第十一章全等三角形全章教案.docx

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第十一章全等三角形全章教案

第十三章全等三角形

“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的条件，并运用有关结论进行证明，最后掌握角的平分线的性质。

一、课程学习目标：

1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；

2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；

3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。

二、本章知识结构框图：

三、本章教材简析：

本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。

本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。

第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。

在第三节，利用直角三角形的判定方法，证明了角平分线的性质,并会利用角的平分线的性质进行证明。

学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。

通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。

全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。

从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。

这既是本章的重点，也是教学的难点。

教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。

在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。

“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。

在“全等三角形的条件”一节中，得出如下结论：

三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

用这些结论可以判定两个三角形全等。

三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。

但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。

学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握。

所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。

值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的。

运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。

还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”判定两个直角三角形全等。

本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。

在“角的平分线的性质”一节中，介绍角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。

这两个结论是互逆定理。

为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。

本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。

这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。

四、学法教法建议：

（一）注重探索结论

在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：

探究1：

两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；

探究2：

三边对应相等，两个三角形是否一定全等；

探究3：

两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；

探究4：

两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；

探究5：

两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；

探究6：

两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；

探究7：

三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；

探究8：

斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。

探究2～7让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。

总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。

探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。

这样的处理也和先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。

学完三角形全等的条件，让学生将三角形全等的条件运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的条件。

其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的条件，又需要学生进一步加以实验探索。

（二）注重推理能力的培养

本章正式出现证明及证明的格式。

七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明作准备的。

要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。

为了解决这个难点，教科书做了一些努力。

1．注意减缓坡度，循序渐进。

开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。

这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。

通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。

2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。

先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。

在此之后安排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。

3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。

例如，在第二节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：

“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。

（三）注重联系实际

在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。

在我们的周围，经常可以看到形状，大小相同的图形，这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动它们学习的积极性。

又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。

再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。

用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，例如，测量池塘两端的距离，测量河两岸相对两点的距离，用卡钳测量工件的内槽宽。

还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。

五、几个值得关注的问题

（一）关于内容之间的联系

在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。

这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。

在“全等三角形的条件”一节，三角形的画法和三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出和已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。

这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。

将三角形的画法和三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。

作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边和它们的夹角作三角形；

（3）已知两角和它们的夹边作三角形；

（4）已知斜边和一条直角边作直角三角形；

（5）作角的平分线。

（二）关于证明

解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。

只有学生动脑思考了，才能真正解决推理入门的问题。

课堂上要注意和学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。

教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。

证明一个几何中的命题有以下步骤：

（1）根据题意，画出图形；

（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。

在一般情况下，分析的过程不要求写出来。

有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。

分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。

这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。

在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。

判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。

找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。

教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。

为了使学生认识证明的必要性，教科书安排了“阅读和思考为什么要证明”，它以师生对话的形式结合具体例子介绍了逻辑推理的必要性。

通过观察和实验，可以获得许多知识。

几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的。

不过，从观察得到的认识是初步的，往往是不全面的，不深入的。

如本文中的例子，观察一些三角形三个角的和，得到三角形的三个角的和等于180°的结论。

那么是不是所有的三角形都是这样的呢？

为什么三角形的三个角的和必然等于180°呢？

只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，也就是要进行证明。

可通过这个例子的分析，使学生体会证明的必要性。

六、课时安排：

本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：

　　13.1　全等三角形　　　　　　　1课时

　　13.2三角形全等的条件　　　　　5课时

　　13.3角的平分线的性质　　　　　2课时

　　数学活动

　　小结　　　　　　　　　　　　　2课时

§13．1全等三角形

教学目标

1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．

教学重点

全等三角形的性质．

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

1、问题：

你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

（这两个三角形是完全重合的．）

2．学生自己动手（同桌两名同学配合）

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样和三角板形状、大小完全一样．

3．获取概念

让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．

形状和大小都完全相同的两个图形就是全等形．

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．

概括全等形的准确定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．

Ⅱ．导入新课

利用投影片演示

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：

△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．

观察和思考：

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．全等三角形的对应角相等．

[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．

问题：

△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．

总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．

[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．

分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．

根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

解：

对应角为∠BAE和∠CAD．

对应边为AB和AC、AE和AD、BE和CD．

[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）

借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB和AE显然不重合，所以AB和AD是一组对应边，剩下的AC和AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B和∠D是对应角，∠ACB和∠AED是对应角．所以说对应边为AB和AD、AC和AE、BC和DE．对应角为∠A和∠A、∠B和∠D、∠ACB和∠AED．

做法二：

沿A和BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后，它正好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：

AB和AD、AC和AE、BC和DE．对应角为∠A和∠A、∠B和∠D、∠ACB和∠AED．

Ⅲ．课堂练习

课本P4练习1．

课本P4习题13.1

Ⅳ．课时小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻转法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能和另一三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

板书设计

§13．1全等三角形

一、概念

二、全等三角形的性质

三、性质使用

例1：

（运动角度看问题）

例2：

（根据位置来推理）

例3：

（根据位置和运动角度两种办法来推理）

四、小结：

找对应元素的方法

运动法：

翻折、旋转、平移．

位置法：

对应角→对应边，对应边→对应角．

§13．2三角形全等的条件

§13．2．1三角形全等的条件

（一）

教学目标

1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

教学重点

三角形全等的条件．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

教学过程

Ⅰ．创设情境，引入新课

出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形．

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边和角．

图中相等的边是：

AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．

相等的角是：

∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．

展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：

你能画一个三角形和它全等吗？

怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定和已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

Ⅱ．导入新课

出示投影片

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．

结果展示：

1．只给定一条边时：

只给定一个角时：

2．给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边．

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能．即：

三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下和同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

1．作图方法：

先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．

2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．

3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．

[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A和BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．

生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

Ⅲ．随堂练习

如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

2．课本P8练习．

Ⅳ．课时小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

Ⅴ．作业

1．习题13．2复习巩固1、2．

板书设计

§13．2．1三角形全等的条件

（一）

一、三角形全等的条件

三边对应相等的两三角形全等（SSS）

二、例

三、课堂练习

四、小结

§13．2．1三角形全等的条件

（二）

教学目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性．

4．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

教学重点

三角形全等的条件．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

教学过程

一、创设情境，复习提问

1．怎样的两个三角形是全等三角形？

2．全等三角形的性质？

3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图

（1）中：

△ABD≌△ACE，AB和AC是对应边；

图

（2）中：

△ABC≌△AED，AD和AC是对应边．

４．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？

二、导入新课

1．三角形全等的判定

（二）

（1）全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？

也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？

是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？

现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，

∠AOB＝∠COD，

BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA和OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B和点D重合．这样△ABO和△CDO就完全重合．

（此外，还可以图1

（1）中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将和△ABD重合．图1

（2）中的△ABC绕着点A旋转，使AB和AE重合，再把△ADE沿着AE（AB）翻折180°．两个三角形也可重合）

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2．上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．

（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇和△ABC是否能够完全重合？

3．边角边公理．

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）

三、例题和练习

1．填空：

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________（这个条件可以证得吗？

）．

2、例1已知：

AD∥BC，AD＝CB（图3）．

求证：

△ADC≌△CBA．

例2已知：

AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：

△ABD≌△ACE．

四、小结：

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条