专题13变量之间的关系章末重难点题型北师大版解析版.docx
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专题13变量之间的关系章末重难点题型北师大版解析版
专题1.3变量之间的关系章末重难点题型
【北师大版】
【考点1变量、自变量、因变量、常量】
【方法点拨】变量：
在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。
自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。
常量：
一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.
【例1】（2019春•海珠区校级期中）半径是r的圆的周长为C＝2πr，下列说法正确的是（ ）
A．C，r是变量，2π是常量B．C是变量，2，r是常量
C．C是变量，π，r是常量D．C，π是变量，2是常量
【分析】根据常量和变量的定义来分析判断．
【答案】解：
∵常量是指始终不变的量，变量是指会发生变化的量．
∴圆的周长C和半径r是变量，2π是常量．
故选：
A．
【点睛】本题主要考查函数中常量和变量的定义，属于基础题型，熟知常量和变量的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2019春•历下区期中）2018年10月，历时九年建设的港珠澳大桥正式通车，住在珠海的小亮一家，决定自驾去香港旅游，经港珠澳大桥去香港全程108千米，汽车行进速度v为110千米/时，若用s（千米）表示小亮家汽车行驶的路程，行驶时间用t（小时）表示，下列说法正确的是（ ）
A．s是自变量，t是因变量B．s是自变量，v是因变量
C．t是自变量，s是因变量D．v是自变量，t是因变量
【分析】因为行驶的路程随行驶时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是行驶时间，因变量是行驶路程．
【答案】解：
行驶的路程随行驶时间用t的变化而变化，
则t是自变量，s是因变量，
故选：
C．
【点睛】此题主要考查了函数定义，变量和常量，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
【变式1-2】（2019春•厦门期末）某电影放映厅周六放映一部电影，当天的场次、售票量、售票收入的变化情况如表所示．在该变化过程中，常量是（ ）
场次
售票量
（张）
售票收入
（元）
1
50
2000
2
100
4000
3
150
6000
4
150
6000
5
150
6000
6
150
6000
A．场次B．售票量C．票价D．售票收入
【分析】根据函数的意义可知：
变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【答案】解：
在当天的场次、票价、售票量、售票收入中，不变的量是票价，
∴在该变化过程中，常量是票价．
故选：
C．
【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：
在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式1-3】（2019秋•连云区期末）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额B．数量C．单价D．金额和数量
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．
【答案】解：
常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：
D．
【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
【考点2判断函数图象】
【方法点拨】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
【例2】（2020春•沙坪坝区校级月考）重庆八中的老师工作很忙，但初一年级很多数学老师仍然坚持锻炼身体，比如张老师就经常坚持饭后走一走．某天晚饭后他从学校慢步到附近的中央公园，在公园里休息了一会后，因学校有事，快步赶回学校．下面能反映当天张老师离学校的距离y与时间x的关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】比较运动快慢通常有两种方法，即比较相同时间内通过的路程多少或者通过相同路程所用时间的多少，但统一的方法是直接比较速度的大小．
【答案】解：
根据题中信息可知：
图象第一段：
张老师从学校慢步到附近的中央公园，张老师离学校的距离y随着时间x的增大而增大；并且因为是慢步，所用时间相对较长；
图象第二段：
在公园休息时没有移动距离，因此张老师离学校的距离y随着时间x的增大而不变；
图象第三段：
快步赶回学校，张老师离学校的距离y随着时间x的增大而减小；并且因为是快步，所用时间相对较短．
故C图象符合要求．
故选：
C．
【点睛】本题主要考查对函数图象的分析能力，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．
【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干．设从开始工作的时间为t，剩下的水量为s．下面能反映s与t之间的关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．
【答案】解：
由题意，随着抽水时间的增加，剩下的水量逐渐减少；停止时剩下的水量不变，两台抽水机同时工作抽水速度增大，剩下的水量迅速减少，可得答案．
故选：
D．
【点睛】本题考查了函数图象，利用抽水时间确定剩下的水量是解题关键，注意两台抽水机同时工作的剩余水量迅速减少．
【变式2-2】（2020•江岸区校级期末）如图，向容器甲中匀速的注水，下面哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由容器的形状可知，注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始陡峭，后来趋于平缓，考查选项可得答案．
【答案】解：
由容器的形状可知：
注入水的高度随着时间的增长越来越高，
但增长的速度越来越慢，
即图象开始陡峭，后来趋于平缓，
故选：
C．
【点睛】考查了函数图象，注意理解函数图象的变化趋势是解题的关键．
【变式2-3】（2019秋•魏都区校级月考）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可．
【答案】解：
根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．
故选：
A．
【点睛】本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．解得此类试题时注意，如果水的体积随深度的增加而逐渐变快，对应图象是曲线从缓逐渐变陡．
【考点3通过函数图象获取信息】
【方法点拨】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
【例3】（2019秋•新泰市期末）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程y（米）与时间/（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的有（ ）
①甲队率先到达终点；
②甲队比乙队多走了200米路程；
③乙队比甲队少用0.2分钟；
④比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【答案】解：
①从图象看，乙先到达终点，故错误，不符合题意；
②从图象看，甲乙走的距离都是1000米，错误，不合题意；
③从图象看，乙队比甲队少用0.2分钟，故正确，符合题意；
④从图象看，比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，甲队的速度比乙队的速度快，故错误，不符合题意；
故选：
A．
【点睛】本题考查由图象理解对应函数关系及其实际意义，应把所有可能出现的情况考虑清楚．
【变式3-1】（2020•海安市校级期中）一辆货车早晨7：
00出发，从甲地驶往乙地送货．如图是货车行驶路程y（km）与行驶时间x（h）的完整的函数图象（其中点B、C、D在同一条直线上），小明研究图象得到了以下结论：
①甲乙两地之间的路程是100km；
②前半个小时，货车的平均速度是40km/h；
③8：
00时，货车已行驶的路程是60km；
④最后40km货车行驶的平均速度是100km/h；
⑤货车到达乙地的时间是8：
24．
其中，正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①③⑤C．①③④D．①③④⑤
【分析】①由图象可知到达D点货车到达乙地了；②货车的平均速度是40÷0.5＝80km/h；③当x＝1时，y＝60；④货车在BC段行驶的速度为v＝
＝100km/h；⑤货车到达乙地的总行驶时间为1.3+
＝1.4．
【答案】解：
①由图象可知到达D点货车到达乙地了，
∴甲乙两地之间的路程是100km；
②由图象可知，x＝0.5时y＝40，
∴货车的平均速度是40÷0.5＝80km/h；
③当x＝1时，y＝60，
∴8：
00时，货车已行驶的路程是60km；
④由图可知B（1，60），C（1.3，90），
∴货车在BC段行驶的速度为v＝
＝100km/h；
⑤从C点到D点行驶的路程是100﹣90＝10km，
∴时间为
＝0.1h，
∴从C点到D点行驶的时间为0.1h，
∴货车到达乙地的总行驶时间为1.3+0.1＝1.4，
∴货车到达乙地的时间是8：
24；
∴①③④⑤正确，
故选：
D．
【点睛】本题考查函数的图象；能够通过函数图象获取信息，结合行程中速度、路程、时间的关系求解是关键．
【变式3-2】（2020•哈尔滨校级期中）甲车与乙车同时从A地出发去往B地，如图所示，折线O﹣A﹣B﹣C和射线OC分别是甲、乙两车行进过程中路程与时间的关系，已知甲车中途有事停留36分钟后再继续前往B地，两车同时到达B地，则下列说法：
①乙车的速度为70千米/时；②甲车再次出发后的速度为100千米/时；③两车在到达B地前不会相遇；④甲车再次出发时，两车相距60千米．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据速度＝路程÷时间列式计算即可得解．
【答案】解：
乙车的速度为
＝75千米/时，故①错误；
甲车再次出发后的速度为
＝100千米/时，故②正确；
由图象知，两车在到达B地前不会相遇，故③正确；
∵甲车再次出发时，乙车行驶了75×（1+
）﹣60＝120﹣60＝60千米，故④正确，
故选：
C．
【点睛】本题考查了函数的图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息理解甲、乙两车的运动过程是解题的关键．
【变式3-3】（2019秋•高明区期末）如图所示的图象（折线ABCDE）描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：
①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据图象可以得到首先从出发点匀速行驶3小时，走了90千米，然后在第3小时到4小时时停止运动，从4小时到6小时，继续沿原来的方向走了2小时，走了50千米到达目的地，然后匀速返回出发点，在距出发9小时是返回．据此即可判断．
【答案】解：
汽车从出发地到目的地走了140千米，又回到出发地因而共行驶了280千米，故①错误；
汽车在行驶途中停留了4﹣3＝1小时，故②正确；
汽车在整个行驶过程中的平均速度为：
280÷9＝
（千米/时），故③错误；
汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度不变，故④错误．
综上所述，正确的只有②．
故选：
A．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
【考点4动点问题的函数图象】
【例4】（2019秋•罗湖区期中）如图1，点G为BC边的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边运动，运动路径为G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB＝6cm，则下列结论正确的个数有（ ）
①图1中BC长4cm；
②图1中DE的长是6cm；
③图2中点M表示4秒时的y值为24cm2；
④图2中的点N表示12秒时y值为15cm2．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【答案】解：
由图象可得：
0～2秒，点P在GC上运动，则GC＝2×2＝4cm，
∵点G是BC中点，
∴BC＝2GC＝8cm，
故①不合题意；
由图象可得：
2﹣4秒，点P在CD上运动，则第4秒时，y＝S△ABP＝
×6×8＝24cm2，
故③符合题意；
由图象可得：
4﹣7秒，点P在DE上运动，则DE＝2×3＝6cm，
故②符合题意；
由图象可得：
当第12秒时，点P在H处，
∵EF＝AB﹣CD＝6﹣4＝2cm，
∴t＝
＝1s，
∴AH＝8+6﹣2×（12﹣7﹣1）＝6，
∴y＝S△ABP＝
×6×6＝18cm2，
故④不合题意，
∴正确的是②③，
故选：
C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
【变式4-1】（2019秋•呼兰区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据动点运动的起点位置、关键转折点，结合排除法，可得答案．
【答案】解：
∵动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，△CPO的面积为S
∴当t＝0时，OP＝0，故S＝0
∴选项C、D错误；
当t＝3时，点P和点A重合，
∴当点P在从点A运动到点B的过程中，S的值不变，均为12，故排除A，只有选项B符合题意．
故选：
B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合及正确运用排除法，是解题的关键．
【变式4-2】（2018春•盐田区期中）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则△ABC的面积是（ ）
A．10B．16C．20D．24
【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，根据三角形的面积公式得出△ABC的面积．
【答案】解：
∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，
函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，
则BC＝4，
x＝9时，接着变化，
则CD＝9﹣4＝5，
∴AB＝5，BC＝4，
∴△ABC的面积＝
×4×5＝10．
故选：
A．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，主要考查了矩形的性质、三角形面积等知识，在解题时要能根据函数的图象求出有关的线段的长度，进而求解．
【变式4-3】（2019春•东城区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E从A点出发，沿着AB→BC→CD的方向匀速运动到D点停止．在这个运动过程中，下列图象可以大致表示△AED的面积S随E点运动时间t的变化而变化的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分点E在边AB上、点E在边BC上及点E在边CD上三种情况考虑：
当点E在边AB上时，由高不变底逐渐增大可得出面积S逐渐增大；当点E在边BC上时，由底和高都不变可得出面积S为定值；当点E在边CD上时，由高不变底逐渐减小可得出面积S逐渐减小．再对照四个选项中的函数图象即可得出结论．
【答案】解：
当点E在边AB上时，高不变，底逐渐增大，
∴面积S逐渐增大；
当点E在边BC上时，底和高都不变，
∴面积S为定值；
当点E在边CD上时，高不变，底逐渐减小，
∴面积S逐渐减小．
故选：
D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分点E在边AB上、点E在边BC上及点E在边CD上三种情况找出面积S的变化时解题的关键．
【考点5列表法表示函数关系】
【方法点拨】采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。
列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。
列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。
【例5】研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/kg
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量/t
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2（hm2是单位“公顷”的符号）时，土豆的产量是多少？
如果不施氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？
说说你的理由．
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响．
【分析】
（1）表格反映的是土豆的产量与氮肥的施用量的关系；
（2）直接从表格中找出施用氮肥和不用氮肥时对应的土豆产量；
（3）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的；
（4）根据表格中土豆产量的增长和减少数量来说明氮肥的施用量对土豆产量的影响．
【答案】解：
（1）上表反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系；
（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是：
32.29吨/公顷，
如果不施氮肥，土豆的产量是：
15.18吨/公顷；
（3）当氮肥的施用量是336千克/公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产；
（4）当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产．
【点睛】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系．函数的定义：
在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
【变式5-1】在海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据：
海拔高度/m
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
空气含氧量/（g/m2）
299.3
265.5
234.8
209.63
182.08
159.71
141.69
123.16
105.97
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
（2）在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？
海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？
（3）你估计在5500m海拔高度空气含氧量是多少？
【分析】
（1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断；
（2）根据表格中数据解答即可；
（3）利用5000m和6000m的值的平均数估计即可．
【答案】解：
（1）上表反映了海拔高度和空气含氧量的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量；
（2）在海拔高度0m的地方空气含氧量是229.3g/m2；海拔高度4000m的地方空气含氧量是182.083g/m2；
（3）
（g/m2），
估计在5500m海拔高度空气含氧量是150.7229.3g/m2．
【点睛】此题主要考查了常量与变量以及求函数的关系式，根据表格中数据分别分析得出是解题关键．
【变式5-2】（2019春•龙岗区期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人）
500
1000
1500
2000
2500
3000
…
y（元）
﹣3000
﹣2000
﹣1000
0
1000
2000
…
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到 人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达 人．
【分析】
（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；
（2）直接利用表中数据分析得出答案；
（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案；
（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．
【答案】解：
（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量；
故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；
故答案为2000；
（3）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；
（4）由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，
当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月利润为5000元时，每月乘车人数为4500人，
故答案为4500．
【点睛】本题主要考查了常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键．
【变式5-3】（2019春•定边县期末）一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：
时间（秒）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
速度（米/秒）
0
0.3
1.3
2.8
4.9
7.6
11.0
14.1
18.4
24.2
28.9
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
（2）如果用T表示时间，V表示速度，那么随着T的变化，V的变化趋势是什么？
（3）当T每增加1秒，V的变
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