最新平面向量数量积的坐标表示.docx
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最新平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
平面向量的数乘运算的坐标运算
一、知识精讲
1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ.
数量积
两个向量的数量积等于它们的和，即a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直
a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0
2．三个重要公式
[小问题·大思维]
1．已知向量a＝（x，y），与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？
提示：
∵a0＝±
＝±
（x，y），
∴a0＝（－
，－
）
或a0＝（
，
）．
2．向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？
提示：
向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ（θ为向量a与b的夹角），而cosθ＝
，
∴|a|cosθ＝
＝
.
二、典例精析
例1、已知向量a＝（1,3），b＝（2,5），c＝（2,1），求：
（1）2a·（b－a）；
（2）（a＋2b）·c.
[自主解答] 法一：
（1）∵2a＝2（1,3）＝（2,6），
b－a＝（2,5）－（1,3）＝（1,2），
∴2a·（b－a）＝（2,6）·（1,2）
＝2×1＋6×2＝14.
（2）∵a＋2b＝（1,3）＋2（2,5）
＝（1,3）＋（4,10）＝（5,13），
∴（a＋2b）·c＝（5,13）·（2,1）
＝5×2＋13×1＝23.
法二：
（1）2a·（b－a）
＝2a·b－2a2
＝2（1×2＋3×5）－2（1＋9）
＝14.
（2）（a＋2b）·c
＝a·c＋2b·c
＝1×2＋3×1＋2（2×2＋5×1）
＝23.
本例条件中“c＝（2,1）”若变为“c＝（2，k）”，且“（a－c）⊥b”，求k.
解：
∵a＝（1,3），c＝（2，k），
∴a－c＝（－1,3－k），
又（a－c）⊥b，∴－1×2＋（3－k）×5＝0，
∴k＝
.
变式训练
若向量a＝（4，－3），|b|＝1，且a·b＝5，求向量b.
例2、平面直角坐标系xOy中，O是原点（如图）．已知点A（16,12）、B（－5,15）．
（1）求|«SkipRecordIf...»|，|«SkipRecordIf...»|；
（2）求∠OAB.
变式练习
已知a，b为平面向量，a＝（4,3），2a＋b＝（3,18），则a，b的夹角θ的余弦值等于（ ）
A.
B．－
C.
D．－
答案：
C
例3、已知△ABC中，A（2，－1），B（3,2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，如图，求D点及«SkipRecordIf...»的坐标．
变式练习
设a＝（m＋1，－3），b＝（1，m－1），若（a＋b）⊥（a－b），求m的值．
解：
法一：
∵a＋b＝（m＋2，m－4），a－b＝（m，－m－2），
又（a＋b）⊥（a－b），∴（a＋b）·（a－b）＝0，
即（m＋2，m－4）·（m，－m－2）＝0.
∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2.
法二：
∵（a＋b）⊥（a－b），
∴（a＋b）·（a－b）＝0，a2＝b2，
则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.
解题高手
已知向量a＝（
，－1）和b＝（1，
），若a·c＝b·c，试求模为
的向量c的坐标．
三、课后检测
一、选择题
1．（2012·辽宁高考）已知向量a＝（1，－1），b＝（2，x）．若a·b＝1，则x＝（ ）
A．－1 B．－
C.
D．1
解析：
由a＝（1，－1），b＝（2，x）可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.
答案：
D
2．已知点A（－1,0）、B（1,3），向量a＝（2k－1,2），若«SkipRecordIf...»⊥a，则实数k的值为（ ）
A．－2B．－1
C．1D．2
解析：
«SkipRecordIf...»＝（2,3），a＝（2k－1,2），由«SkipRecordIf...»⊥a得2×（2k－1）＋6＝0，解得k＝－1.
答案：
B
3．已知向量«SkipRecordIf...»＝（2,2），«SkipRecordIf...»＝（4,1），在x轴上有一点P，使«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»有最小值，则点P的坐标是（ ）
A．（－3,0）B．（2,0）
C．（3,0）D．（4,0）
解析：
设P（x,0），则«SkipRecordIf...»＝（x－2，－2），
«SkipRecordIf...»＝（x－4，－1），
∴«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»＝（x－2）（x－4）＋2
＝x2－6x＋10＝（x－3）2＋1，
故当x＝3时，«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»最小，此时P（3,0）．
答案：
C
4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若«SkipRecordIf...»＝（2,4），«SkipRecordIf...»＝（1,3），则«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»等于（ ）
A．6B．8
C．－8D．－6
解析：
如图，«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»＝（1,3）－（2,4）＝（－1，－1），
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»＝（－1，－1）－（2,4）＝（－3，－5），
则«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»＝（－1）×（－3）＋（－1）×（－5）＝8.
答案：
B
二、填空题
5．已知向量a＝（3,4），b＝（2，－1），如果向量a＋xb与－b垂直，则实数x的值为________．
解析：
∵向量a＋xb与－b垂直，
∴（a＋xb）·（－b）＝－a·b－xb2＝－2－5x＝0，
∴x＝－
.
答案：
－
6．已知A（1,2），B（3,4），|n|＝
，则|«SkipRecordIf...»·n|的最大值为________．
解析：
«SkipRecordIf...»＝（2,2），|«SkipRecordIf...»|＝2
，|«SkipRecordIf...»·n|≤|«SkipRecordIf...»||n|＝4，当且仅当«SkipRecordIf...»与n共线且同向时取等号．
答案：
4
7．向量«SkipRecordIf...»＝（4，－3），向量«SkipRecordIf...»＝（2，－4），则△ABC的形状为________．
解析：
«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»＝（2，－4）－（4，－3）＝（－2，－1），而«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»＝（－2，－1）·（2，－4）＝0，所以«SkipRecordIf...»⊥«SkipRecordIf...»，
又|«SkipRecordIf...»|≠|«SkipRecordIf...»|，所以△ABC是直角非等腰三角形．
答案：
直角三角形
8．若将向量a＝（2,1）围绕原点按逆时针方向旋转
得到向量b，则向量b的坐标为________．
解析：
设b＝（x，y），由已知条件得
|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°.
∴
解得
或
∵向量a按逆时针旋转
后，向量对应的点在第一象限，∴x>0，y>0，∴b＝
.
答案：
三、解答题
9．已知在△ABC中，A（2,4），B（－1，－2），C（4,3），BC边上的高为AD.
（1）求证：
AB⊥AC；
（2）求向量«SkipRecordIf...»；
（3）求证：
AD2＝BD·CD.
解：
（1）∵«SkipRecordIf...»＝（－1，－2）－（2,4）＝（－3，－6），
«SkipRecordIf...»＝（4,3）－（2,4）＝（2，－1），
«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»＝－3×2＋（－6）×（－1）＝0，
∴AB⊥AC.
（2）«SkipRecordIf...»＝（4,3）－（－1，－2）＝（5,5）．
设«SkipRecordIf...»＝λ«SkipRecordIf...»＝（5λ，5λ）
则«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»＋«SkipRecordIf...»
＝（－3，－6）＋（5λ，5λ）
＝（5λ－3,5λ－6），
由AD⊥BC得5（5λ－3）＋5（5λ－6）＝0，解得λ＝
，
∴«SkipRecordIf...»＝（
，－
）．
（3）证明：
«SkipRecordIf...»＝
＋
＝
，
|«SkipRecordIf...»|＝
＝
，
|«SkipRecordIf...»|＝5
，|«SkipRecordIf...»|＝|«SkipRecordIf...»|－|«SkipRecordIf...»|＝
.
∴|«SkipRecordIf...»|2＝|«SkipRecordIf...»|·|«SkipRecordIf...»|，即AD2＝BD·CD.
10．平面内有向量«SkipRecordIf...»＝（1,7），«SkipRecordIf...»＝（5,1），«SkipRecordIf...»＝（2,1），点M为直线OP上的一动点．
（1）当«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»取最小值时，求«SkipRecordIf...»的坐标；
（2）在
（1）的条件下，求cos∠AMB的值．
解：
（1）设«SkipRecordIf...»＝（x，y），∵点M在直线OP上，
∴向量«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»共线，又«SkipRecordIf...»＝（2,1）．
∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.
∴«SkipRecordIf...»＝（2y，y）．又«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»＝（1,7），
∴«SkipRecordIf...»＝（1－2y,7－y）．
同理«SkipRecordIf...»＝«SkipRecordIf...»－«SkipRecordIf...»＝（5－2y,1－y）．
于是«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»＝（1－2y）（5－2y）＋（7－y）（1－y）＝5y2－20y＋12.
可知当y＝
＝2时，«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»有最小值－8，此时«SkipRecordIf...»＝（4,2）．
（2）当«SkipRecordIf...»＝（4,2），即y＝2时，
有«SkipRecordIf...»＝（－3,5），«SkipRecordIf...»＝（1，－1），
|«SkipRecordIf...»|＝
，|«SkipRecordIf...»|＝
，
«SkipRecordIf...»·«SkipRecordIf...»＝（－3）×1＋5×（－1）＝－8.
cos∠AMB＝
＝
＝－
.
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