复变函数与积分变换试题Word文档下载推荐.docx

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z

=-2点条件收敛；

z=2i点绝对收敛；

共6页第页

z=1+i点绝对收敛；

z=1+2i点一定发散、

４、下列结论正确的是

如果函数f在z0点可导，则f在z0点一定解析；

如果

fdz=0，则函数f在C所围成的区域内一定解析；

函数

f=u+iv在区域内解析的充分必要条件是

u、v在该区域内均为调和函数、

5、下列结论不正确的是、

1

∞为sin的可去奇点；

∞为sinz的本性奇点；

∞为

的孤立奇点sinz

三、按要求完成下列各题

、设f=x+axy+by+i是解析函数，求

a,b,c,d、

解：

因为f解析，由C-R条件

∂u∂v∂u∂v==-∂x∂y∂y∂x

2x+ay=dx+2yax+2by=-2cx2c,2b=-d,c=-1,b=-1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

ez

dz其中C是正向圆周：

、计算C2

本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

因为函数f=在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1，分别以z1,z22

z为圆心画互不相交互不包含的小圆

c1,c2

且位于c内

C2zdz=C1

ezez2dzdz+C22z

ezez

=2πi“+2πi

zz=12

=2πi

z=0

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

z15

、dz

z=323

设f在有限复平面内所有奇点均在：

z=323dz=-2πiRes

[f,∞]---

11

=2πiRes

[f2]--

zz

11f2=zz

115）

2z

111f2=有唯一的孤立奇点z=0,zzz23

11111Res

[f2,0]=limzf2=lim=12243

zzzzz→0z→0

∴dz=2πi------

z32

函数f=在扩充复平面上有什么类型的奇

3

点？

，如果有极点，请指出它的级、解

XXXXX：

f=的奇点为z=k,k=0,±

1,±

2,±

3,，∞3

sinπz）=0的三级零点，z=k,k=0,±

3,为z=0

=3为f的一级极点，

z=2,[]”

z

∞1

]”=[∑nn]”而[

n=0

=∑nnn2-----6分

当0

111f=2=-2=-2

zzz

z∑n=0

=-∑zn------10分

当1

f=

=

z2z3

1n∞1

=∑n+3----14分∑n=0zn=0z

f=3

每步可以酌情给分。

五、用Laplace变换求解常微分方程定解问题：

⎧y““x

⎨

⎩y=1=y“=1

对y的Laplace

变换记做L，依据Laplace变换性质有

…s+1

s2L1-511111

…=-++

10615sx5x14x

e+e+e…10615

y=

六、求

f=e

+∞

-βt

的傅立叶变换，并由此证明：

cosωtπ-βt

dω=e22⎰0β+ω

-iωt

F=⎰ee

-∞

dt------3分

F=⎰e

-iωtβt

edt+⎰eβtdt

=⎰e

t

dt+⎰e

e

-t+∞

F=

112β+=2----4分2

-i+iβ+ω

1f=

1=⎰

eiωtFdω------5分

⎰

eiωt

2β

dω22

β+ω

⎰2β

ββ+ω

dω

cosωti

ω+

β2+ω2βsinωt

⎰-∞β2+ω2ω

π

cosωt

ω，-----6分22

«

复变函数与积分变换»

期末试题简答及评分标准

填空题

2、Ln的

）；

3、

1+z2

，

f=；

f“=ux+iuy、

2、C是正向圆周z=2，如果函数f=，则fdz=0、

3z3z3

、22

z2点条件收敛；

z=-2i点绝对收敛；

z=1+i点绝对收敛；

z=1+2i点一定发散、４、下列结论正确的是

如果fdz=0,其中C复平面内正向封闭曲线,则f在C所围成

的区域内一定解析；

函数f在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为zR条件

、

dz、其中C是正向圆周z2

=2；

在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1，分别以z1,z22

因为函数f=

为圆心画互不相交互不包含的小圆

112dzdz+C22z

”=2πi+2πizz=12

3z

=0

ze

dz，其中C是正向圆周z=2；

、计算C

z=2

fdz=-2πiRes

[f,∞]=2πic----

31z21zzeze111111=-=-z223231z2!

z3!

zzzz1-z

=-2232!

3!

z4!

zzzz

811+）

=-32!

cdz=-2πi3

函数f=在扩充复平面上有什么类型的奇点？

，如果有3

极点，请指出它的级、

f的奇点为z=k,k=0,±

3,，∞

3z=k,k=0,±

3,为=0的三级零点，

z=±

1,为f的二级极点，z=-2是f的可去奇点，

z=0,2,1n““=n

[]=[]而∑∑n=0n=0

f=∑nn-------6分

n=0∞

11f=2=zz2

∞nnz∑n=0∞

=∑zn----10分

12

f=11=z2z3

1n∞n1=∑∑n+3------14分zzn=0n=0∞1f=3z

五、用Laplace变换求解常微分方程定解问题

⎧y““+2y“x

⎨“y=0,y=1⎩

对y的Laplace变换记做L，依据Laplace变换性质有

1…s+1s2L3L=

整理得

s+2…L=

131y=-ee∞eiωtdt-----2分iω-iωt1=i

-1eeiωω=2sinωω-----4分

1f=2π

=⎰+∞-∞eiωtFdω---------5分π⎰

11+∞-∞eiωtsinωωdω=π⎰2+∞sinω-∞ωdω=π⎰+∞sinωcosωt

0ωω+π⎰i+∞sinωsinωt

-∞ωω

+∞sinωcosωtωdω=π2f⎧πt1⎩

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