教师1份第5 讲利用相似三角形测高.docx

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教师1份第5讲利用相似三角形测高

第5讲利用相似三角形测高

【学习目标】

1、掌握几种测量旗杆高度的方法与原理，解决一些相关的生活实际问题。

2、通过设计测量旗杆高度的方案，学会将实物图形抽象成几何图形的方法，体会将实际问题转化成数学模型的转化思想。

【相关知识链接】

1、相似三角形的定义：

三角相等，三边的两个三角形叫做相似三角形。

2、三角形相似的判定：

、、

。

【学习引入】

一、探索：

问题1：

学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？

你有什么办法测量？

问题2：

世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．

在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：

“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！

”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？

知识点1、利用阳光下的影子测量旗杆的高度：

让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长。

原理：

∵太阳是平行光线

∴AB∥CD，∠B=∠DCE

∵∠ACB=∠DEC=90°

∴△ACB∽△DEC

∴

结论：

同一时刻，

据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．

分析：

根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．

解：

知识点2、利用标杆测量旗杆的高度

工具：

皮尺、标杆

步骤：

（1）测量出标杆CD的长度，测出观测者眼部以下高度EF；

（2）让标杆竖直立于地面，调整观测者EF的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、观测者的眼睛三者在同一条直线上，测出观测者距标杆底端的距离FD和距旗杆底部的距离FB；

（3）根据

求得AH的长，再加上EF的长即为旗杆AB的高度。

依据：

如图，过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G

∵CD∥AB∴∠ECG=∠EAH

∵∠CEG=∠AEH∴△ECG∽△EAH

∴

∵EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD=CD-EF,

且FD，FB,CD,EF可测

∴可求AH的长度

∴AB=AH+HB=AH+EF

知识点3、利用镜子的反射杆测量旗杆的高度

工具：

皮尺、镜子

步骤：

（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；

（2）测出观测者眼睛到地面的距离；

（3）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上标记O到人脚底D的距离OD及镜子上的标记O到旗杆底部的距离OB；

（4）把测得的数据代入

即可求得旗杆的高度AB。

依据：

在△COD与△AOB中

∵∠COD=∠AOB，∠CDO=∠ABO=90°

∴△COD∽△AOB∴

∵CD,OD,OB皆可测得∴AB可求。

【例题解析】

例1、如图所示，从点A（0,2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4,3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为。

如图，从点A（0，2）发出一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为________．

分析：

首先过点B作BD⊥x轴于D，由A（0，2），B（4，3），即可得OA=2，BD=3，OD=4，由题意易证得△AOC∽△BDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可得OA：

BD=OC：

DC=AC：

BC=2：

3，又由勾股定理即可求得这束光从点A到点B所经过的路径的长．

解：

如图，过点B作BD⊥x轴于D，

∵A（0，2），B（4，3），

∴OA=2，BD=3，OD=4，

根据题意得：

∠ACO=∠BCD，

∵∠AOC=∠BDC=90°，

∴△AOC∽△BDC，

∴OA：

BD=OC：

DC=AC：

BC=2：

3，

∴OC=OD=×4=，

∴AC==，

∴BC=，

∴AC+BC=．

即这束光从点A到点B所经过的路径的长为：

．

故答案为：

例2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米。

（1）求路灯A的高度；

（2）当王华再向前走2米，到达F处时，他的影长是多少？

解：

（1）由题可知AB//MC//NE，

∴ ，而MC=NE

∴            

∵CD=1米，EF=2米，BF=BD+4，∴BD=4米，∴AB==6米  

所以路灯A有6米高 

（2）  依题意，设影长为x，则解得米

答：

王华的影子长米。

例3、学校的围墙外的服装厂有一旗杆AB，甲在操场上直立3m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶部B重合，量的CE=3m，乙的眼睛到地面距离为FE=1.5m，丙在C1处直立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量的C1E1=4m，求旗杆AB的高度。

设BO=x，GO=y．

∵GD∥OB，

∴△DGF∽△BOF，

∴1.5：

x=3：

（3+y）

同理1.5：

x=4：

（y+6+3）

解上面2个方程得x＝9，y＝15

经检验x=9，y=15均是原方程的解，

∴旗杆AB的高为9+1.5=10.5（米）．

例4、如图,一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A处斜插桶内另一端的B处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.

解：

根据题意建立数学模型,如右图,AD=1.2米,AB=2米,AC=1.5米,DE∥BC.

∵DE∥BC,∴∠ADE=

∠B

∠AED=∠C.

∴△ADE∽△ABC.

∴

.∴

∴AE=0.9（米）.

∴EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6（米）.

二、强化训练

1.如图27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中点,P是

BC边上的一点,下列条件:

（1）∠APB=∠E

PC;

（2）∠APE=90°;（3）P是BC的中点;（4）BP∶BC=2∶3.

其中能推出△ABP∽△ECP的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

图27-2-2-2

解析：

①中因为∠B=∠C,∠

APB=∠EPC,

所以△ABP∽△ECP;

④中因为BP∶BC=2∶3,

所以BP=

BC,PC=

BC.

所以

=2,且∠B=∠C=90°.

所以△ABP∽△ECP.故选C.

注意三角形的对应顺序.

答案：

C

2.如图27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE∶BC的值为（）

图27-2-2-3

A.

B.

C.

D.

解析：

因△ADE∽△ABC,故

.

答案：

A

3.图27-2-2-4所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力

臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压（）

图27-2-2-4

A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm

解析：

杠杆运动过程中构成的三角形相似.

答案：

C

4.如图27-2-2-5所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A（目标物）,C（标杆）与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离是_______.

图27-2-2-5

解析：

因为△ABC∽△EDC,所以

.

答案：

48米

5.如图27-2-2-6,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.

图27-2-2-6

解：

由题意得△AEM∽△CEN,

∴

.而AM=0.4,EM=3.2,

EN

=26.8,

∴CN=3.35.

∴CD=4.95（米）.

答:

树高4.95米.

三、巩固训练

1.如图1,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,点P到CD的距离是3m,则P到AB的距离是（）

图1

A.

mB.

mC.

mD.

m

解：

设P到AB的距离为x米,则有

.x=1.2（m）.答案：

C

2.如图2,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的长.

图2

解：

∵BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,

∴∠ABE

=∠BCD=90°.∵AE∥BD,∴∠A=∠CBD.

∴△ABE∽△BCD.∴

即

.∴CD=6.8（米）.

∴CD的长为6.8米.

3.如图3,射击瞄准时,要求枪的标尺缺口上沿中央A,准星尖B和瞄准点C在

一条直线上,这样才能命中目标.已知某种冲锋枪基线AB长38.5cm,如果射击距离AC=100m,当准星尖在缺口内偏差BB′为1mm时,弹着偏差CC′是多少?

（BB′∥CC′）

图3

解：

∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′.

∴

.∴CC′=

（m）.

即弹着偏差

m.

4.如图4,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,BD长55cm,求梯子的长.

图4

解：

∵△ADE∽△ABF,

∴

.

设梯子长为xcm,则有

解得x=440.

经检验x=440为所列方程的根,所以梯长为440cm.

5.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为        米．

根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．

解：

过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示

设河宽为x米．

∵AB∥CD，

∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，

∴△PDC∽△PBA，

∴，

∴，

依题意CD=20米，AB=50米，

∴，

解得：

x=22.5（米）．

答：

河的宽度为22.5米．

6.一位同学想利用树影测量树高AB,他在某一时刻测得小树高为1米,树影长0.9米,但当他马上测量树影时,因树靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在

墙上,如图6,他先测得地面部分的影子长2.7米,又测得墙上的影高CD为1.2米,试问树有多高?

图6

解法一：

如图,延长AD,BE相交于点C,则CE就是树影长的一部分,

即

.∴CE=1.08（m）.

∴BC=BE+EC=2.7+

1.08=3.78（m）.

∴

即

.

∴AB=4.2（m）.

解法二：

过E作EF∥AD,交AB于F.

即

.∴BF=3m.

AB=AF+BF=3+1.2=4.2（m）

7.如图7所示,大江的一侧有甲,乙两个工厂,它们有垂直于江边的小路,长度分别为m千米及n千米,设两条小路相距l千米.现在要在江边建立一个抽水站,把水送到甲,乙两厂去,欲使供水管路最短,抽水站应建在哪里?

图7

解：

如图所示,AD垂直于江边于D,BE垂直于江边于E,则AD=m千米,BE=n千米,DE=l千米.延长BE至F,使EF=BE.连结AF交DE于C,则在C点建抽水站,到甲,乙两厂的供水管路AC+CB为最短.

设CD=x千米,因为Rt△ADC∽Rt△FEC,

所以

即

解得x=

（米）.

8.图8,一人拿着一个刻有厘米分度的小尺,站在距离电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上的12个分度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.

图8

解：

设电线杆高xm,因为两三角形相似,则有

解得x=6,经检验x=6为原分式方程的根,所以电线杆高6m.

9.晨晓想用镜子测量一棵古松树的高,但因树旁有一条小河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图9,第一次他把镜子放在C点,人在F点正好看到树尖A;第二次他把镜子放在C′处,人在F′处正好看到树尖A,已知晨晓眼睛距地面1.70m,量得CC′为12m,CF长1.8m,C′F′为3.84m,求这棵古松树的高.

图9

解：

设BC=ym,AB=xm,作CM⊥BF,C′M′⊥BF′.

由物理学中光的反射定理,得∠ACM=∠ECM,∠AC′M′=∠E′C′M′,

所以∠ACB=∠ECF,∠AC′B=∠E′C′F′.

因为∠ABC=∠EFC=90°,∠ABC=∠E′F′C′=90°,

所以△ABC∽△EFC,△ABC′∽△E′F′C′.所以

.

所以

①

.②

解①②组成的方程组,得

所以这棵古松树的高为10米.

10.如图10,河边有一条笔直的公路l,公路两侧是平坦的草地,在数学活动课上,老师要求测量对岸B点到公路的距离,请你设计一个测量方案.要求:

图10

①列出你测量所使用的工具;

②画出测量的示意图,写出测量的步骤;

③用字母表示的测量的数据,求点B与公路之间的距离.

解：

（1）皮尺;

（2）具体步骤如下:

①在公路上任取两个不同点A,C,在草地上取两点D,E,使BAD在一条直线上,且BCE在一条直线上,DE∥AC.

②测量AC,AD,DE的长.

③∵△BAC∽△BDE,

∴

.

∴BA=

.

作业

1、在同一时刻同一个地点物体的高度与自身的影长的关系是（）

A.成反比例B.成正比例C.相等D.不成比例

2、如图,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12m,EC=15m,BC=30m,则AB

=____m.

3.如图,大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1，S2，那么S1，S2的比值是（   ）

A.1:

1B.8:

9C.9:

8D.

设正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知AC、BC的长，进而可求得S2的边长，由面积的求法可得答案．

如图，设正方形的边长为x，

根据等腰直角三角形的性质知，AC=BC，BC=CE=CD，

∴AC=2CD，CD=，

∴S2的边长为，S2的面积为x2，S1的边长为，S1的面积为x2，

∴S1，S2的比值为9:

8，故选C．

4、如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．

5、如图所示是用杠杆撬石头的示意图,C是支点,当用力压杠杆的A端时,杠杆绕C点转动,另一端B向上翘起,石头就会被撬动.现有一块石头,要使其滚动,杠杆的B端必须向上翘起10cm,已知杠杆的动力

臂AC与阻力臂BC之比为5∶1,则要使这块石头滚动,至少要将杠杆的A端下压（）

A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm

假设向下下压x厘米，则x10=ACBC=5，解得x=50故选C．

6、如图所示,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先从B处出发与AB成90°角方向,向前走80米到C处立一标杆,然后方向不变向前走50米至D处,在D处转90°,沿DE方向走30米,到E处,使A（目标物）,C（标杆）与E在同一条直线上,那么可测得A,B间的距离_______.

7、如图,为了测量一棵树CD的高度,测量者在B点立一高为2米的标杆,观测者从E处可以看到杆顶A,树顶C在同一条直线上.若测得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求树高.

解：

设树高x米

根据线段成比例的性质

因为EF//AB//CD

所以EF:

CD=BF:

DF

即1.6：

x=3.2:

（3.2+23.6）

解得x=13.4

所以树高13.4米

8、如图，零件的外径为16cm，要求它的壁厚x，需要先求出内径AB，现用一个交叉钳（AD与BC相等）去量，若测得OA:

OD=OB:

OC=3:

1，CD＝5cm，你能求零件的壁厚x吗？

9.如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：

“怎么看不到水塔了?

”心里很是纳闷。

经过了解，教学楼、水塔的高分别为20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为1.6m。

小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有多少米?

解：

如图，设小张身高为EF，

∵AB⊥MC DC⊥MC

∴∠ABM=∠DCM=90°

∵∠DMC=∠DMC

∴△MBA∽△MCD

∴，即MB=60

同理可得△MFE∽△MBA．∴即

∴MF=4.8

∴FB=MB-MF=60-4.8=55.2

10、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别在AB、CD上，且EF∥BC，EF分别交BD、AC于M、N。

（1）求证：

ME=NF；

（2）当EF向上平移至②③④各个位置时，其他条件不变，

（1）的结论是否还成立？

请分别证明你的判断。

1，∵AD∥EF∥BC,

∴ME∶AD=BM∶BD=CN∶CA=NF∶AD,

∴ME=NF. 

2，当EF向上平移到图2、图3、图4位置时，ME=NF仍成立。

图2、图3的证明同图1.

图4证明如下：

（ME+EF）∶AD=CM∶CA=BN∶BD=（NF+EF）∶AD,

∴ME=NF.