标为（

（舍去

0）,

综上所述，点P的坐标分别为Pi（——7——

0）、P2

（~~,0）、P3（.昉，0）、

■J

J

E

FFH%

图2

圉I

点评：

本题综合考查的是一次函数的应用，包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角

形面积公式的应用等，难度较大.

）如图，直线y-=x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为

t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）.

（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？

一次函数综合题.专题：

A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP〃BO,得出盍七于，

（1）根据直线y=-—x+4与坐标轴分别交于点

据此可以求得点P的运动速度；

（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；

（3）根据

（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可.解答：

解：

（1）t直线y=-「x+4与坐标轴分别交于点A、B,

•••x=0时,y=4,y=0时,x=8,

!

■'

丄

4

1

8

当t秒时，QO=FQ=t，贝UEP=t,

•/EP//BO,

•：

=IL

…乔aT2，

•AP=2t,

•••动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,

•点P运动的速度是每秒2个单位长度；

（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，

贝U•/OQ=FQ=t,PA=2t,

•QP=8-t-2t=8-3t,

•8-3t=t,

解得：

t=2;

如图2,当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，

•/OQ=t,PA=2t,

•OP=8-2t,

•QP=t-（8-2t）=3t-8,

•t=3t-8,

t=4;

（3）如图1，当Q在P点的左边时,

•QP=8-t-2t=8-3t,

上时,

•S矩形pefcfQP?

QF=（8-3t）?

t=8t-3t,

当t=-

如图2,当Q在P点的右边时,

•2t>

8-t,

•QP=t-（8-2t）=3t-8,

•S矩形pefq=QP?

QF=（3t-8）?

t=3t2-8t,

•••当点p、q其中一点停止运动时，另一点也停止运动,

•••t=4时，S矩形pefq的最大值为：

3>

4-8X4=16,

综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为:

且0A,OC（OA>

0C）的长分别是一元二次方程x-14x+48=0的两个实数根.

（1）求C点坐标；

）求直线MN的解析式;

（1）通过解方程x-14x+48=0可以求得0C=6,0A=8.则C（0,6）;

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k旳）.把点A、C的坐标分别代入解析式，列出关于系数k、b的方程

组，通过解方程组即可求得它们的值；

（3）需要分类讨论：

PB为腰，PB为底两种情况下的点P的坐标.根据等腰三角形的性质、两点间的距离公

式以及一次函数图象上点的坐标特征进行解答.

xi=6,X2=8.

的两个实数根,

•/OA,OC（OA>

0C）的长分别是一元二次方程x-14x+48=0

•••0C=6,0A=8.

二C（0,6）;

（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k旳）.由

（1）知，0A=8，则A（8,0）.

•••点A、C都在直线MN上，

二6，

r3

k=-—

解得，（4,

>

=6

•直线MN的解析式为y=-斗x+6;

（3）•/A（8,0）,C（0,6）,•根据题意知B（8,6）.

•••点P在直线MNy=---x+6上,

•••设P（a,^—a+6）

当以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论:

P1（4,3）;

①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点,

232

②当PC=BC时，a+（---a+6-6）=64,

32函

5，

解得，a=土普

，则P2（-

）,P3（

326

一）；

③当PB=BC时，（a-8）+

解得，a=，贝Ha+6=-

25

a-6+6）2=64,

42256

•p4广"

■，•P（

综上所述，符合条件的点P有：

Pi（4,3）,P2（-—

-）右.

32邑

-，_

）P3

z326、cz25&

42、

W，忑），（厉，-更P

本题考查了一次函数综合题•其中涉及到的知识点有：

待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐

标特征，等腰三角形的性质•解答（3）题时，要分类讨论，防止漏解•另外，解答（3）题时，还利用了数

形结合”的数学思想.

4.（2013?

）如图，平面直角坐标系中，直线

I分别交x轴、y轴于A、B两点（OAvOB）且OA、OB的长分别是一元

次方程x2-（.二+1）x+F；

分析：

（1）通过解一元二次方程x2-（k；

+1）x+.：

-0,求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB:

2,可求AC的长，从而得到C点的坐标；

（2）分①当点M在CB边上时；

②当点M在CB边的延长线上时；

两种情况讨论可求S关于t的函数关系式;

（3）分AQ=AB,BQ=BA,BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标.

（1）x—（〔「+1）x+-「；

=0,

（x-*）（x-1）=0,

解得X1』・：

:

x2=1,•/OAvOB,

•••OA=1,OB=:

;

•••A（1,0）,B（0,•「；

）,

•AB=2,

又•••AB:

2,

•-AC=4,

二C（-3,0）;

（2）•/AB=2,AC=4,BC=2二

222

•••AB+BC=AC,

即/ABC=90°

由题意得：

CM=t,CB=2*.i.

1当点M在CB边上时，S=2二-t（0）

2当点M在CB边的延长线上时，S=t-2：

；

（t>

2_；

）;

（3）存在.

①当AB是菱形的边时，如图所示，

在菱形APiQiB中，QiO=AO=1，所以Qi点的坐标为（-1,0）,

在菱形ABP2Q2中，AQ2=AB=2，所以Q2点的坐标为（1,2）,

在菱形ABPaQa中，AQ3=AB=2，所以Qa点的坐标为（1,-2）,

②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4,

即X=12+（二—x）；

解得x=…'

设菱形的边长为x,则在RtAAP4O中，AP4=AO+P4O,所以Q4（1,-）.

综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：

Qi（-1,0）,Q2（1,-2）,Qa（1,2）,Q4（1,戶上）.

考查了一次函数综合题,涉及的知识点有：

解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度.

（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A-B-C运动，到达点C终止.设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S.

B

APE

€?

一次函数综合题；

解二元一次方程组；

待定系数法求一次函数解析式；

三角形的面积；

角平分线的性质；

勾股定理；

菱形的性质.

计算题.

（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；

（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-3,4）,C（5,0）代入得到方程组，求出即可；

（3）①过M作MN丄BC于N，根据角平分线性质求出MN,P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；

P

在BC上，根据三角形面积公式求出即可；

②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案.

（1）解：

TA（-3,4）,

•••AH=3,0H=4,

由勾股定理得：

A°

=寸期°

+0h'

=5,

答：

0A的长是5.

（2）解：

•••菱形OABC,

•-0A=0C=BC=AB=5,

5-3=2,

•B（2,4）,C（5,0）,

设直线AC的解析式是y=kx+b,

f4=-

把A（-3,4）,C（5,0）代入得：

•直线AC的解析式为尸-吉迸,

当x=0时，y=2.5

•M（0,2.5）,

直线AC的解析式是尸一十|,点M的坐标是（0,2.5）.

（3）①解：

过M作MN丄BC于N,

•••菱形OABC,

•••/BAC=/OCA,

•/MO丄CO,MN丄BC,

•OM=MN,

当0电v2.5时,

P在AB上，MH=4-2.5=,

当t=2.5时，P与B重合，△PMB不存在；

当2.5vt<

5时，P在BC上，S=1>

PB>

MIN=3X（2t-5）更=3-—,

22224

S与t的函数关系式是S=--|t-Hy（0WV2.5）或S今七一普（2.5vt韦）.

②解：

当P在AB上时，高MH—定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是二＞5总A,

224

同理在BC上时，P与C重合时，S最大是丄＞5＞闫,

•s的最大值是

答:

S的最大值是-

JPH

cf0

~c

本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.

）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标（3,3）,将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度a（0°

vav90°

（1）由AO=AD,AG=AG，利用HL”可证△AOG◎△ADG;

（2）利用

（1）的方法，同理可证△ADPABP，得出/1=/DAG,/DAP=/BAP,而

/1+/DAG+/DAP+/BAP=90°

由此可求/PAG的度数；

根据两对全等三角形的性质，可得出线段OG、PG、

BP之间的数量关系；

（3）由厶AOGADG可知，/AGO=/AGD，而/1+/AGO=90°

/2+/PGC=90°

当/1=/2时，可证/AGO=/AGD=/PGC,而/AGO+/AGD+/PGC=180°

得出/AGO=/AGD=/PGC=60°

即/1=/2=30°

解直角三角形求OG,PC,确定