六年级数学思维训练数论综合二.doc

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2014年六年级数学思维训练：

数论综合二

一、兴趣篇

1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数．要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？

2．已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n（n＞1）个连续自然数的和．请问：

共有多少个满足要求的自然数n？

3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种．所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？

4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008．满足上述条件的自然数有几组？

5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？

6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008．请问：

n最小是多少？

7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，请问：

从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？

8．将100!

﹣5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）．这99个余数的和是多少？

9．小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齐每隔6天去一次．今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院．如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？

10．有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数．这三个数中最小的一个是多少？

二、拓展篇（共12小题，满分0分）

11．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上168，则是另一个完全平方数，则这个正整数是　　　　　　．

12．已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998．满足上述条件的数一共有多少组？

13．冬冬往一个水池里扔石子．第一次扔l颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子…他准备扔到水池的石子总数是106的倍数．请问：

冬冬最少需要扔多少次？

14．数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？

15．在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，这样的正整数最小是多少？

16．求最小的正整数n，使得2006+7n是完全平方数．

17．请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．

18．有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示．这样的自然数中的最大一个是多少？

19．有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和．例如：

105就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18．请问：

在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？

20．一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为连续自然数数列．现在设定指针第一秒转动的角度为a度（a为小于360的整数），则其第二秒转动a+l度，第三秒转动a+2度…如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么a一共有几种设定方法？

最小可以被设成多少？

21．某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…，12．他们的电话号码依次是12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：

这一家的电话号码是什么数？

22．在等差数列1，8，15，22，29，36，43，…中，如果前n个数乘积的末尾0的个数比前n+l个数乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？

三、超越篇（共8小题，满分0分）

23．有一些正整数，它可以表示成连续20个正整数的和，而且当把它表示成连续正整数之和（至少2个）的形式时，恰好有20种方法．这样的正整数最小是多少？

（写出质因数分解）

24．有些自然数可以表示成两个合数相乘再加一个合数的形式，例如：

33=4×6+9．请问：

不能表示成这种形式的自然数最大是多少？

25．在给定的圆周上有100个点．任取一点标上1；按顺时针方向从标有1的点往后数2个点，标上2；从标有2的点再往后数3个点，标上3…依此类推，直至在圆周上标出100．对于圆周上的这些点，有的点可能标上多个数，有的点可能没有被标数．请问：

标有100的那个点上标出的数最小是多少？

26．三个聪明的初中生聚在一起玩一个推理的游戏，小强与小花各选了一个自然数并分别将它告诉小安．小安告诉小强和小花，他将分别把这两个数的和与乘积写在不同的纸上．小安写好后，将其中一张纸藏起来，把另一张纸亮出来给小强和小花看（这张纸上写着2008）．小安请小强和小花互猜对方所选的数，小强首先宣称他无法确定小花所选的数，小花听完小强的话后，也说她无法确定小强所选的数．请问：

小花所选的数是什么？

27．已知三个互不相等的正整数成等比数列，且三个数的乘积是完全平方数，那么这三个数的和最小是多少？

28．是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字全都相同（至少是两位数）？

如果存在，请写出一个；如果不存在，请说明理由．

29．有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，m＞n．然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根．求m和n．

30．是否存在这样的自然数：

在这个数后面重写一遍这个数，新组成的数是一个完全平方数？

如果存在，请举例；如果不存在，请说明理由．

2014年六年级数学思维训练：

数论综合二

参考答案与试题解析

一、兴趣篇

1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数．要使这4个数的和尽可能小，这4个数应该分别是多少？

【分析】首先从被2、3整除数的特征入手，根据被3除的余数特征分析探讨得出答案即可．

【解答】解：

任意两数之和是2的倍数，说明这4个数要么都是2的倍数，要么都不是2的倍数．

任意三数之和是3的倍数，分析几种假设：

1、假设这四个数都是三的倍数﹣﹣情况可以成立；

2、假设其中一个数是三的倍数﹣﹣这要求剩下三个数两两相加或三个相加都是3的倍数，而三个不是3倍数的数两两相加是无法得到3的倍数的数的（不是3的倍数的数与3相除得的余数只能是1和2，而1和2拿出3个来两两相加是无法都得到3的），不成立．

3、假设其中两个数是三的倍数﹣﹣同样要求剩下的两个数中任意一个或者两个相加都是3的倍数，与假设违背，不成立．

4、假设其中三个数是三的倍数﹣﹣要求剩下的一个数必须是三的倍数，同样与假设违背，不成立．

因此，这四个数必须都是3的倍数（其中一个可为0）

列出3的倍数（含0）

0、3、6、9、12、15、18、21、24、27

从中取出4个数，这四个数全是2的倍数：

0、6、12、18

从中取出4个数，这四个数不能是2的倍数：

3、9、15、21

很明显，0、6、12、18符合尽可能小的要求．

所以这四个数为0、6、12、18．

2．已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n（n＞1）个连续自然数的和．请问：

共有多少个满足要求的自然数n？

【分析】1到n是n个连续自然数的和，将2007平均分给n个数，所得的n个数仍是连续的自然数，

要将2007平均分成n份，所以2007能被n整除，即n是2007的约数．

2007=1×3×3×223，约数共有6个（1，3，9，223，669，2007）．

题目要求n大于1，去掉1，

当n=3时，原式=1+2+3+669×3=670+671+672

当n=9时，原式=1+2+3+…+9+223×9=224+225+…+232

当n=223时，原式=1+…+223+9×223=10+11+…+232

当n=669时，原式=1+…+669+3×669=4+5+…+672

当n=2007时，原式=1+…+2007+1×2007=2+3+…+2008

【解答】解：

假设这n个自然数为k+11，k+2，…，k+n+n，

则（k+1+1）+（k+2）+…+（k+n+n）=（1+2+3+.1+2+3+…+n+n）+2007

得nk=2007（n，k为自然数）

因为：

2007=3×3×223

所以2007的约数有3，9，223，669，2007，

所以共15种情况．

答：

共有5个满足要求的自然数n．

3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种．所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？

【分析】在所有的质数中，从小到大的那一组至少是41+4=45．于是对45、46、47根据题意进行拆分，从而找出满足上述条件的自然数中最小的一个数，解决问题．

【解答】解：

在所有的质数中，从小到大的那一组至少是41+4=45．

按题目要求分析，45有如下12种方法：

45=3+42=5+40=7+38=11+34=13+32=17+28=19+26=23+22=29+16=31+14=37+8=41+4

按题目要求分析，46有如下7种方法：

46=2+44=7+39=11+35=13+33=19+27=31+15=37+9

按题目要求分析，47有如下7种方法：

47=2+45=3+44=5+42=7+40=11+36=13+34=17+30=19+28=23+24=29+18=27+10=41+6=43+4

因此，满足题意的最小自然数是47．

4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008．满足上述条件的自然数有几组？

【分析】可设甲、乙两个自然数分别为a、b，则：

a2﹣ab=a（a﹣b）=2008=2×2×2×251，依此可求2008的约数的个数，进一步即可求解．

【解答】解：

设甲、乙两个自然数分别为a、b，则：

a2﹣ab=a（a﹣b）=2008=2×2×2×251，

2008的约数共有（3+1）×（1+1）=8（个），

那么满足条件的解共有8÷2=4组．

答：

满足上述条件的自然数有4组．

5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，它们的和最大可能是多少？

【分析】从最大的两位数99进行分析，得到满足条件的另外一个乘数，得到它们的和，再分析两位数98，进一步即可求解．

【解答】解：

最大的两位数是99，99=9×11，另外一个乘数要含因数11，最大是4×11=44，和=99+44=143；

还有一种情况是98=2×49，另外一个乘数含因数2，最大是2×36=72，和=98+72=170．

答：

它们的和最大可能是170．

6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008．请问：

n最小是多少？

【分析】设它们的平均数为x，则nx×x=2008，即nx2=2008，由此即可得出答案．

【解答】解：

设它们的平均数为x，则nx×x=2008，即nx2=2008，因为2008=2×2×2×251，所以nx2=2008=502×22．

答：

n最小是502．

7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，请问：

从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？

【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．

【解答】解：

1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．

对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．

即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．

对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，

当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；

当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．

所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．

因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．

因为2008=1+3×669，4×（669+1）=2680，

所以2680是第2008个“智慧数”，即第2008个“智慧数”是2680．

8．将100!

﹣5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数（余数有可能为0）．这99个余数的和是多少？

【分析】设a÷b=c…d，a、b、c、d都是整数，则a=cb+d，d＜b；令a=100！

﹣5则100！

=a+5=cb+d+5=b[c+（d+5）÷b]=bm，可得g=c+（d+5）÷b；因为g为整数，c为整数，所以d+5必为b的倍数，d＜b，且d≥0，然后分类讨论，求出将100!

﹣5分别除以2，3，4，…，100，得到的余数的情况，进而求出这99个余数的和是多少即可．

【解答】解：

设a÷b=c…d，a、b、c、d都是整数，

则a=cb+d，d＜b；

令a=100！

﹣5

则100！

=a+5=cb+d+5=b[c+（d+5）÷b]=bm，

可得g=c+（d+5）÷b；

因为g为整数，c为整数，

所以d+5必为b的倍数，d＜b，且d≥0，

所以可推得：

（1）除数b=2，d+5=6，则d=1，

（2）除数b=3，d+5=6，则d=1，

（3）除数b=4，d+5=8，则d=3，

（4）除数b=5，d+5=0，则d=0，

（5）除数b=6，d+5=6，则d=1，

当b＞5时，余数d=b﹣5，

因此这99个余数的和为：

1+1+3+1+2+3…+95=5+95+（1+94）×47=4565．

9．小悦、冬冬和阿奇三人经常去电影院，小悦每隔2天去一次，冬冬每隔4天去一次，阿齐每隔6天去一次．今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院．如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？

【分析】根据题意，可得小悦每3天去一次，冬冬每5天去一次，阿齐每7天去一次，然后分别求出三人第几天去电影院，找出最早出现的具有上述性质的连续三天是哪几天即可．

【解答】解：

根据题意，可得小悦每3天去一次，冬冬每5天去一次，阿齐每7天去一次，

可得小悦第1天、第4天、第7天、第10天、第13天、第16天、第19天、第22天…去电影院，

冬冬第6天、第11天、第16天、第21天、第26天、第31天、第36天、第41天…去电影院，

阿齐第8天、第15天、第22天、第29天、第36天、第43天、第50天、第57天…去电影院，

所以最早出现的具有上述性质的连续三天是第6天、第7天、第8天．

答：

最早出现的具有上述性质的连续三天是第6天、第7天、第8天．

10．有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数．这三个数中最小的一个是多少？

【分析】平方是10的倍数，则原数也是10的倍数．设第一个数是10x，由题意得（10x+1）2是9的倍数：

100x2+20x+1，1+2+1=4，x和x2的各位相加是9y+5；

（10x+2）2是8的倍数：

（100x2+40x+4）÷8=12.5x2+5x+0.5，其中12.5x2+0.5是整数，x2必须是奇数．

符合条件的最小x=5，进而解决问题．

【解答】解：

设第一个数是10x，得：

（10x+1）2是9的倍数：

100x2+20x+1，1+2+1=4，x和x2的各位相加是9y+5；

（10x+2）2是8的倍数：

（100x2+40x+4）÷8=12.5x2+5x+0.5，其中12.5x2+0.5是整数，x2必须是奇数．

符合条件的最小x=5

最小的是5×10=50

答：

这三个数中最小的一个是50．

二、拓展篇（共12小题，满分0分）

11．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数，如果加上168，则是另一个完全平方数，则这个正整数是　156　．

【分析】根据题意，可设所求的数为n，由题意，得：

n+168=a2…

（1），n+100=b2…

（2），然后用

（1）式减去

（2）式，得到68=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），由于68=1×68=2×34=4×17，只有三种情况，即：

①a+b=68，a﹣b=1；②a+b=34，a﹣b=2；③a+b=17，a﹣b=4；对这三种情况进行讨论，得出答案．

【解答】解：

设所求的数为n，由题意，得：

n+168=a2…

（1）

n+100=b2…

（2）

（1）﹣

（2），得：

68=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），

由于68=1×68=2×34=4×17，只有三种情况，即：

①a+b=68，a﹣b=1；

②a+b=34，a﹣b=2；

③a+b=17，a﹣b=4；

因为①a与b没有整数解，排除；

②算出a=18，b=16，所以：

n=182﹣168=162﹣10=156；

③a与b没有整数解，排除．

综上，只有n=156，即为所求的数．

故答案为：

156．

12．已知甲、乙两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998．满足上述条件的数一共有多少组？

【分析】设甲乙独有的因数分别是x、y，（x、y互质），则x+y=1998÷6=333，因为333÷2=166…，用166减去甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数，再减去甲乙独有的因数中均含因数37的数的个数，求出满足条件的数一共有多少组即可．

【解答】解：

设甲乙独有的因数分别是x、y，（x、y互质），

则x+y=333，

因为333÷2=166…，

甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数：

166÷3=55…1，

即甲乙独有的因数中均含因数3的数的个数是55，

由x=37时，y=37×8；x=37×2时，y=37×7；x=37×4时，y=37×5；

可得甲乙独有的因数中均含因数37的数的个数是3，

所以满足上述条件的数一共有：

166﹣55﹣3=108（组）．

答：

满足条件的数一共有108组．

13．冬冬往一个水池里扔石子．第一次扔l颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子…他准备扔到水池的石子总数是106的倍数．请问：

冬冬最少需要扔多少次？

【分析】由题意可知，本题是一个等差数列高斯求和的题，欲求应扔石头的次数，即数列的项数，我们可设应扔n次，那么根据高斯求和可求出所扔石子总数为：

1+2+3+…+n=×（n+1）．依题意知，×（n+1）能被106整除，因此可设×（n+1）=106a，（a为106的整数倍）即n×（n+1）=212a，把212分解质因数得：

212a=2×2×53a根据n与n+1为两个相邻的自然数，可知2×2×a=52（或54）．当2×2×a=52时，a=13．当2×2×a=54时，a=13，a不是整数，不符合题意舍去．因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），即n=52，所以冬冬应扔52次．

【解答】解：

设冬冬应扔n次，根据高斯求和可求出所扔石子总数为，

1+2+3++n=×（n+1），

依题意知，×（n+1）能被106整除，因此可设×（n+1）=106a，

即n×（n+1）=212a，

又212a=2×2×53a，根据n与n+1为两个相邻的自然数，可知2×2×a=52（或54）．

当2×2×a=52时，a=13．

当2×2×a=54时，a=13，a不是整数，不符合题意舍去．

因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），

所以n=52，冬冬应扔52次．

答：

冬冬最少需要扔52次．

14．数学老师把一个两位数的约数个数告诉了小悦，聪明的小悦仔细思考了一下后算出了这个数．同学们，你们知道这个数可能是多少吗？

【分析】根据题意，可得这个两位数的约数个数只能是2，即这个两位数是质数，然后找出两位数中的质数即可．

【解答】解：

根据题意，可得这个两位数的约数个数只能是2，

即这个两位数是质数，

所以这个数可能是：

11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．

答：

这个数可能是：

11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．

15．在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，这样的正整数最小是多少？

【分析】就是求1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的最小公倍数，用最基本的求最小公倍数的方法就可求出，是2520．

【解答】解：

10=2×5

9=3×3

8=2×2×2

6=2×3

4=2×2

这个正整数最小是：

2×2×2×3×3×5×7

=72×5×7

=360×7

=2520

答：

这样的正整数最小是2520．

16．求最小的正整数n，使得2006+7n是完全平方数．

【分析】先找到比2006大的最接近2006的完全平方数为2025，令2006+7n=2025，得到关于n的方程，解方程得到n的值，根据n为正整数舍去；再找到比2006大的最接近2006的完全平方数为2116，得到关于n的方程，再根据题意进行判断，直到找到为止．

【解答】解：

因为442=1936，452=2025，

所以2006+7n=2025

n=（不合题意舍去）

因为462=2116，

所以2006+7n=2116

n=（不合题意舍去）

因为472=2209，

所以2006+7n=2209

n=29

答：

最小的正整数n的值为29．

17．请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．

【分析】要使两位数组成的等比数列越长，则首项、公比应越小，所以首项为10，公比为2，据此求出这个最长的等比数列即可．

【解答】解：

要使两位数组成的等比数列越长，

则首项、公比应越小，

所以首项为10，公比为2，

因此这个最长的等比数列是10、20、40、80．

18．有一些自然数，它们不能用三个不相等的合数之和来表示．这样的自然数中的最大一个是多少？

【分析】最小三个合数的和是18，因而17是满足条件的数，若m＞18，可以分m是奇数和偶数两种情况证明不满足题意．

【解答】解：

最小三个合数是4，6，8，4+6+8=18，故17是不能表示为三个互不相等的合数之和的整数，

当m＞18时，若m=2k＞18，则m=4+6+2（k﹣5），

若m=2k﹣1＞18，则m=4+9+2（k﹣7）即任意大于18的整数均可表示为三个互不相等的合数之和，

故m=17．

答：

这样的自然数中的最大一个是17．

19．有些数既能表示成5个连续自然数的和，又能表示成6个连续自然数的和，还能表示成7个连续自然数的和．例如：

105就满足上述要求，105=19+20+21+22+23；105=15+16+17+18+19+20；105=12+13+14+15+16+17+18．请问：

在1至1000中一共有多少个满足上述要求的数？

【分析】该数能表示连续5个自然数的和，说明该数能够被5整除；