高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第一章11.docx
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高中数学一轮复习步步高教师用书京津鲁琼专用第一章11
§1.1 集合的概念及运算
最新考纲
1.通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.2.能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.4.在具体情境中,了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
1.集合与元素
（1）集合中元素的三个特征:
确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或∉表示.
（3）集合的表示法:
列举法、描述法、图示法.
（4）常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*（或N＋）
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A,则x∈B）
A⊆B（或B⊇A）
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中
AB（或BA）
集合相等
集合A,B中的元素相同或集合A,B互为子集
A＝B
3.集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
概念方法微思考
1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.
提示 2n,2n－1.
2.从A∩B＝A,A∪B＝A可以得到集合A,B有什么关系？
提示 A∩B＝A⇔A⊆B,A∪B＝A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）任何一个集合都至少有两个子集.（ × ）
（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x,y）|y＝x2＋1}.（ × ）
（3）若{x2,1}＝{0,1},则x＝0,1.（ × ）
（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}.（ √ ）
（5）若A∩B＝A∩C,则B＝C.（ × ）
题组二 教材改编
2.若集合A＝{x∈N|x≤
},a＝2
则下列结论正确的是（ ）
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
答案 D
3.已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2＝1},B＝{（x,y）|y＝x},则A∩B中元素的个数为________.
答案 2
【解析】 集合A表示以（0,0）为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y＝x上的点,圆x2＋y2＝1与直线y＝x相交于两点
则A∩B中有两个元素.
题组三 易错自纠
4.已知集合A＝{1,3,
},B＝{1,m},A∪B＝A,则m等于（ ）
A.0或
B.0或3
C.1或
D.1或3或0
答案 B
【解析】 A＝{1,3,
},B＝{1,m},A∪B＝A,故B⊆A,所以m＝3或m＝
即m＝3或m＝0或m＝1,其中m＝1不符合题意,所以m＝0或m＝3,故选B.
5.已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0},B＝{x|2＜x＜4},则（∁RA）∪B＝______________.
答案 {x|x≤1或x>2}
【解析】 由已知可得集合A＝{x|1＜x＜3},
又因为B＝{x|2＜x＜4},∁RA＝{x|x≤1或x≥3},
所以（∁RA）∪B＝{x|x≤1或x>2}.
6.若集合A＝{x∈R|ax2－4x＋2＝0}中只有一个元素,则a＝________.
答案 0或2
【解析】 若a＝0,则A＝
符合题意；
若a≠0,则由题意得Δ＝16－8a＝0,解得a＝2.
综上,a的值为0或2.
题型一 集合的含义
1.已知集合A＝{0,1,2},则集合B＝{（x,y）|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是（ ）
A.1B.3C.6D.9
答案 C
【解析】 当x＝0时,y＝0；当x＝1时,y＝0或y＝1；
当x＝2时,y＝0,1,2.
故集合B＝{（0,0）,（1,0）,（1,1）,（2,0）,（2,1）,（2,2）},即集合B中有6个元素.
2.已知集合A＝
则集合A中的元素个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
答案 C
【解析】 因为
∈Z,所以2－x的取值有－3,－1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,－1,故集合A中的元素个数为4.
3.已知集合A＝{m＋2,2m2＋m},若3∈A,则m的值为________.
答案 －
【解析】 由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3,
则m＝1或m＝－
当m＝1时,m＋2＝3且2m2＋m＝3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－
时,m＋2＝
而2m2＋m＝3,故m＝－
.
思维升华
（1）用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.
（2）如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.
题型二 集合间的基本关系
例1
（1）集合M＝
N＝
则两集合M,N的关系为（ ）
A.M∩N＝∅B.M＝N
C.M⊆ND.N⊆M
答案 D
【解析】 由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n＝2k（k∈Z）,则x＝k＋1（k∈Z）,当n为奇数时,设n＝2k＋1（k∈Z）,则x＝k＋1＋
（k∈Z）,∴N⊆M,故选D.
（2）已知集合A＝{x|x2－2019x＋2018＜0},B＝{x|x＜a},若A⊆B,则实数a的取值范围是________________________________________________________________________.
答案 [2018,＋∞）
【解析】 由x2－2019x＋2018＜0,解得1＜x＜2018,
故A＝{x|1＜x＜2018}.
又B＝{x|x＜a},A⊆B,如图所示,可得a≥2018.
引申探究
本例
（2）中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________.
答案 （－∞,1]
【解析】 A＝{x|1＜x＜2018},B＝{x|x≥a},A⊆B,如图所示,可得a≤1.
思维升华
（1）空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
（2）已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练1
（1）已知集合A＝{y|0≤y＜a,y∈N},B＝{x|x2－2x－3≤0,x∈N},若AB,则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为________.
答案 8
【解析】 B＝{x|x2－2x－3≤0,x∈N}＝{x|－1≤x≤3,x∈N}＝{0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足AB,当a＝4时,A＝{0,1,2,3},不满足AB,同理,当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个.
（2）已知集合A＝{x|－1＜x＜3},B＝{x|－m＜x＜m}.若B⊆A,则m的取值范围为__________.
答案 （－∞,1]
【解析】 当m≤0时,B＝∅,显然B⊆A.
当m>0时,因为A＝{x|－1＜x＜3},B⊆A,
所以在数轴上标出两集合,如图,
所以
所以0＜m≤1.
综上所述,m的取值范围为（－∞,1].
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例2
（1）（2018·全国Ⅰ）已知集合A＝
则∁RA等于（ ）
A.{x|－1＜x＜2}
B.{x|－1≤x≤2}
C.{x|x＜－1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
答案 B
【解析】 ∵x2－x－2>0,∴（x－2）（x＋1）>0,∴x>2或x＜－1,即A＝{x|x>2或x＜－1}.在数轴上表示出集合A,如图所示.
由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}.
故选B.
（2）（2018·海南联考）已知集合A＝{x|3x2＋x－2≤0},B＝{x|log2（2x－1）≤0},则A∩B等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
【解析】 由题意得A＝
B＝
∴A∩B＝
故选D.
命题点2 利用集合的运算求参数
例3
（1）（2018·惠州模拟）已知集合A＝{x|x＜a},B＝{x|x2－3x＋2＜0},若A∩B＝B,则实数a的取值范围是（ ）
A.a＜1B.a≤1
C.a>2D.a≥2
答案 D
【解析】 集合B＝{x|x2－3x＋2＜0}＝{x|1＜x＜2},
由A∩B＝B可得B⊆A,作出数轴如图.
可知a≥2.
（2）设集合A＝{－1,0,1},B＝
A∩B＝{0},则实数a的值为________.
答案 1
【解析】 0∈
由a＋
≠0,则a－1＝0,则实数a的值为1.经检验,当a＝1时满足题意.
（3）设集合A＝{0,－4},B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0,x∈R}.若A∩B＝B,则实数a的取值范围是______.
答案 （－∞,－1]∪{1}
【解析】 因为A∩B＝B,所以B⊆A,
因为A＝{0,－4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B＝A时,B＝{0,－4},由此可知,0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根,
由根与系数的关系,得
解得a＝1；
②当B≠∅且BA时,B＝{0}或B＝{－4},
并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0,
解得a＝－1,此时B＝{0}满足题意；
③当B＝∅时,Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0,
解得a＜－1.
综上所述,所求实数a的取值范围是（－∞,－1]∪{1}.
思维升华
（1）一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
跟踪训练2
（1）（2018·烟台模拟）已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0},B＝{x|y＝log2x,x∈R},则A∩B等于（ ）
A.∅B.[1,＋∞）
C.（0,2]D.（0,1]
答案 D
【解析】 由集合A＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|－2≤x≤1},B＝{x|y＝log2x,x∈R}＝{x|x>0},所以A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0,1],故选D.
（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0},B＝{x|2m－1＜x＜m＋1},且A∩B＝B,则实数m的取值范围为（ ）
A.[－1,2）B.[－1,3]
C.[2,＋∞）D.[－1,＋∞）
答案 D
【解析】 由x2－x－12≤0,得（x＋3）（x－4）≤0,
即－3≤x≤4,所以A＝{x|－3≤x≤4}.
又A∩B＝B,所以B⊆A.
①当B＝∅时,有m＋1≤2m－1,解得m≥2；
②当B≠∅时,有
解得－1≤m＜2.
综上,m的取值范围为[－1,＋∞）.
题型四 集合的新定义问题
例4
（1）（2018·沈阳模拟）已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0},B＝{1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:
A*B＝{x|x＝x1＋x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为（ ）
A.15B.16C.20D.21
答案 D
【解析】 由x2－2x－3≤0,得（x＋1）（x－3）≤0,得A＝{0,1,2,3}.因为A*B＝{x|x＝x1＋x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有:
0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3（舍去）,2＋3＝5,3＋1＝4（舍去）,3＋3＝6,所以A*B＝{1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素数字之和为21.
（2）设数集M＝
N＝
且M,N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集,定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________.
答案
【解析】 在数轴上表示出集合M与N（图略）,
可知当m＝0且n＝1或n－
＝0且m＋
＝1时,M∩N的“长度”最小.
当m＝0且n＝1时,M∩N＝
长度为
－
＝
；
当n＝
且m＝
时,M∩N＝
长度为
－
＝
.
综上,M∩N的长度的最小值为
.
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.
（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.
跟踪训练3 用C（A）表示非空集合A中元素的个数,定义A*B＝
若A＝{1,2},B＝{x|（x2＋ax）（x2＋ax＋2）＝0},且A*B＝1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C（S）＝________.
答案 3
【解析】 因为C（A）＝2,A*B＝1,所以C（B）＝1或C（B）＝3.由x2＋ax＝0,得x1＝0,x2＝－a.关于x的方程x2＋ax＋2＝0,当Δ＝0,即a＝±2
时,易知C（B）＝3,符合题意；当Δ>0,即a＜－2
或a>2
时,易知0,－a均不是方程x2＋ax＋2＝0的根,故C（B）＝4,不符合题意；当Δ＜0,即－2
＜a＜2
时,方程x2＋ax＋2＝0无实数解,当a＝0时,B＝{0},C（B）＝1,符合题意,当－2
＜a＜0或0＜a＜2
时,C（B）＝2,不符合题意.综上,S＝{0,－2
2
},故C（S）＝3.
1.已知集合A＝{y|y＝|x|－1,x∈R},B＝{x|x≥2},则下列结论正确的是（ ）
A.－3∈AB.3∉B
C.A∩B＝BD.A∪B＝B
答案 C
【解析】 由题意知A＝{y|y≥－1},因此A∩B＝{x|x≥2}＝B,故选C.
2.设集合M＝{－1,1},N＝
则下列结论中正确的是（ ）
A.NMB.MN
C.N∩M＝∅D.M∪N＝R
答案 B
【解析】 由题意得,集合N＝
＝
所以MN.故选B.
3.设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4＜0},B＝{x|2x≥4},则A∩B等于（ ）
A.[2,4）B.{2,4}
C.{3}D.{2,3}
答案 D
【解析】 由x2－3x－4＜0,得－1＜x＜4,因为x∈Z,所以A＝{0,1,2,3},由2x≥4,得x≥2,即B＝{x|x≥2},所以A∩B＝{2,3}.
4.（2018·全国Ⅱ）已知集合A＝{（x,y）|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为（ ）
A.9B.8C.5D.4
答案 A
【解析】 将满足x2＋y2≤3的整数x,y全部列举出来,即（－1,－1）,（－1,0）,（－1,1）,（0,－1）,（0,0）,（0,1）,（1,－1）,（1,0）,（1,1）,共有9个.
故选A.
5.（2018·济南模拟）设全集U＝R,集合A＝{x|x－1≤0},集合B＝{x|x2－x－6＜0},则右图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x|x＜3}B.{x|－3＜x≤1}
C.{x|x＜2}D.{x|－2＜x≤1}
答案 D
【解析】 由题意可得A＝{x|x≤1},B＝{x|－2＜x＜3},
∴A∩B＝{x|－2＜x≤1},故选D.
6.（2018·潍坊模拟）设集合A＝N,B＝
则A∩B等于（ ）
A.[0,3）B.{1,2}
C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}
答案 C
【解析】 由集合A＝N和B＝
＝{x|0≤x＜3},所以A∩B＝{0,1,2},故选C.
7.（2017·全国Ⅱ）设集合A＝{1,2,4},B＝{x|x2－4x＋m＝0}.若A∩B＝{1},则B等于（ ）
A.{1,－3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}
答案 C
【解析】 ∵A∩B＝{1},∴1∈B.∴1－4＋m＝0,即m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}.故选C.
8.已知集合A＝{x|－1＜x＜0},B＝{x|x≤a},若A⊆B,则a的取值范围为（ ）
A.（－∞,0]B.[0,＋∞）
C.（－∞,0）D.（0,＋∞）
答案 B
【解析】 用数轴表示集合A,B（如图）,由A⊆B,得a≥0.
9.（2018·郑州模拟）已知集合P＝{x|y＝
x∈N},Q＝{x|lnx＜1},则P∩Q＝________.
答案 {1,2}
【解析】 由－x2＋x＋2≥0,得－1≤x≤2,因为x∈N,
所以P＝{0,1,2}.因为lnx＜1,所以0＜x＜e,
所以Q＝（0,e）,则P∩Q＝{1,2}.
10.若全集U＝R,集合A＝{x|x2－x－2≥0},B＝{x|log3（2－x）≤1},则A∩（∁UB）＝________________.
答案 {x|x＜－1或x≥2}
【解析】 集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2},
∵log3（2－x）≤1＝log33,∴0＜2－x≤3,
∴－1≤x＜2,∴B＝{x|－1≤x＜2},
∴∁UB＝{x|x＜－1或x≥2},
∴A∩（∁UB）＝{x|x＜－1或x≥2}.
11.设集合A＝{－1,1,2},B＝{a＋1,a2－2},若A∩B＝{－1,2},则a的值为________.
答案 －2或1
【解析】 ∵集合A＝{－1,1,2},B＝{a＋1,a2－2},
A∩B＝{－1,2},∴
或
解得a＝－2或a＝1.
经检验,a＝－2和a＝1均满足题意.
12.已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）},B＝{x|x2－cx＜0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案 [1,＋∞）
【解析】 由题意知,A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0,1）,B＝{x|x2－cx＜0,c>0}＝（0,c）.由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
13.已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3},集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）＜0},且A∩B＝（－1,n）,则m＝______,n＝________.
答案 －1 1
【解析】 A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1},
由A∩B＝（－1,n）,可知m＜1,
则B＝{x|m＜x＜2},画出数轴,可得m＝－1,n＝1.
14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k－1∉A,且k＋1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
【解析】 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.
15.已知集合A＝
B＝{（x,y）|y＝kx＋m,k∈R,m∈R},若对任意实数k,A∩B≠∅,则实数m的取值范围是____________.
答案 [－
]
【解析】 由已知,无论k取何值,椭圆
＋
＝1和直线y＝kx＋m均有交点,故点（0,m）在椭圆
＋
＝1上或在其内部,∴m2≤2,∴－
≤m≤
.
16.已知A＝
B＝{x|x2－2x＋1－a2≤0}（a>0）,若A∪B＝B,则实数a的取值范围是______.
答案 [5,＋∞）
【解析】 由
>0可得（x－2）（x－6）＜0,
∴2＜x＜6,∴A＝（2,6）.
又x2－2x＋1－a2≤0可化为[x－（1－a）][x－（1＋a）]≤0.
又a>0,∴B＝[1－a,1＋a].
由A∪B＝B,得A⊆B,
∴
∴a≥5.
∴实数a的取值范围是[5,＋∞）.
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