初中数学中不等式的教学和学习方法.docx
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初中数学中不等式的教学和学习方法
齐鲁师范学院
本科毕业论文（设计）
题目：
论初中代数中不等式的教学和学习方法
学院数学学院
专业数学与应用数学
班级2010级2班
学号020
姓名王帅
指导教师刘昆仑
齐鲁师范学院教务处制
二Ｏ一四年五月
齐鲁师范学院学士学位论文原创性声明
本人郑重声明：
所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
本声明的法律结果由本人承担。
学位论文作者签名：
年月日
齐鲁师范学院关于论文使用授权的说明
本人完全了解齐鲁师范学院有关保留、使用学士学位论文的规定,即：
学校有权保留、送交论文的复印件,允许论文被查阅,学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印或其他复制手段保存论文。
指导教师签名：
论文作者签名：
年月日 年月日
论初中代数中不等式的教学和学习方法
摘要
初中数学中,不等式为学习的难点,也是重点,为了提高课堂教学的效率,提高同学们课堂学习的积极性,本文以不等式的知识为基础,研究中学数学中不等式的教学方法。
此方法可以使数学教学增加思想性、知识性、趣味性,收到良好的教学效果。
以上述实用背景为出发点,从不等式的性质出发,针对不等式知识的考点,在此基础上,延伸出一元一次不等式的解法,再到不等式组的解法。
论文提出的教学方法注重从新课标的要求出发,新课标要求教师要具有整天把握新课标的要求、灵活运用教材的开发能力、探究性、创造性的指导能力以及体察教学行为的反思能力。
在研究一元一次不等式解法的同时,探索出逆向思维能力在解题中的应用,并依此展开,探索逆向思维能力的训练及在数学各部分知识中的应用。
关键词：
一元一次不等式;一元一次不等式组;整体思想;逆向思维
Inthetheoryofhighschoolalgebrainequalitymethodsofteachingandlearning
ABSTRACT
Inthejuniormiddleschoolmathematics,inequalityforlearningdifficulties,isalsoakey,inordertoimprovetheefficiencyofclassroomteaching,improvetheenthusiasmofstudentsclassroomlearning,basedontheinequalityoftheknowledge,studyinequalityinmiddleschoolmathematicsteachingmethod.Canincreasethemathematicsteachingideology,knowledge,interest,receivedgoodteachingeffect.
Withthepracticalbackgroundasastartingpoint,neverequationaccordingtothenatureofknowledgeforinequalitiesoftheexaminationsite,onthisbasis,theextendedoneyuanainequalitymethod,thesolutiontotheinequalitygroup.Paperproposedpayattentiontofromtherequirementofnewteachingmethods,curriculumrequiresteacherstograsptherequirementsofnewalldaylong,flexibleuseofteachingmaterialsdevelopmentability,thezetetic,theguidanceofcreativeabilityandobservethereflectionabilityofteachingbehavior.Instudyoneyuanainequalitymethodatthesametime,exploretheapplicationofreversethinkingabilityinproblemsolving,andaccordingly,toexplorethereversethinkingabilitytrainingandapplicationinallpartsofmathknowledge.
Keywords:
Linearinequalityinonevariable；Linearinequalitiesofoneunknown；Wholethinking；Reversethinking
1关于一元一次不等式与一元一次不等式组的解法
1.1一元一次不等式及其解方法
不等式的解题步骤归结为以下几点：
（1）去分母；
（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化系数为1．
说明[1]：
解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：
一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时,不等号的方向必须改变,这是解不等式时最容易出错的地方．
例：
解：
去分母,得
（不要漏乘！
每一项都得乘）
去括号,得
（注意符号,不要漏乘!
）
移项,得
（移项要变号）
合并同类项,得
（计算要正确）
系数化为1,得
（同除负,不等号方向要改变,分子分母别颠倒了）
1．1．2巧用整体思想
在面对带括号的不等式问题的时候,如何化整为零是解决问题的关键,用最基本的方法解题,可能会增加解题的步骤,而适时运用化整为零的方法,会有效的增加解题的速度,提高准确率.
例1[2]、解不等式：
.
解析：
不等式两边都有（x+1）和（x-1）,可以把它们看作整体,先移项合并,这样可以化繁为简.
移项,得
.合并,得
.即
解得
.
1．1．3巧去分母
当我们遇到含有分母的不等式的时候,分母的存在会增大我们解题的难度,所以,如何巧妙的去除式子中所含有的分母是简化解题步骤的关键,以下一个例题就是说明如何在解题中巧妙去除分母.
例2[3]、解不等式：
＞
.
分析一：
照常规解法,先化简
这样,不仅要去分母、去括号,而且数字变大不便计算.如果注意到分母
只要巧取倒数,便可化去分母中的小树,且使分母化为1（去分母）,方便计算.
解法一：
原方程可化为
即
解得
.
分析二：
仔细观察可发现各分数项中分子系数皆能被分母整除,因此可用除法先化整.
解法二：
原不等式可化为
即
解得
.
1．1．4巧用公式、法则、定律
定理、法则、公式的运用能减少工作量,让解题方法更为简便,以下一个例题很好的说明了这个问题.
例3[4]、解不等式：
.
解析：
若先去括号,计算量较大,仔细观察原不等式可以发现,不等式各项都有因式
故可逆用乘法分配律来求解.
原不等式可化为
即
解得
.
1.1.5巧拆常数
此方法对基础知识的要求是比较严格的,而且在读题目的过程中要善于发现,常数的存在往往会增加解题的难度,如何找到常数和其他式子存在的关系,是解题最为重要的一点.
例4[5]、解不等式：
.
解析：
观察常数的特点,可以将3拆为1+1+1,而
.
从而有
所以
所以
即
.
1.2一元一次不等式组及其解法
1.2.1一元一次不等式组的概念
大多的数学教学过程中,是用两个一元一次不等式来组成一个不等式组来引进一元一次不等式组的概念.之后会再进行下一环节的教学[6].因此在概念引进之后,可以再举一些由三个或者四个一元一次不等式组成的不等式组,让学生明白,“几个”是指两个或者两个以上,而不仅限于两个[7].目前的课本解法适用于由两个以上的不等式组成的不等式组.
1.2.2一元一次不等式组的教学重点和关键
一元一次不等式组的教学重点是它的解法,这也是教学的关键.在教学时必须使学生理解一元一次不等式组的解集的意义,特别强调解一元一次不等式组的方法是：
先求出每一个不等式的解集,然后再找出这些解集的公共部分,“公共部分”就是所求的不等式组的解集.通过多次的观察和调查,这一环节对学生来说是很容易接受的,而困难的是怎样求出两个或多个解集的公共部分,数轴就是很直观的找出解集的公共部分的工具,从数轴可得,如果没有公共部分,那就不存在解集.所以,教学过程中让学生准确的运用数轴找出解集是重中之重[8].
1.2.3引导学生自主对知识进行归纳总结
在掌握以上一元一次不等式的解法之后,引导学生自主归纳总结,由一元一次不等式组成的不等式组有以下四种类型：
其解集分别是
无解[9].为了便于记住这四种类型的一元一次不等式组的解集,可用“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”四个短语来记忆.
在一元一次不等式组中字母系数取值的确定,首先要弄清楚不等式组的解集情况,然后根据所给的解集逆向思维确定出字幕系数的基本取值范围,在验证字母在界点时是否也适合不等式的解集,从而得到字母系数的取值范围.[10]特别是当已知条件出现不等式组有几个整数解时,一般要与数轴结合才能得出字幕系数的取值范围.
1.2.4关于含绝对值符号的不等式的解法
在教学中不妨把含绝对值符号的不等式的概念及其解法作为补充内容介绍给学生,供那些学有余力的数学爱好者利用课余时间进行探讨,以提高他们学习数学的兴趣[11].这种
类别的不等式的解法基础是绝对值的意义和一元一次不等式组的解法.绝对值的定义及它的几何意义（数轴上不同方向上的点到原点的距离,如
的几何意义是：
数轴上标示-5的点到原点的距离,结果为5个长度单位）[12].为了让学生理解这两种绝对值不等式的解法,教学时先给
以具体的数字,结合绝对值的几何意义,利用数轴来说明,辅导学生归纳出结论：
针对学有余力的学生,还应向他们指出,遇到
这类不等式时可以直接应用上述结论,遇到
[13],采用换元的方法,只要把绝对值符号中的式子看成一个整体（如x+n=y）,就可以让复杂的不等式归结到
这种类别的不等式,先求出其解集,在求出原不等式的解集.这种解题的方法,在教学过程中可以和学生一起讨论得出,再给我一些题目让学生练习,使其掌握这类不等式的解法,养成正确推理的习惯,培养学生的推理能力.
2逆向思维在一元一次不等式教学中的体现
2.1一元一次不等式解法的逆向和特殊解得逆向
解一元一次不等式是依据不等式的基本性质,将不等式化为
的形式,如：
解不等式
不等式两边同时减去2,得
不等式两边同时除以-3得x<1,而有时需要由某个变量的取值去判断某一个代数式值的范围,这就是一种逆向思维训练[14].
例1[15]、已知
化简
.
分析：
去绝对值符号时要先判断3-x与2x-7的符号,然后根据“正数的绝对值等于本身,负数的绝对值等于其相反数,零的绝对值仍是零”进行化简,由-2x>-4得x<2,由x<2判断3-x与2x-7的符号就属于解不等式的逆向思维了,由x到（3-x）是x先乘以-1再加3,由x到2x-7是x先乘以2再减7.
解：
由
∴
（不等式两边同时乘以-1）,
∴
（不等式两边同时加3）,
∴
;
∴
∴
（不等式两边都是乘以2）,
∴
（不等式两边同时减7）,
∴
∴原式=
.
解不等式时有时需要求不等式的特殊解,而有时又需要由不等式的特殊解求某个变量的范围,这也是一种逆向思维.
例2、已知关于x的不等式
的正整数解只有3个,求
的取值范围.
分析：
本体首先借助于数轴找出不等式的所有特殊解（0.-1,-2）,再考虑
表示的解集里的解时指数轴上
及
右侧的所有数,而只有当
在-2与-3之间时
的非正整数解才仅有-3或-2,很显然当
时,
的解包括-3,此时非正整数解有4个,不符合题意,故
.
2.2逆向思维训练的重要性
数学课程标准明确指出：
“义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展……使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
”要使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展,我认为在数学教学中加强逆向思维训练是一个有效的捷径.中学数学教材中的“逆运算”“逆否命题”“反证法”“分析法”等很多地方多涉及到思维的逆向性,培养学生创新能力是素质教育的一项重要的任务,数学教学对于提高学生的思维能力有特殊的意义.
俗话说的好：
“在逆境中求生存,在生存中求发展.”在逆境中如何求生存,这就要去思考,而创造性思维往往来自逆向思维,有时候则要打破常规的思维方式,反其道而行之,达到摆脱困境的目的,这样的例子在历史上不胜枚举,有人落水,常规的思维模式是“救人离水”,而“司马光砸缸”救起了小伙伴,就是运用了“破缸留人”的思维模式.古罗马的阿基米德利用水的浮力和物体的排水量来鉴定国王的金冠.在数学中注重学生逆向思维训练,就可以使学生养成多角度、多方位、多功能、多途径思考问题的习惯,达到解决问题的目的.
在以上几组一元一次不等式的解法中,我们可以发现,在数学解题中根据问题的特点在应用常规数学思维的同时注意逆向思维的应用,往往能使很多问题运算简化.因此在平时教学中应适当增加一些逆向思维方面的训练,能够开阔思路.逆运算为一些问题的解决开辟了一条通径,要顺利地进行逆向思维,灵活地运用逆算解题,必须以掌握“三基”为前提,以数学思想为指导,以正向思维为基础,还要具有创新意图,只有抓住研究对象的本质属性和内在联系,才会对具体对象进行新的认识和处理,学会逆算的方法,无疑能提高解题效率,促进数学素质的提高.
3逆向思维在数学中的开发
3.1将逆向思维教学渗入基础知识的数学中
数学是初中教育的基础学科之一,在重视学生对基础知识熟练掌握和应用的同时,将逆向思维、逆向教学引入,不但可以加深学生对基础知识的了解,还能够开拓学生的思维能力和思考方式.在概念等基础知识的数学上应着重加强逆向思维的教育[16].例如在概念中存在很多的“互为”关系,如“互为相反数”“互为倒数”等,教师可以利用这样的概念来引导学生从正反两个方面分析和解决问题,培养学生逆向思维的能力,帮助学生建立双向的思维模式.如果在教学中适当、适时地引导学生从命题的反面来思考问题,那么学生的逆向思维能力就会在基础知识的教学中逐渐开发出来.类似于一元一次不等式知识的传授中所运用逆向思维的方法,去解决问题.
3.2强化逆向思维在解题上的渗透
逆向思维的渗透主要包括以下几点：
①分析法.分析法注重由结论倒推需要得出解题答案的条件,倒推过程中会发现解题需要的充分条件都在已知条件中,分析法可以帮助学生认识到解题过程是可逆的,有助于学生逆向思维能力的培养[17].②反证法.反证法就是利用已知条件推理论断来证明命题的相反面不成立,从而证明命题成立,反证法属于间接求证的方法,数学中的很多命题从正面得出结论是非常难的,这时一般都会采用反证法,加强学生对反证法应用的锻炼,有助于开发学生的逆向思维、拓展学生的思维深度和广度.③举反例法.在解决数学问题时,若要证明某个命题的错误,除直接证明外,还可以采用举反例证明的方法,即找出一个符合命题的条件,但是在该条件下命题结论不成立的例子,这样就能证明这个命题是错误的.举反例法需要学生从逆向来看待问题,解决问题,因此,加强学生举反例的训练,也可以极大的提高和开发学生的逆向思维能力.
4一元一次不等式在中学数学中的重要地位
一元一次不等式是学生阶段接触的最早的关于含有未知量的不等式,在整个中学数学中起到桥梁的作用,它既是一个基础的知识点,为以后学习多元多次不等式打好基础,又是一种思维训练的知识.从一元一次不等式的解法中我们会发现很多数学中的解题思想,在学好知识点的同时,真正的掌握数学中的解题思想才是整个数学学习过程中最为重要的部分,而一元一次不等式在这之中起着承前启后的作用,显得尤为重要.
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致谢
在本次论文设计过程中,感谢我的学校齐鲁师范学院,给了我学习的机会,在学习中,刘昆仑老师从选题指导、论文框架到细节修改,都给予了细致的指导,提出了很多宝贵的意见与建议。
感谢所有授我以业的老师,没有这些年知识的积淀,我没有这么大的动力和信心完成这篇论文。
感恩之余,诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正,使我及时完善论文的不足之处。
三年寒窗,所收获的不仅仅是愈加丰厚的知识,更重要的是在阅读、实践中所培养的思维方式、表达能力和广阔视野。
很庆幸这三年来我遇到了如此多的良师益友,无论在学习上、生活上,还是工作上,都给予了我无私的帮助和热心的照顾,让我在一个充满温馨的环境中度过三年的大学生活。
感恩之情难以用言语量度,谨以最朴实的话语致以最崇高的敬意。
谨以此致谢!
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