安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)有答案.doc
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2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
2．已知A=[1，+∞），，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B． C． D．（1，+∞）
3．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．7
4．若输入n=4，执行如图所示的程序框图，输出的s=（ ）
A．10 B．16 C．20 D．35
5．若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B． C． D．
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，S6=3，则S10=（ ）
A． B．0 C．﹣10 D．﹣15
7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．28 D．
8．对函数f（x），如果存在x0≠0使得f（x0）=﹣f（﹣x0），则称（x0，f（x0））与（﹣x0，f（﹣x0））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=ex﹣a（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．[1，+∞）
9．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条
10．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=（ ）
A．3 B． C． D．4
11．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（ ）
A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6]
12．已知函数f（x）=xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（0，e） C． D．（﹣∞，e）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等比数列{an}满足an＞0，且a2a8=4，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9= ．
14．不共线向量，满足，且，则与的夹角为 ．
15．在的展开式中，常数项为 ．
16．已知关于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知，，函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．
18．某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；
（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
女生
合计
附：
，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上．
（Ⅰ）求证：
BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
20．如图，抛物线E：
y2=2px（p＞0）与圆O：
x2+y2=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．
21．已知f（x）=ln（x+m）﹣mx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m＞1，x1，x2为函数f（x）的两个零点，求证：
x1+x2＜0．
[选修4-4：
坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）求出圆C的直角坐标方程；
（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：
y=2x关于点M（0，m）（m≠0）对称的直线为l'．若直线l'上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值．
[选修4-5：
不等式选讲]
23．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若当x∈[0，1]时，不等式f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．
2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．i为虚数单位，若复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，则实数m=（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．2
【考点】复数的基本概念．
【分析】先求出（1+mi）（i+2）=2﹣m+（2m+1）i，再由复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，能求出实数m．
【解答】解：
i为虚数单位，
（1+mi）（i+2）=2﹣m+（2m+1）i，
∵复数（1+mi）（i+2）是纯虚数，
∴，
∴实数m=2．
故选：
D．
2．已知A=[1，+∞），，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B． C． D．（1，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】根据A与B的交集不为空集，求出a的范围即可．
【解答】解：
A=[1，+∞），，且A∩B≠∅，
∴2a﹣1≥1，
∴a≥1，
故选：
A．
3．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣2y的最小值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．7
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：
画出不等式组件，表示的可行域，由图可知，
当直线y=x﹣，过A点（3，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为3﹣2×1=1．
故选：
B．
4．若输入n=4，执行如图所示的程序框图，输出的s=（ ）
A．10 B．16 C．20 D．35
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=5时不满足条件i≤n，退出循环，输出S的值．
【解答】解：
模拟执行程序框图，可得
S=4，i=2，
满足条件i=2≤4，S=10，i=3，
满足条件i=3≤4，S=16，i=4，
满足条件i=4≤4，S=20，i=5
不满足条件i=5≤5，输出S=20，
故选：
C．
5．若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的离心率可得c=a，进而结合双曲线的几何性质可得b=a，再结合焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程可得答案．
【解答】解：
根据题意，该双曲线的离心率为，即e==，
则有c=a，
进而b==a，
又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y=±x；
故选：
B．
6．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，S6=3，则S10=（ ）
A． B．0 C．﹣10 D．﹣15
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S10的值．
【解答】解：
∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，S6=3，
∴，
解得a1=3，d=﹣1，
∴S10=10×3+=﹣15．
故选：
D．
7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C．28 D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为2的等腰直角三角形，下底面为直角边长为4的等腰直角三角形，高为2，即可求出体积．
【解答】解：
由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为2的等腰直角三角形，下底面为直角边长为4的等腰直角三角形，高为2，体积为=，
故选A．
8．对函数f（x），如果存在x0≠0使得f（x0）=﹣f（﹣x0），则称（x0，f（x0））与（﹣x0，f（﹣x0））为函数图象的一组奇对称点．若f（x）=ex﹣a（e为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（e，+∞） D．[1，+∞）
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】由方程f（x）=﹣f（﹣x）有非零解可得e2x﹣2aex+1=0有非零解，令ex=t，则关于t的方程t2﹣2at+1=0有不等于1的正数解，利用二次函数的性质列出不等式组解出a的范围．
【解答】解：
∵f（x）=ex﹣a存在奇对称点，
∴f（x）=﹣f（﹣x）有非零解，
即ex﹣a=a﹣e﹣x有非零解，∴e2x﹣2aex+1=0有非零解．
设ex=t，则关于t的方程t2﹣2at+1=0在（0，1）∪（1，+∞）上有解；
∴，解得a≥1．
若t=1为方程t2﹣2at+1=0的解，则2﹣2a=0，即a=1，此时方程只有一解t=1，不符合题意；
∴a≠1．
综上，a＞1．
故选B．
9．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】利用已知条件，通过直线与平面平行的性质、判定定理，证明CD∥平面EFGH，AB∥平面EFGH，得到结果．
【解答】解：
如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GF，
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，
∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，
故选C．
10．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则Eξ=（ ）
A．3 B． C． D．4
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】由题意知ξ的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ．
【解答】解：
由题意知ξ的可能取值为2，3，4，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）=（）×=，
P（ξ=4）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，
∴Eξ==．
故选：
C．
11．锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，若，则b2+c2的取值范围是（ ）
A．（5，6] B．（3，5） C．（3，6] D．[5，6]
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得cosA，进而可求A，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin（2B﹣），利用B的范围，可求2B﹣的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其范围．
【解答】解：
∵（a﹣b）（sinA+sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：
（a﹣b）（a+b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．
由余弦定理可得：
cosA===，
∴A为锐角，可得A=，
∵，
∴由正弦定理可得：
，
∴可得：
b2+c2=（2sinB）2+[2sin（﹣B）]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin（2B﹣），
∵B∈（，），可得：
2B﹣∈（，），
∴sin（2B﹣）∈（，1]，可得：
b2+c2=4+2sin（2B﹣）∈（5，6]．
故选：
A．
12．已知函数f（x）=xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（0，e） C． D．（﹣∞，e）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，问题转化为y=a和g（x）=在（0，+∞）2个交点，根据函数的单调性求出g（x）的范围，从而求出a的范围即可．
【解答】解：
f′（x）=lnx﹣aex+1，
若函数f（x）=xlnx﹣aex有两个极值点，
则y=a和g（x）=在（0，+∞）有2个交点，
g′（x）=，（x＞0），
令h（x）=﹣lnx﹣1，则h′（x）=﹣﹣＜0，
h（x）在（0，+∞）递减，而h
（1）=0，
故x∈（0，1）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）递增，
x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）递减，
故g（x）max=g
（1）=，
而x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→0，
若y=a和g（x）在（0，+∞）有2个交点，
只需0＜a＜，
故选：
A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．等比数列{an}满足an＞0，且a2a8=4，则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9= 9 ．
【考点】数列的求和．
【分析】根据题意，由等比数列{an}的性质可得a1•a9=a2•a8=a3•a7=a4•a6=a52=4，同时可得a5=2，再利用对数的运算法则有log2a1+log2a2+…+log2a9=log2（a1•a2•…•a9）=log2（29），计算即可得答案．
【解答】解：
根据题意，等比数列{an}的各项都是正数，a1•a9=a2•a8=a3•a7=a4•a6=a52=4，
则a5=2，
则log2a1+log2a2+…+log2a9=log2（a1•a2•…•a9）=log2（29）=9，
故答案为：
9．
14．不共线向量，满足，且，则与的夹角为 ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】设与的夹角为θ，利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值．
【解答】解：
设与的夹角为θ，∵不共线向量，满足，且，则θ∈（0，π），
∴（﹣2）=﹣2=﹣2||•||cosθ=﹣2cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=，
故答案为：
．
15．在的展开式中，常数项为 ﹣5 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】的展开式中的通项公式：
Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．的通项公式：
Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，令r﹣2k=0，即r=2k．进而得出．
【解答】解：
的展开式中的通项公式：
Tr+1=（﹣1）4﹣r（r=0，1，2，3，4）．
∵的通项公式：
Tk+1==（﹣1）kxr﹣2k，
令r﹣2k=0，即r=2k．
r=0，k=0；r=2，k=1；r=4，k=2．
∴常数项=1﹣×+×1=﹣5．
故答案为：
﹣5．
16．已知关于x的方程（t+1）cosx﹣tsinx=t+2在（0，π）上有实根．则实数t的最大值是 ﹣1 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】分离参数可得t=，利用导数判断右侧函数的单调性求出最大值即可．
【解答】解：
∵（t+1）cosx﹣tsinx=t+2，
∴t=，
令f（x）=，
则f′（x）==，
令g（x）=sinx+2cosx﹣1，则g′（x）=cosx﹣2sinx，
∴当x=arctan时，g′（x）=0，当0＜x＜arctan时，g′（x）＞0，当arctan＜x＜π时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，arctan）上单调递增，在（arctan，π）上单调递减，
又g（0）=1，g（π）=﹣3，
∴g（x）在（0，π）上只有一个零点，又g′（）=0，
∴当0＜x＜时，g（x）＞0，当＜x＜π时，g（x）＜0，
∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当＜x＜π时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，0）上单调递减，
∴当x=时，f（x）取得最大值f（）=﹣1．
∴t的最大值为﹣1．
故答案为﹣1．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知，，函数f（x）=．
（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．
【考点】两角和与差的余弦函数；平面向量数量积的运算．
【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f（x）=sin（2x﹣），利用正弦函数的对称性即可得解．
（Ⅱ）由条件知，且，可求，利用诱导公式即可化简求值得解．
【解答】解：
（Ⅰ）
=，
令，得，
即y=f（x）的对称轴方程为，（k∈Z）．
（Ⅱ）由条件知，且，
易知（x1，f（x1））与（x2，f（x2））关于对称，则，
∴．
18．某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．
（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数；
（Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
附：
，其中n=a+b+c+d．
P（K2≥k0）
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验．
【分析】（Ⅰ）计算抽取的男生与女生人数，根据分层抽样原理求出对应男生、女生人数；
（Ⅱ）根据统计数据，填写列联表，计算观测值，比较临界值得出结论．
【解答】解：
（Ⅰ）由条件知，抽取的男生为105人，女生为180﹣105=75人；
男生选择社会科学类的频率为，女生选择社会科学类的频率为；
由题意，男生总数为人，
女生总数为人，
所以，估计选择社会科学的人数为人；
（Ⅱ）根据统计数据，可得列联表如下：
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
计算观测值，
所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关．
19．如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E为AD中点，沿BE将△ABE折起至△PBE，如图2所示，点P在面BCDE的射影O落在BE上．
（Ⅰ）求证：
BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）点P在平面BCDE的射影O落在BE上，证明CE⊥平面PBE，推出PB⊥CE．
（Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．求出平面PCD的法向量，平面PBC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角B﹣PC﹣D的余弦值即可．
【解答】解：
（Ⅰ）由条件，点P在平面BCDE的射影O落在BE上，
∴平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，
∴CE⊥平面PBE，而BP⊂平面PBE，
∴PB⊥CE．
（Ⅱ）以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示直角坐标系．
则，，，
设平面PCD的法向量为
则，即，令，可得
设平面PBC的法向量为
则，即，令，可得∴
考虑到二面角B﹣PC﹣D为钝二面角，则二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．
20．如图，抛物线E：
y2=2px（p＞0）与圆O：
x2+y2=8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2=2px，解p．
（Ⅱ）设，，y1≠0，y2≠0．切线l1：
，代入y2=2x，求出，得到l1方程为，同理l2方程为，联立直线方程组，求出M，利用CD方程为x0x+y0y=8，联立方程利用韦达定理，代入可知M（x，y）满足，求出动点M的轨迹方程．
【解答】解：
（Ⅰ）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），
代入y2=2px，解得p=1，
（Ⅱ）设，，y1≠0，y2≠0．
切线l1：
，
代入y2=2x得，由△=0解得，
∴l1方程为，同理l2方程为，
联立，解得，
∵CD方程为x0x+y0y=8，其中x0，y0满足，，
联立方程得，则，
代入可知M（x，y）满足，
代入得，
考虑到，知．
∴动点M的轨迹方程为，．
21．已知f（x）=ln（x+m）﹣mx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m＞1，x1，x2为函数f（x）的两个零点，求证：
x1+x2＜0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）构造函数g（x）=emx﹣x，g（x）=emx﹣x与y=m图象两交点的横坐标为x1，x2，问题转化为证明令，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：
（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+m）﹣mx，∴，
当m≤0时，∴，
即f（x）的单调递增区间为（﹣m，+∞），无减区间；
当m＞0时，∴，
由f'（x）=0，得，
时，f'（x）＞0，
时，f'（x）＜0，
∴m＞0时，易知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．
不妨设﹣m＜x1＜x2，由条件知，即，
构造函数g（x）=emx﹣x，g（x）=emx﹣x与y=m图象两交点的横坐标为x1，x2，
由g'（x）=emx
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