广东省东莞市2012届高三文科数学小综合专题练习--函数与导数.doc
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2012届高三文科数学小综合专题练习——函数与导数
东莞一中羊仲石老师提供
一、选择题
1.已知函数f（x）=。
若f（a）+f
（1）=0,则实数a的值等于
A.-3B.-1C.1D.3
2.函数的图象
A.关于原点对称B.关于直线y=x对称
C.关于x轴对称D.关于y轴对称
3.已知B
A充要条件B充分不必要条件
C必要不充分条件D既不充分又不必要条件
4.函数f（x）=
A．（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）
5.若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
A.64B.32C.16D.8
二、填空题
6.函数的反函数为
7.函数的定义域为，则的取值范围是
8.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是
9.已知函数若则实数的取值范围是
10.已知函数满足：
，，则=_____________.
三、解答题
11．已知函数f（x）为R上的奇函数，且在上为增函数，
（1）求证：
函数f（x）在（-¥,0）上也是增函数；
（2）如果f（）=1，解不等式-112.已知函数。
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最小值。
13.已知函数是定义在R上的奇函数，且时，
函数取极值1．
（1）求的值；
（2）若，求证：
；
（3）求证：
曲线上不存在两个不同的点，使过两点的切线都垂直于直线．
14．已知是函数图象上一点，在点处的切
线与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为.
（1）求切线的方程及点的坐标；
（2）若，求的面积的最大值，求此时的值.
15.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：
米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元．设该容器的建造费用为千元．
（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的建造费用最小时的．
16.设为非负实数，函数。
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数，并求出零点.
17.设，函数，，．
⑴当时，求的值域；
⑵试讨论函数的单调性．
18.已知函数，，其中．
（1）若是函数的极值点，求实数的值；
（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．
2012届高三文科数学小综合专题练习——函数与导数
参考答案
一、选择题
1～5.ADBCA
二、填空题
6.7.8.9.10..
三、解答题
11．解：
（1）令，则
函数f（x）上为增函数
迁
又函数f（x）为奇函数
（2）
12.
（1）令，得．与的情况如下：
x
（）
（
—
0
+
↗
↗
所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是
（2）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，所以（x）在区间[0，1]上的最小值为当时，由（Ⅰ）知上单调递减，在上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为；当时，函数在[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为
13.解：
（1）函数是定义在R上的奇函数,
即对于恒成立，.
时，函数取极值1.∴,
解得:
．
（2）,,
时,上是减函数,
即，则,
当时,．
（3）设,
，过两点的切线平行,
．
，则,,
由于过点的切线垂直于直线,
∴，∵的方程无解．
曲线上不存在两个不同的点,使过两点的切线都垂直于直线．
14．解:
（1）∵，
∴过点的切线方程为
即切线方程为：
令，得，
即点的坐标为。
（2），
∴
由得，，
∴时，单调递增；时单调递减；
∴
∴当，面积的最大值为.
15.解：
（1）由题意可知，
即，则.
容器的建造费用为，
即，定义域为.
（2），令，得.
令即，
a。
当时，当，，函数为减函数，
当时有最小值；
b．当时，当，；当时，
此时当时有最小值。
16.解：
（1）当时，，
①当时，，
∴在上单调递增；
②当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增；
综上所述，的单调递增区间是和，单调递减区间是.
（2）①当时，，函数的零点为；
②当时，，
故当时，，二次函数对称轴，
∴在上单调递增，；
当时，，二次函数对称轴，
∴在上单调递减，在上单调递增；
∴的极大值为，
当，即时，函数与轴只有唯一交点，即唯一零点，
由解之得
函数的零点为或（舍去）；
当，即时，函数与轴有两个交点，即两个零点，分别为和；
当，即时，函数与轴有三个交点，即有三个零点，
由解得，，
∴函数的零点为和.
综上可得，当时，函数的零点为；
当时，函数有一个零点，且零点为；
当时，有两个零点和；
当时，函数有三个零点和.
17.解：
⑴，时，
当时，，根据指数函数与幂函数的单调性，是单调递增函数。
所以时，的值域为
⑵依题意。
①，当时，，递减，当时，，递增。
②，
当时，解得，
当时，，递减，
当时，，递增。
当时，，递增。
③，
当时，，递减。
当时，解得，
当时，，递增，
当时，，递减。
④，对任意，，在每个定义域区间上递减
综上所述，时，在或上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增，在或上单调递减；时，在每个定义域区间上递减。
18.解：
（1）解法1：
∵，其定义域为，
∴．
∵是函数的极值点，
∴，即，
∵，∴．
经检验，当时，=1是函数的极值点，
∴．
解法2：
∵，其定义域为，
∴．
令，即，整理得，．
∵，
∴的两个实根（舍去），，
当变化时，，的变化情况如下表：
—
0
＋
极小值
依题意，，即，
∵，∴．
（2）解：
对任意的都有≥成立等价于对任意的
都有≥．
当时，．
∴函数在上是增函数.
∴．
∵，且，，
①当且时，，
∴函数在上是增函数.
∴.
由≥，得≥，
又，∴不合题意．
②当1≤≤时，
若1≤，则，
若≤，则．
∴函数在上是减函数，在上是增函数.
∴.
由≥，得≥，
又1≤≤，∴≤≤．
③当且时，，
∴函数在上是减函数.
∴.
由≥，得≥，
又，∴．
综上所述，的取值范围为。
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