六年级数学思维训练数论综合一.docx
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六年级数学思维训练数论综合一
2014年六年级数学思维训练：
数论综合一
一、兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下3条性质：
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数；
③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．
2．一个五位数8□25□，空格中的数未知，请问：
（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
3．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 个．
4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？
5．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？
与6互质的有多少个？
6．一个自然数N共有9个约数，而N﹣1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
7．一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是 ．
8．有一个算式6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20．问：
这个两位数是多少？
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：
A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．
你能破解此密文吗？
二、解答题（共12小题，满分0分）
11．已知
×
是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：
三位数
是多少？
12．11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
13．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
14．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号接着说：
“这个数能被3整除”…依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：
只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：
（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
15．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数．依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
16．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳
米，黄鼠狼每次跳
米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔
米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？
17．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：
这个偶数是多少？
18．一个合数，其最大的两个约数之和为1164．求所有满足要求的合数．
19．已知a与b是两个正整数，且a＞b．请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？
20．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350．满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？
21．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．
22．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
三、解答题（共8小题，满分0分）
23．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数．请问：
这6个数的和最小是多少？
24．设N=301×302×…×2005×2006，请问：
（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
25．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！
的最小公倍数，晶晶计算出它与10！
的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：
这个四位数是多少？
26．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整数最小是多少？
27．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且a＞b＞c．请问：
满足条件的a、b、c共有多少组？
28．有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是多少？
29．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？
30．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数．
2014年六年级数学思维训练：
数论综合一
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下3条性质：
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数；
③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．
【分析】先找出满足（3）的这个数除以9的余数是5，即找出小于100的9的倍数减去5即可，然后再从（3）中找出满足
（1）的即这个数与1的差是质数，最后在从满足
（1）的数中找出满足
（2）的这个数除以2所得的商也是质数，据此解答．
【解答】解：
100以内9的倍数有：
9、18、27、36、45、54、63、72、80、81、90、99，
满足（3）这个数除以9的余数是5：
14、23、32、41、50、59、68、77、86、95
满足
（1）这个数与1的差是质数：
14、32、68
满足
（2）这个数除以2所得的商也是质数：
14
答：
这个幸运数是14．
2．一个五位数8□25□，空格中的数未知，请问：
（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
（2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
【分析】
（1）因为72=8×9，根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可；
（2）因为55=5×11，根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可．
【解答】解：
（1）因为72=8×9，
所以8+□+2+5+□=15+2×□能被9整除，符合条件的只有6，而256恰好能被8整除，
所以这个五位数为86256．
（2）因为55=5×11，
所以能被5整除，末尾只能是5和0，8+□+2﹣（5+□）=5+□﹣□能被11整除，
当末尾是5时，没有答案；
当末尾是0时，
这个五位数为85250．
3．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 18 个．
【分析】能被11整除的数的性质：
把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．
结合题意，只有两种情况：
①奇数位数字和=12，偶数位数字和=1．②奇数位数字和=1，偶数位数字和=12．
【解答】解：
①奇数位数字和=12，偶数位数字和=1，为3190，3091，4180，4081共4种可能．
②奇数位数字和=1，偶数位数字和=12．为1309，1408，1507，1606，1705，1804，1903；319，418，517，616，715，814，913共14种可能．
共4+14=18种．
故答案为：
18．
4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？
【分析】设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，根据被8整除数的特征和被5、6、7整除的数的特征分析探讨得出答案即可．
【解答】解：
设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，
因为三位数能被8整除，所以c为非0偶数，三个两位数中ab，bc，ac中bc与ac均为以c结尾的数字，而c为非0偶数，所以能是5的倍数的就只能是ab了，所以b=5，
因为三位数能被8整除，所以设100a+10×5+c=8k（k为整数），得C+50=4（25a+2k）为4的倍数，所以c只能为2或6，当c=2时，bc=52既不是6的倍数也不是7的倍数，
所以c=6，bc=56是7的倍数，所以ac是6的倍数，所以a是6，
所以原来的三位数是656．
5．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？
与6互质的有多少个？
【分析】首先将26460分解质因数，再进一步根据约数和的计算方法，找出含有6的质因数和不含6的质因数的数的个数即可．
【解答】解：
26460=22×33×5×72，
26460所有约数中6的倍数的数，即求26460÷6=4410的所有约数
4410=2×32×5×72，
故约数个数为（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36个，
也就是6的倍数有36个；
与6互质，即约数中不含质因子2和3
即所求为5×72=245的所有约数，
故与6互质的有（1+1）（2+1）=6个，
也就是与6互质的有6个．
6．一个自然数N共有9个约数，而N﹣1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
【分析】因为9=3×3=9×1，所以可以把N看做只有一个质因数或两个质因数，进一步从最小的质因数考虑，逐步探讨得出答案即可．
【解答】解：
根据约数个数公式可知：
①当N=an，即N只有一个质因数时，
n+1=9，所以n=8，
这样最小的N=28=256，
N﹣1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
②当N=an×bm，即N有两个质因数时，
（n+1）（m+1）=9，
所以n=m=2，
这样最小的N=22×32=36，N﹣1=35=5×7有（1+1）×（1+1）=4个约数，不符合题意；
第二小的N=22×52=100，N﹣1=99=32×11有（2+1）×（1+1）=6个约数，符合题意；
第三小的N=22×72=196，N﹣1=195=3×5×13有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
综上所述，最小的N是196，第二小的是256．
7．一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是 74 ．
【分析】因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶．而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的
，设这个次大约数为a，则最大约数为2a，由此得出方程：
a+2a=111，求得a，进而得出这个自然数．
【解答】解：
因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶．而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数的
，
设这个次大约数为a，则最大约数为2a，则：
a+2a=111
a=37，
2a=74，即所求数为74．
故答案为：
74．
8．有一个算式6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
【分析】要使最后的结果还是自然数，可把6、4分解质因数，再根据分解质因数的情况来确定把多少个乘号换成除号．据此解答．
【解答】解：
6×5×4×3×2×l
=（3×2）×5×（2×2）×3×2×1
=（3×2）×5×4×（3×2）×1
6×5÷4÷3×2×1=5
答：
这个自然数最小是5．
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20．问：
这个两位数是多少？
【分析】根据除数大于余数得出余数的具体取值范围，确定余数可能是：
（1）5、7、8；
（2）6、6、8；（3）6、7、7；再分情况分析即可．
【解答】解：
因为余数比除数小，
所以除以7所得余数可能是1、2、3、4、5、6；
除以8所得余数可能是1、2、3、4、5、6、7；
除以9所得余数可能是1、2、3、4、5、6、7、8；
又因为余数的和是20，
所以余数可能是：
（1）5、7、8；
（2）6、6、8；（3）6、7、7；
即这个两位数除以7，8，9的余数有3种情况：
（1）除以7余5，除以8余7，除以9余8，即加1是8，9的倍数，即8×9=72，
72﹣1=71，但除以7余1，71不符合题意；
（2）除以7余6，除以8余6，除以9余8，即加1是7，9的倍数，即7×9=63，
63﹣1=62，除以8余6，62符合题意；
（3）除以7余6，除以8余7，除以9余7，即加1是7，8的倍数，即7×8=56，
56﹣1=55，但除以9余1，所以55不符合题意．
答：
这个数是62．
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：
A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．
你能破解此密文吗？
【分析】把A37，8B4，21C分别除以12，余数只能为2，3，5，7，11，然后根据密码满足的三个条件进行推理即可．
【解答】解：
把A37，8B4，21C分别除以12，余数只能为2，3，5，7，11．
8B4为偶数，余数也只能为偶数，所以8B4除以12余2，B只能为5．
A37的余数只能从3，5，7，11中选，12=3×4，如果只考虑4的话，那么A=1或4（3不用考虑）．
21C的余数只能从3，7，11中选，分别带入（21C﹣3）÷12、（21C﹣7）÷12、（21C﹣11）÷12，那么C=9、1或5．
因为每个三位数的三个数字互不相同，又因为三个三位数除以12所得的余数是三个互不相同的质数所以C只能为9．
最后，因为三个字母表示的数字互不相同而且不全是奇数，所以A只能为4．
所以密文为：
437854219．
二、解答题（共12小题，满分0分）
11．已知
×
是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：
三位数
是多少？
【分析】由
×
是495的倍数，可知c一定为5，不可能为0；三位数成三位数，积最小应是6位数，进而推得a、b的值，解决问题．
【解答】解：
由以上分析可得：
a=8，b=6，c=5
387×605=234135
234135÷495=473
abc=865
答：
三位数
是865．
12．11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
【分析】连续两位数乘积的末4位都是0，因10000=2×2×2×2×5×5×5×5，也就是说这11个数里要含有4个因数5，但是连续11个数有最多只能有3个数是5的倍数，所以其中一个数是25的倍数，要求11个数总和最小，要把25放在最后1个数这样这11个数是15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25．据此解答．
【解答】解：
要使11个连续两位数乘积的末4位都是0，则这11个数里要有4个因数5，要使这11个数的和最小，则满足条件的最大两位数是25．所以和最小是：
15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25
=（15+25）×11÷2
=40×11÷2
=220
答：
这11个数的总和最小是220．
13．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
【分析】要使最后的结果还是自然数，可把9、8、6分解质因数，再根据分解质因数的情况来确定把多少个乘号换成除号．据此解答．
【解答】解：
9×8×7×6×5×4×3×2×l
=（3×3）×（2×2×2）×7×（3×2）×5×（2×2）×3×2×1
=（3×3×2×2×2）×7×5×（3×2×2×2×3）×2×1
9×8×7÷6×5÷4÷3×2×1=70
答：
这个自然数最小是70．
14．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：
“这个数能被2整除”，3号接着说：
“这个数能被3整除”…依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：
只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：
（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
【分析】
（1）首先可以判定编号是2、3、4、5、6、7号的同学说的一定都对．不然，其中说得不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对．这个数能同时被2、5，3，4和2、7整除，则一定能被10、12、14整除，从而编号为10、12、14的同学说得对．由“两个连续编号的同学说得错“知，11，13，15号也说得对．因此，说的不对的两个同学的编号是8和9．
（2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，因为[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=60060．因为60060是一个五位数，而上述12个数的其它公倍数不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．
【解答】解：
（1）根据2号～15号同学所述结论，将合数4，6，（15分）解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论．
4=22，6=2×3，8=23，9=32，10=2×5，12=22×3，14=2×7，15=3×5．
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数（可逐次排除，只有8与9满足要求）．
（2）1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060．
因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的五位数是60060．
15．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数．依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
【分析】根据题意，每一个灯，编号有多少个因数，就要被按多少次，亮着的灯是被按了偶数次的，灭了的灯是被按了奇数次的；因为奇数个的数字只能是完全平方数，442＜2008＜452，所以灯的编号是完全平方数的有44盏，所以灭了的灯共有44盏，亮着的灯有2008﹣44=1964盏，据此解答即可．
【解答】解：
根据题意，每一个灯，编号有多少个因数，就要被按多少次，
亮着的灯是被按了偶数次的，灭了的灯是被按了奇数次的；
因为奇数个的数字只能是完全平方数，442＜2008＜452，
所以灯的编号是完全平方数的有44盏，
因此灭了的灯共有44盏，
亮着的灯有：
2008﹣44=1964盏．
答：
这2008个人按完后，还有1964盏灯是亮着的．
16．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳
米，黄鼠狼每次跳
米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔
米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？
【分析】黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是
与
的“最小公倍数”
，即跳了
=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是
和
的“最小公倍数”
，即跳了
÷
=11次掉进陷井．
经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是
×9=40.5米．
【解答】解：
与
的“最小公倍数”是
，
黄鼠狼：
=9（次），
和
的“最小公倍数”是
，
狐狸：
÷
=11（次），
经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是
×9=40.5（米）．
17．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：
这个偶数是多少？
【分析】首先根据约数个数的计算方法，得出所含数个数的可能性，进一步从最小的质数分析探讨得出答案即可．
【解答】解：
6=2×3=（1+1）×（1+2），
因此，要让这个偶数恰有6个约数不是3的倍数，那么这个偶数可以包含：
2×5×5，
8=2×4=（1+1）×（1+3），8=1×8
因此，要让这个偶数恰有8个约数不是5的倍数，那么这个偶数可以包含：
2×3×3×3，2×2×2×2×2×2×2，
这样，同时满足上两个条件的最小公倍数是：
2×5×5×3×3×3=1350，或2×2×2×2×2×2×2×5×5=3200（不是3的倍数有24个不合题意舍去）；
所以这个偶数是1350．
18．一个合数，其最大的两个约数之和为1164．求所有满足要求的合数．
【分析】因为1164=2×2×3×97，1164÷（2+1）=388，1164÷（3+1）=291，1164÷（5+1）=194，1164÷（11+1）=97，然后分两种情况讨论：
（1）如果这个合数是偶数，
（2）如果这个合数是奇数，求出所有满足要求的合数即可．
【解答】解：
因为1164=2×2×3×97，
1164÷（2+1）=388，1164÷（3+1）=291，
1164÷（5+1）=194，1164÷（11+1）=97，
（1）如果这个合数是偶数，
则这个合数为：
388×2=776，
最大的两个约数为：
776、388；
（2）如果这个合数是奇数，
①这个合数为：
291×3=873，
最大的两个约数为：
873、291；
②这个合数为：
97×11=1067，
最大的两个约数为：
1067、97；
所以满足要求的合数为：
776，873，1067．
19．已知a与b是两个正整数，且a＞b．请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个
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