特殊三角形复习学案定Word文件下载.docx

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添加条件______,使

为直角三角形。

直角三角形的判定：

（1）定义；

（2）两个角____的三角形是直角三角形；

（3）两边的平方和等于第三边的_____的三角形是直角三角形；

（4）一边上的中线等于____________的三角形是直角三角形。

7.如图，在

中，∠ABC=90°

点D是边BC中点,可以得到哪些结论？

直角三角形的性质1：

直角三角形的两个锐角_____；

直角三角形的性质2:

直角三角形两直角边的平方和等于________；

直角三角形的性质3:

直角三角形斜边上的中线等于___________。

8.如何判断一个三角形是等腰直角三角形？

判断它既是__________又是_____________。

9.等腰直角三角形两腰________，顶角为________，两底角为_______.

（二）尝试练习：

1.等腰三角形是_____对称图形,对称轴是____________。

2.一个等腰三角形的两边长分别是5cm和2cm，那么此三角形的周长是______。

3.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，

，3

4.如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°

，则∠C的度数为_____.

5.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）

6.如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°

，F是高AD和BE的交点，CD＝4，线

段DF的长度为_________.

（三）例题评析

例1：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E． 

（1）求证：

△ABD≌△CAE；

（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？

请证明你的结论．

例2：

（1）如图，在直角坐标系中，点B是x轴正半轴一点，点A是反比例函数

的图像上一点，若AB=OA，∠OAB＝90°

求点A的坐标。

变式1:

若点A是反比例函数

的图像上一点,

△OAB是等边三角形，求点A的坐标。

变式2：

在

（1）的条件下，在x轴和函数

的图像上分别再取C、D两点，使BD=CD,且∠BDC＝90°

求D点坐标。

例3：

　如图，在△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，点E，F分别在AC，BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE＝CF，连接DE，DF，EF.在此运动变化的过程中：

（1）试判断△DEF的形状并说理．

（2）四边形CEDF的面积是否发生变化；

若不变，请说明理由。

（3）取EF的中点M，连接CM，求CM的最小值。

拓展与延伸：

（1）阅读理解并填空：

如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌_______,这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中,从而求出∠APB的度数为_______．

（2）请利用第

（1）题的解答思想方法，解答下面问题：

如图2，△ABC中，∠CAB=90°

，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°

，求证：

EF2=BE2+FC2．

（3）如图3，在等边三角形△ABC中，E、F为BC上的点且∠EAF=30°

，

BE=2，CF=1，求EF的长。

A

B

E

F

C

图3

（4）课堂小结：

（5）作业：

中考指南P83-85

课后作业：

1.周长为10cm的等腰三角形的腰长x（单位：

cm）的取值范围__________________.

2.已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，

则∠BAC=__________．

3.在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积.

4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为___________.

D

5题图

4题图

6题图

5..如图，在

中

，点

为

的中点，

，垂足为点

，则

等于（　　）

A．

　　B．

　　C．

　　D．

6..如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°

，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是_______.

7.在平面直角坐标系中，点A（1,1），点B（2,2），动点C在坐标轴上，若以A,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为__________.

8.如图，在直角坐标系中,O为坐标原点，直线

的图像与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C的坐标为（-6,0），点P在直线

的图像上。

（1）

若△POC为等腰三角形，求P点的坐标;

（2）若△POC为直角三角形，求P点的坐标。

变式：

在y轴上点D（0,8）

（1）若△PDC为等腰三角形，求P点的坐标;

（2）若△PDC为直角三角形，求P点的坐标。

9.如图，二次函数y=（x-m）2-4m2的图像与x轴分别交于A、B（A在B的左侧），点C为顶点，若△ABC为等边三角形三角形，求m的值。

若△ABC为直角三角形，求m的值。

10.已知∠ABC=90°

，D是直线AB上的点，AD=BC． 

（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；

（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？

若是，请求出它的度数；

若不是，请说明理由．

题型分类深度剖析

1）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：

等腰三角形的两底角相等；

底边上的高线、中线及顶角平分线重合。

探索并掌握等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

探索等边三角形的性质定理：

等边三角形的各角都等于60°

，及等边三角形的判定定理：

三个角都相等的三角形（或）是等边三角形。

（2）了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：

，。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。

课标分析

从知识与技能、数学思考、问题解决、情感与态度等四个方面阐述

（1）、知识与技能

掌握基本的证明方法和基本的作图等技能；

掌握基本的推理技能。

（2）、数学思考在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；

经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观。

体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。

能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式

（3）、问题解决

尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题；

在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。

（4）、情感与态度

感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。

在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。

教学目标：

1、知道等腰三角形的轴对称性及对称轴；

2、掌握等腰三角形和等边三角形的有关性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。

3、掌握直角三角形的性质和判定，能运用这些性质及判定进行有关计算和证明。

4、掌握勾股定理及其逆定理，进一步理解数形之间的联系。

教学重点：

等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质和判定，勾股定理。

教学难点：

灵活运用等腰三角形、直角三角形的性质和判定，进行有关计算和证明。

教学过程

【自主练习】

自主完成课件“自主尝试”环节。

【知识回顾】

1．等腰三角形：

（1）性质：

相等，相等，底边上的高线、中线、

顶角的角平分线“三线合一”；

（2）判定：

有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形．

2．等边三角形：

相等，三内角都等于；

三边相等、三内角相等或有一个角是60°

的等腰三

角形是等边三角形．

3．直角三角形：

在△ABC中，∠C＝90°

.

边与边的关系：

（勾股定理）a2＋b2＝；

（2）角与角的关系：

∠A＋∠B＝；

（3）边与角的关系：

若∠A＝30°

，则a＝c，b＝c；

若a＝c，则∠A＝30°

；

若∠A＝45°

，则a＝b＝c；

若a＝c，则∠A＝45°

斜边上的中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆的半径．

（4）判定：

有一个角是直角的三角形是直角三角形；

如果三角的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

【基础自测】

2．（2011·

铜仁）下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（　　）

A．等腰三角形两底角相等

B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互

相重合

C．等腰三角形是中心对称图形D．等腰三角形是轴对称图形

3．（2011·

芜湖）

4．

5．

题型一　等腰三角形有关边角的讨论

【例1】　

（1）方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）

A．12B．12或15C．15D．不能确定

（2）如果等腰三角形的一个内角是80°

，那么顶角是________度．

探究提高　在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底，

也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨

论．

变式训练1　

（1）（2011·

株洲）

（2）（2011·

烟台）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为___________________．

题型二　等腰三角形的性质

变式训练2　已知：

如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF.当D点在什么位置时，DE＝DF？

并加以证明．

题型三　等边三角形

【例3】　

（1）已知：

如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数．

（2）（2010·

大兴安岭）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边

三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点

O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，

则下列结论：

①AE＝BD；

②AG＝BF；

③FG∥BE；

④∠BOC＝∠EOC.

其中正确结论的个数（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

变式训练3　如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.

（1）求证：

AD＝CE；

（2）求∠DFC的度数．

题型四　直角三角形、勾股定理

【例4】　

（2）如图，在钝角三角形ABC中，BC＝9，AB＝17，AC＝10，AD⊥BC，交BC的延长线于D，求AD的长．

变式训练4　

（1）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

A．4　　B．6C．16D．55

（2）（2011·

鸡西）已知三角形相邻两边长分别为20cm和30cm，第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为__________cm2.

三角形的高可能在形外

在△ABC中，高AD和高BE相交于H，且BH＝AC，求∠ABC的度数

易出错的等腰三角形问题

总结提醒　

1．对于等腰三角形问题，当给出的条件（如边、角情况）不明时，一般要分情况逐一考察，否则，容易出现错解或漏解的错误．

2．当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；

当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；

当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面.

方法与技巧

1.掌握分类的思想和方法，可深入理解，有效记忆，便于应用．例如：

从三角形三边长的比较，可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形；

而从最大内角的大小出发，又可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．由于两种分类的标准不同，所以一个具体的三角形，在两种分类中，必各属于其中的一类．如等腰直角三角形，在第一种分类中，属于其它等腰三角形；

在第二种分类中，属于直角三角形．

2.在一个三角形中“等边对等角，等角对等边”，当所要求证的两边、两角位于同一个三角形中，利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法．

3.等腰三角形“三线合一”的性质，运用广泛而又灵活，在于三线中只要有任两线重合，则可判定三角形等腰，即第三线也重合．

4.证明等边三角形的方法一般有两种：

一是直接论证三边或三角相等；

二是先证明是等腰三角形，再证明其中一角为60°

5.在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；

在直角三角形中，含锐角30°

、45°

这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．

失误与防范

1．在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形．

2．有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；

同样，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．我们要细心谨慎，注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然．

3．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c就是斜边，从而造成误解．

当堂测试

考点一：

等腰三角形性质的运用

1、（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°

，AB=8，则AB边上的高CD的长是或4

．

2．（2012•广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=

BC，则△ABC底角的度数为（　　）

A．45°

B．75°

C．45°

或75°

D．60°

考点二：

线段垂直平分线

3、（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°

，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）

B．2C．

D．4

4．（2012•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°

，DE=1，则EF的长是（　　）

A．3B．2C．

D．1

考点三：

等边三角形的判定与性质

5．（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长．

考点四：

角的平分线

6、（2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°

，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2

7．（2012•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是2

考点五：

勾股定理

8、（2012•黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为．

9.（2012•新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=

π，S2=2π，则S3是．

课下作业

1．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）

A．3B．3.5C．2.5D．2.8

2．（2012•济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）

A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间

3．（2012•肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）

A．16B．18C．20D．16或20

4．（2012•攀枝花）已知实数x，y满足|x-4|+

=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）

A．20或16B．20

C．16D．以上答案均不对

5．（2012•本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°

，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（　　）

A．16B．15C．14D．13

6．（2012•黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）

A．（2，0）B．（

，0）C．（

，0）D．（

，0）

7．（2012•铜仁地区）

6

B．

7

C．

8

D．

9

8．（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

20

12

14

13

9．（2012•泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=3

10．（2012•黄冈） 

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为36°