学而思三年级竞赛班(第四讲和差倍).pdf

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三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.1第四讲：

和差倍问题第四讲：

和差倍问题基本功1、基本功1、会画线段图会画线段图2、熟练运用倍数关系熟练运用倍数关系一倍数=几倍数倍数几倍数=一倍数倍数一般解题步骤1、画线段图一般解题步骤1、画线段图（先画倍数关系，再标明数量）2、求一倍数2、求一倍数（数量与倍对应好才能相除！

）3、根据题目要求求相应的解一、和倍问题（知道几个数的倍数关系以及这几个数的和，求这几个数各是多少的问题）

（一）整倍型例3、根据题目要求求相应的解一、和倍问题（知道几个数的倍数关系以及这几个数的和，求这几个数各是多少的问题）

（一）整倍型例果园里有梨树和苹果树共324棵，苹果树的棵树是梨树的5倍，苹果树比梨树多多少棵？

解析：

解析：

1、画出线段图2、求一倍数324（1+5）=54（棵）324棵对应的是6倍数3、求解苹果树棵树：

545=270（棵）比梨树多：

270-54=216（棵）或者苹果树比梨树多（5-1）倍，故54（5-1）=216（棵）

（二）非整倍型思路：

先转化成整倍问题方法：

“多”的减去，“少”的加上（多退少补）例2

（二）非整倍型思路：

先转化成整倍问题方法：

“多”的减去，“少”的加上（多退少补）例2商店运来桔子、苹果、香蕉共53千克，桔子的重量是苹果的3倍少3千克，香蕉的重量是苹果的2倍多2千克，桔子重多少千克？

解析解析：

苹果是1倍数，画出线段图看图可知，根据“多”的减去，“少”的加上“多”的减去，“少”的加上的原则，53加上3，减去2，则是一个整倍数。

苹果苹果桔子桔子53香蕉香蕉3倍数少3多22倍数梨树梨树苹果树苹果树324棵棵三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.2计算一倍数：

（53+3-2）（1+3+2）=9（千克）桔子：

93-3=24（千克）例3略（方法同例2）（三）暗和注意：

移来移去，总量不变例1例3略（方法同例2）（三）暗和注意：

移来移去，总量不变例1傻哥哥有书25本，笨弟弟有书20本，问傻哥哥给笨弟弟多少本书后，笨弟弟的书是傻哥哥的书的2倍？

解析解析：

题目里的倍数关系是哥哥给完弟弟书后的情况，所以根据该关系画出的线段图是“移”完之后的。

但不管怎么移，总的图书量不变，都是25+20=45（本）计算一倍数，即哥哥现在的图书量：

（25+20）（1+2）=15（本）哥哥给弟弟的图书量：

25-15=10（本）（四）暗倍注意：

数字问题中，末尾添一个0即为原来的10倍例4（四）暗倍注意：

数字问题中，末尾添一个0即为原来的10倍例4两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数，求两个加数各是多少。

解析：

解析：

大数把个位的0去掉，即是10，得到小数，那么可知大数是小数的10倍，那么和应该就是（1+10）=11倍一倍数（小数）：

682（1+10）=62大数：

6210=620（五）一倍数统一（选最小的当一倍数）例（五）一倍数统一（选最小的当一倍数）例红、黄、蓝三个盒子共有56个珠子，红盒子里的珠子是黄盒子的2倍，蓝盒子里的珠子是红盒子的2倍，三个盒子各有多少个珠子？

解析：

解析：

1、画线段图。

画三个数之间的倍数关系时，选取最小的作为一倍数。

2、计算一倍数黄盒子：

56（1+2+22）=8（个）红：

82=16（个）蓝：

162=32（个）黄黄红红56蓝蓝哥哥哥哥弟弟弟弟45三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.3例7例7甲乙丙三个数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2，求甲乙丙三个数各是多少？

解析解析：

先找倍数关系画线段图，丙最小，丙为1倍数，画出图形如下：

注意：

甲是乙的2倍多4，因为乙不是丙的整倍数，所以不容易直接画出甲与丙的倍数关系，建议照上图这样，将甲分段画，画为2个乙和一个2，就容易看出与丙的倍数关系了。

丙：

（78-4+23）（1+3+32）=8乙：

83-2=22甲：

222+4=48小窍门：

对于代数思想好的同学，还可以这样思考。

乙是丙的3倍少2，如果丙是a，那么乙是“3a-2”乙是“3a-2”；甲是乙的2倍多4，即甲是2（3a-2）+4=6a-4+4=6a。

（六）各自变化后相等注意：

画图时运用倒推思想家庭作业4（六）各自变化后相等注意：

画图时运用倒推思想家庭作业4某学校计划栽种杨树、柳树和槐树共200棵，当种了一半的杨树和10棵柳树之后，又临时运来了6棵槐树，这时剩下的三种树的棵树恰好相等，问原计划栽种这三种树各多少棵？

解析：

先找倍数关系画图，相等也是一种倍数关系（1倍）。

再倒推回原来各自的情况。

计算：

200-10+6=196（棵）一倍数：

196（2+1+1）=49（棵）杨树：

492=98（棵）柳树：

49+10=59（棵）槐树：

49-6=43（棵）二、差倍问题（知道两个数的倍数关系以及这两个数的差，求这两个数各是多少的问题）

（一）整倍型例6二、差倍问题（知道两个数的倍数关系以及这两个数的差，求这两个数各是多少的问题）

（一）整倍型例6甲乙两筐梨，甲筐比乙筐重48千克，甲筐每天可以卖出的数量是乙筐的2倍，4天后两筐梨的重量一样多，甲筐每天卖出多少梨。

解析解析：

甲筐原比乙筐重48千克，4天后一样重，说明这4天甲筐比乙筐多卖了48千克。

杨树柳树杨树柳树槐树槐树106杨树杨树柳树柳树槐树槐树丙丙乙乙782甲甲422200甲甲48乙乙卖出三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.4甲每天卖的都是乙的2倍，那么4天卖出的总和也是乙的2倍，那么多卖的48对应的就是（2-1）=1倍甲共卖出：

782=96（千克）甲每天卖：

964=24（千克）

（二）非整倍型略思路：

先转化成整倍问题方法：

“多”的减去，“少”的加上（多退少补）（三）暗差

（二）非整倍型略思路：

先转化成整倍问题方法：

“多”的减去，“少”的加上（多退少补）（三）暗差提示：

在未直接告诉差的差倍问题中，可以先画草图，把差找到（熟练之后不用草图也能直接算出差），再把差“搬”到对应的倍数关系图上，就一目了然了。

这里把经常出现的暗差情形小结一下：

1、两数经过同样变化，差不变这里把经常出现的暗差情形小结一下：

1、两数经过同样变化，差不变联想年龄问题，因为两人同时长大相同的岁数，所以两人的年龄差永远不变练练大桶里有油60千克，小桶里有油30千克，将两个桶的油卖出同样多以后，所剩下的油中，大桶是小桶的4倍，问两个桶各剩油多少千克？

解析解析：

草图找差容易看出，原来与卖出后两个桶的差不变，差是60-30=30（千克）搬到这时这时的倍数图上计算一倍数，即小桶现在剩下的：

30（4-1）=10（千克）大桶剩下：

104=40（千克）2、开始相等倍数关系找差：

反向变化用加法同向变化用减法练2、开始相等倍数关系找差：

反向变化用加法同向变化用减法练有两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米，这时第二块长度是第一块长的4倍，这两块电线原来各长多少米？

解析解析：

计算差（草图略）31-19=12（米）同向变化用减法这时的倍数关系图计算一倍数，即第一块现在剩下的米数：

12（4-1）=4（米）各自变化后第一块第一块第二块第二块12小桶小桶大桶大桶6030卖出卖出大桶大桶30小桶小桶三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.5两块布原来的长度：

4+31=35（米）练练有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，这两根绳子原来各长多少米？

解析解析：

草图找差容易看出，差是12+14=26（米）即反向变化用加法搬到这时这时的倍数图上计算一倍数，即第一根现在剩下的米数：

26（3-1）=13（米）两根绳子原来的长度：

13+12=25（米）3、开始倍数关系相等找差：

反向变化用加法同向变化用减法练3、开始倍数关系相等找差：

反向变化用加法同向变化用减法练甲、乙两人存款若干元，甲存款是乙存款的3倍，如果甲取出80元，乙存入20元，甲乙的存款正好相等，甲乙二人原来各存款多少元？

解析：

解析：

图略（你能自己画出来吗）计算差（即甲原来比乙多多少元）：

80+20=100（元）甲是乙的3倍，差对应的就是3-1=2倍计算1倍数，即乙原来的存款：

100（3-1）=50（元）甲原来的存款：

503=150（元）学案4学案4两个筐中各有一些苹果，第一个筐中的苹果是第二筐中的苹果的4倍，如果从第一个筐中取出26千克，从第二个筐中取出2千克，则两筐苹果重量相等，你知道这两个筐中原来各有苹果多少千克吗？

解析解析：

图略（你能自己画出来吗）计算差（即第一筐比第二筐原来多多少千克）：

26-2=24（千克）第一筐是第二筐的4倍，差对应的就是4-1=3倍计算1倍数，即第二筐原来的苹果：

24（4-1）=8（千克）第一筐原来的苹果：

84=32（千克）4、移多补少型核心思想：

“给”一半，“多”两倍4、移多补少型核心思想：

“给”一半，“多”两倍（给1个，会相差2个）例5例5李师傅生产了一批零件，把它们分成了甲、乙两堆，如果从甲堆零件中拿15个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，如果从乙堆零件中拿15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数各自变化后第一根第一根第二根第二根原来1412第一根第一根第二根第二根26三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.6是乙堆的3倍，那么甲堆原来有零件多少个？

李师傅一共生产了多少个？

解析：

解析：

如果从甲堆零件中拿15个放到乙堆中，则两堆零件个数相等，说明甲堆比乙堆多152=30个，甲堆比乙堆多152=30个，如果从乙堆零件中拿15个放到甲堆中，这时这时两堆的差：

152+30=60给15，就相差30，再加上原来还多的30这时这时的倍数关系是：

甲是乙的3倍，将差搬到倍数关系图上，得到找1倍数，即乙现在个数：

60（3-1）=30（个）甲现在：

303=90（个）甲原来：

90-15=75（个）共生产：

30+90=120（个）三、和差问题公式三、和差问题公式大数=（和+差）2小数=（和-差）2例8大数=（和+差）2小数=（和-差）2例8有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生与全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手，第3个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生只与7个男生握过手，问这些学生中有多少名男生？

解析解析：

本题题目比较难懂，对于这种题，可以想象场景，帮助自己理解题意。

题目说“第一个到会的女生与全部男生握过手，第二个到会的女生只差一个男生没握过手”，为什么第二个女生还差一个男生没握呢，那个男生去哪里了呢？

于是我们想象，这是一间教室，里面本来全是男生，第一个女生进来和所有的男生都握了手，然后就和其中一个男生跳舞去了，这样第二个女生进来时就少了一个男生，所以她就差一个男生没握过手。

同样，第二个女生和剩下的男生握手之后也和其中一个男生跳舞去了，所以第3个女生就差2个男生没握手最后一个女生进来时，只有7个男生了，所以她只和7个男生握过手，她也和其中一个男生跳舞去了。

最后就剩下6个男生。

那不就说明男生比女生多6个吗？

原来这个题是和差问题呀！

和是50，差是6，相信孩子们就都能做了。

列式：

男生（50+6）2=28（人）女生（50-6）2=22（人）学案2学案2小刚和小明各有一定数量的玻璃珠，小刚比小明多21个，如果小刚送给小明几个玻璃珠后，小明的玻璃珠反而比小刚多出5个，那么小刚到底送给小明几个玻璃珠？

解析解析：

法一，移多补少里我们学过如果甲比乙多8个，要使两人一样多，则甲要把多出来的8个平均分，即给乙4个。

本题有些不一样，但思想是一样的，即要把小刚多出来的平均分，但注意“多”出来的是21+5=26个。

小明小刚乙乙甲甲60乙乙甲甲301515215三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.721+5最后要达到小明比小刚多5个的要求，就需要小刚把比小明多的21个拿出来后，还要拿5个出来，即一共拿26个出来平均分，所以给：

（21+5）2=13（个）法二，小刚多出来的部分要分成两份，一份给小明，一份留给小刚。

这两份和是21，差是5，就是一个和差问题了，同学们自己写算式吧。

补充：

倍数变化型

（一）移来移去倍变型（总和不变）方法：

总和不变，找公倍数画图学案3补充：

倍数变化型

（一）移来移去倍变型（总和不变）方法：

总和不变，找公倍数画图学案3小红和小静都喜欢集邮，如果小静给小红7张邮票，小静的邮票数量就是小红的3倍，如果小红给小静5张邮票，小静的邮票数量就是小静的5倍，问原来小红和小静各有多少张邮票？

解析解析：

“如果小静给小红7张邮票，小静的邮票数量就是小红的3倍”，说明总数是个4倍数，“如果小红给小静5张邮票，小静的邮票数量就是小静的5倍”，说明总数是个6倍数。

那么总数一定是12的倍数。

不妨将总数分为12份。

小静给小红7张，小红就有3份，小静就有9份，小红给小静5张，小红就有2份，小静就有10份，两次小红相差7+5=12（张），这12张对应的是（3-2）=1份，那么小红原有邮票212+5=29（张），小静原有129+7=115（张）

（二）增减数后倍变型方法：

（1）“拆”倍法

（2）“补”倍法例

（二）增减数后倍变型方法：

（1）“拆”倍法

（2）“补”倍法例小静的邮票是小红邮票的6倍，小红又了收集12张邮票，小静又收集了8张，这时小静的邮票是小红的4倍，问原来她们各有多少邮票？

解析：

方法一（拆倍）解析：

方法一（拆倍）如图，黑色线段表示最初的倍数关系：

小静是小红的6倍，增加了红色的线段表示增加的情况，这时小静是小红的4倍。

那就“拆”着去找这个4倍关系。

可知1条黑线段等于（124-8）（6-4）=20（张），这就是小红原来的邮票张数小静原有：

206=120（张）小红小红小静小静1281条黑线段的条黑线段的4倍倍第一个第一个如果如果10份份第二个第二个如果如果2份份3份份9份份两人真实数量分界点两人真实数量分界点12的的4倍倍三年级竞赛2010秋季第四讲和差倍程雪三年级竞赛秋季班（五级下）三年级竞赛秋季班（五级下）4.8方法二（补倍）方法二（补倍）如图，如果小静还想是小红的6倍，需要增加126=72（张），实际小静只增加了8张，需要补72-8=64（张）。

从图示可知，补的这64张对应的是小红现在的6-4=2倍数。

即可求解。

补：

126-8=64（张）小红增加后的邮票：

64（6-4）=32（张）小红原有邮票：

32-12=20（张）小静原有邮票：

206=120（张）小红小红小静小静128小红增加后的小红增加后的4倍倍64小红增加后的小红增加后的2倍倍