小学六年级比例讲解与运算.doc

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比例2013-3-17

一、知识要点

1、基本概念

（1）两个数相除，又叫做这两个数的比，“：

”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。

比的后项不能为0。

（2）分数的基本性质：

分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），

分数的大小不变。

乘积是1的两个数互为倒数。

1的倒数是1，0没有倒数。

（3）商不变的规律：

在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。

（4）比的基本性质：

比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。

（5）小数的性质：

在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

（6）公因数只有1的两个数叫做互质数。

（5~7,7~9,8~9）

最简整数比：

比的前项和后项是互质数。

（7）比的化简：

用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。

（8）比例：

①表示两个比相等的式子叫做比例。

如：

（3：

4=9：

12）。

比例有四个项，分别是两个内项和两个外项。

在3：

4=9：

12中，其中3与12叫做比例的外项，4与9叫做比例的内项。

比例的四个数均不能为0。

（9）比例的基本性质：

在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。

（10）比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。

2、正比例：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．

引：

什么是变化的量？

生活中存着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。

（1）用字母表示：

如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：

x/y=k（一定）

（2）正比例关系两种相关联的量的变化规律：

同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：

汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

（3）正比例的意义：

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。

如果用字母x和Y表示两种相关联的量，用字母K表示它们的比值（一定），正比例的关系可以表示为：

X÷Y=K（一定）还可表示为：

X=KY。

正比例关系两种相关联的量的变化规律：

同时扩大，同时缩小，比值不变．

路程

例如：

=速度

时间

速度×时间=路程

路程

=时间

速度

当速度一定时，路程和时间成正比例关系

当路程一定时，速度和时间成反比例关系

当时间一定时，路程和速度成正比例关系

3、反比例：

两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．

（1）用字母表示：

两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是：

xy=k（一定）

（2）反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．例：

图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例．因为实际距离×比例尺=图上距离。

所以，实际距离和比例尺成反比例．

（3）反比例意义：

两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．用字母表示：

两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是：

xy=k（一定）反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．

4、正比例和反比例的比较

相同点：

两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．

不同点：

两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定．两种量成反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小。

一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是这两种量中，相对应的两个数积不变。

共同点

不同点

正比例

两种量相关联，一种量变化，另一种量也随着变化。

两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定

即Y/X=R（一定）

反比例

两种量中相对应的两个数的积一定

即XY=R（一定）

5、比例尺

（1）比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，也叫缩尺。

公式为：

比例尺=图上距离/实地距离。

比例尺有三种表示方法:

数字式，线段式，和文字式。

三种表示方法可以互换。

根据地图的用途，所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。

在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度越低。

（如兰州地图与中国地图比较）

（2）比例尺的表现方式：

①数字式：

用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。

例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：

1∶50,000,000或写成：

1/50,000,000。

②线段式：

在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。

③文字式：

在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：

图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。

二、练习

1、求比值

14：

0.72：

13：

2

2、化简比

7：

0.2412.6：

0.4：

1

3、解比例

25:

7=X:

35         514:

35=57:

x        23:

X=12：

14

X∶0.75=81∶25X：

1＝：

1.5：

＝：

X

5：

0.4＝2：

X2.8：

＝0.7：

X＝

4、填空

1.甲乙两数的比是11:

9,甲数占甲、乙两数和的，乙数占甲、乙两数和的。

甲、乙两数的比是3:

2，甲数是乙数的（）倍，乙数是甲数的。

2.某班男生人数与女生人数的比是，女生人数与男生人数的比是（），男生人数和女生人数的比是（）。

女生人数是总人数的比是（）。

3.一本书，小明计划每天看，这本书计划（）看完。

4.一根绳长2米，把它平均剪成5段，每段长是米，每段是这根绳子的。

5.王老师用180张纸订5本本子，用纸的张数和所订的本子数的比是（），这个比的比值的意义是（）。

6.一个正方形的周长是米，它的面积是（）平方米。

7.吨大豆可榨油吨，1吨大豆可榨油（）吨，要榨1吨油需大豆（）吨。

8.甲数的等于乙数的，甲数与乙数的比是（）。

9.把甲数的给乙，甲、乙两数相等，甲数是乙数的，甲数比乙数多。

10.甲数比乙数多，甲数与乙数比是（）。

乙数比甲数少。

11.在6：

5= 1.2中，6是比的（   ），5是比的（   ），1.2是比的（   ）。

在4：

7=48：

84中，4和84是比例的（   ），7和48是比例的（   ）。

12.4：

5=24÷（   ）= （ ）：

15

13.一种盐水是由盐和水按1：

30的重量配制而成的。

其中，盐的重量占盐水的（—），水的重量占盐水的（—）。

图上距离3厘米表示实际距离180千米，这幅图的比例尺是（       ）。

一幅地图的比例尺是图上6厘米表示实际距离（   ）千米。

实际距离150千米在图上要画（   ）厘米。

14.12的约数有（           ），选择其中的四个约数，把它们组成一个比例是（     ）。

写出两个比值是8的比（     ）、（     ）。

15.加工零件的总个数一定，每小时加工的零件个数的加工的时间（     ）比例；订数学书的本数与所需要的钱数（   ）比例；加工零件的总个数一定，已经加工的零件和没有加工的零件个数（       ）比例。

16.如果x÷y= 712×2，那么x和y成（   ）比例；如果x:

4=5:

y，那么x和y成（  ）比例。

5、应用题

1.建筑工人用水泥、沙子、石子按2：

3：

5配制成96吨的混凝土，需要水泥、沙子、石子各多少吨？

2.一个县共有拖拉机550台，其中大型拖拉机台数和手扶拖拉机台数的比是3：

8，这两种拖拉机各有多少台？

3（正）一个晒盐场100克海水可以晒出3克盐如果一块盐田一次放入585000吨海水可以晒出多少吨盐？

4（正）一辆车去时每小时行60千米6.5小时到达目的地回来时每小时行78千米多长时间能够返回出发点？

5（反）修一条水渠每天工作6小时12天可以完成如果工作效率不变每天工作8小时多少天可以完成任务？

6（反）学校举行团体操表演如果每列25人要排24列如果每列20人要排多少列？

讲义：

比和比例的应用

（1）、分数形式

这种形式的题目是它把比写成分数形式，这样迷惑学生。

例、六

（1）班有50人其中女生是男生的2/3，男生和女生各多少人?

解析：

=2﹕3，把分数改写成比的形式，就很容易“按比例分配”了。

=2﹕3

2+3=5

500×=20（人）

500×=30（人）

法二：

设男生有x人，则女生有x人，根据题意：

x+x=50

x=50

x=30

50-30=20（人）

（2）、总量不明显

这种题目是待分配的总量不明显，需要先求出总量。

例、甲乙丙三人共同生产100个零件，甲完成了三成，乙和丙完成的数量比是2:

5，乙和丙各完成多少个?

解析：

现已知乙丙完成的数量之比，只要找到他们两个完成的总数，就很容易“按比例分配”了。

100×（1-）=70（个）

2+5=7

70×=20（个）

70×=50（个）

（3）、比不明显

在这种形式的题目中，几个项的比不明显，只有先找到几个项的比，才能够“按比例分配”。

例、一个车间有职工70人，男职工比女职工少25%，男职工和女职工各有多少人？

解析：

在本题中，只要我们找到男职工和女职工的数量之比，就很容易“按比例分配”求出男职工和女职工各有多少人了。

我们先把女职工看做单位“1”，那么，男职工就可以表示为1-25%。

1-25%=75%=

﹕1=3﹕4

3+4=7

70×=30（人）

70×=40（人）

再如，一批零件共200个，由甲乙丙三个工人生产，甲乙两人生产的零件数之比是3﹕4,甲比丙多生产30个，他们三人各生产多少个？

解析：

甲比丙多生产30个，如果丙再生产30个，则他生产的零件数就和甲的一样多。

这样，在总数上加上30个，就容易“按比例分配”了。

3+4+3=10

（200+30）×=69（个）——甲

（200+30）×=92（个）——乙

69-30=39（个）——丙

（4）、已知比的某一项的具体量，求另一项的具体量

这种题型是已知两个量的比，并且知道比的前项或后项的具体量，求另一项的具体量。

例、小红读一本故事书，已读的和未读的页数的比是2﹕7，已经读了24页，还剩下多少页？

解析：

已经读了24页，站2份，就可以先求出每份是多少页。

24÷2=12（页）

12×7=84（页）

（5）、需要合并比

在一些题目中，已知几个量的某几项的比，但这些比是分离的，则需要把几个比合并为一个比。

例、一段公路长340千米，由甲、乙、丙三个工程队修，甲工程队与乙工程队完成的长度之比是2﹕3，甲工程队完成的是丙的，甲、乙、丙三个工程队各完成多少千米？

解析：

在本题中，我们知道甲、乙两个工程队完成的长度之比，同时知道甲、丙两个工程队完成的长度之比，如果把这两个比合并为一个比，就很容易“按比例分配”了。

=4﹕7

2﹕3=4﹕6

甲﹕乙﹕丙=4﹕6﹕7

4+6+7=17

甲：

340×=80（千米）

乙：

340×=120（千米）

丙：

340×=140（千米）