著名不等式公式供知识拓展.docx

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著名不等式公式供知识拓展

三角形角的嵌入不等式

三角形角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。

该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个角，则对任意实数x、y、z，有：

算术-几平均值不等式

在数学中，算术-几平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：

算术平均数和几平均数之间恒定的不等关系。

设

为n个正实数，它们的算术平均数是

，它们的几平均数是

。

算术-几平均值不等式表明，对任意的正实数

，总有：

等号成立当且仅当

。

算术-几平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子

在n=4的情况，设:

，那么

.

可见

。

历史上的证明

历史上，算术-几平均值不等式拥有众多证明。

n=2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不谨，是错误的。

柯西的证明

1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：

命题Pn：

对任意的n个正实数

，

1.当n=2时，P2显然成立。

2.假设Pn成立，那么P2n成立。

证明：

对于2n个正实数

，

3.假设Pn成立，那么Pn−1成立。

证明：

对于n-1个正实数

，设

，

，那么由于Pn成立，

。

但是

，

，因此上式正好变成

综合以上三点，就可以得到结论：

对任意的自然数

，命题Pn都成立。

这是因为由前两条可以得到：

对任意的自然数k，命题

都成立。

因此对任意的

，可以先找k使得

，再结合第三条就可以得到命题Pn成立了。

归纳法的证明

使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（GeorgeChrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：

由对称性不妨设xn+1是

中最大的，由于

，设

，则

，并且有

。

根据二项式定理，

于是完成了从n到n+1的证明。

此外还有更简洁的归纳法证明[3]：

在n的情况下有不等式

和

成立，于是：

所以

，从而有

。

基于琴生不等式的证明

注意到几平均数

实际上等于

，因此算术-几平均不等式等价于：

。

由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。

此外还有基于排序不等式、伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。

推广

算术-几平均不等式有很多不同形式的推广。

加权算术-几平均不等式

不仅“均匀”的算术平均数和几平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几平均数之间也有不等式。

设

和

为正实数，并且

，那么：

。

加权算术-几平均不等式可以由琴生不等式得到。

矩阵形式

算术-几平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。

对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：

对于系数都是正实数的矩阵

设

，

，那么有：

也就是说：

对k个纵列取算术平均数，它们的几平均大于等于对n个横行取的n个几平均数的算术平均。

极限形式

也称为积分形式：

对任意在区间[0,1]上可积的正值函数f，都有

这实际上是在算术-几平均值不等式取成

后，将两边的黎曼和中的n趋于无穷大后得到的形式。

伯努利不等式

数学中的伯努利不等式是说：

对任意整数

，和任意实数

，

；

如果

是偶数，则不等式对任意实数x成立。

可以看到在n=0,1，或x=0时等号成立，而对任意正整数

和任意实数

，

，有格不等式：

。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

[编辑]证明和推广

伯努利不等式可以用数学归纳法证明：

当n=0,1，不等式明显成立。

假设不等式对正整数n，实数

时成立，那么

。

下面是推广到实数幂的版本：

如果x>−1，那么：

若

或

，有

；

若

，有

。

这不等式可以用导数比较来证明：

当r=0,1时，等式显然成立。

在

上定义f（x）=（1+x）r−（1+rx），其中

，对x微分得f'（x）=r（1+x）r−1−r，则f'（x）=0当且仅当x=0。

分情况讨论：

100，f'（x）<0；对−10。

因此f（x）在x=0时取最大值0，故得

。

2r<0或r>1，则对x>0，f'（x）>0；对−1

因此f（x）在x=0时取最小值0，故得

。

在这两种情况，等号成立当且仅当x=0。

[编辑]相关不等式

下述不等式从另一边估计（1+x）r：

对任意x,r>0，都有

。

佩多不等式

几学的佩多不等式，是关连两个三角形的不等式，以唐·佩多（DonPedoe）命名。

这不等式指出：

如果第一个三角形的边长为a,b,c，面积为f，第二个三角形的边长为A,B,C，面积为F，那么：

，

等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形，对应边成比例；

也就是a/A=b/B=c/C。

[编辑]证明

▪由海伦公式，两个三角形的面积可用边长表示为

16f2=（a+b+c）（a+b−c）（a−b+c）（b+c−a）=（a2+b2+c2）2−2（a4+b4+c4）

16F2=（A+B+C）（A+B−C）（A−B+C）（B+C−A）=（A2+B2+C2）2−2（A4+B4+C4）,

再由柯西不等式，

16Ff+2a2A2+2b2B2+2c2C2

=（a2+b2+c2）（A2+B2+C2）

于是，

=A2（b2+c2−a2）+B2（a2+c2−b2）+C2（a2+b2−c2），命题得证。

等号成立当且仅当

也就是说两个三角形相似。

ABC是第一个三角形，A'B'C'是取相似后的第二个三角形，BC与B'C'重合

▪几证法

三角形的面积与边长的平成正比，因此在要证的式子两边同乘一个系数λ2，使得λA=a，几意义是将第二个三角形取相似（如右图）。

设这时A、B、C变成x、y、z，F变成F'。

考虑AA'的长度。

由余弦公式，

将

代入就变成：

两边化简后同时乘以

，并注意到a=x，就可得到原不等式。

等号成立当且仅当A与A'重合，即两个三角形相似。

斯比特不等式

斯比特不等式是数学的一条不等式，它说对任正实数a，b，c，都有：

[编辑]证明

此不等式证明法很多，例如从平均数不等式我们有：

，

移项得出：

，

整理左式：

，

。

因而不等式得证。

埃尔德什－莫德尔不等式

如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和（绿色线段）大于到三边距离之和（蓝色线段）的两倍

在几学中，埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。

埃尔德什-莫德尔不等式说明了：

对于任三角形ABC和其部的一点O，点O到三角形三条边的距离之和总是小于或等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。

埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几学中的欧拉定理的一个推广。

欧拉定理声称三角形外接圆的半径总是大于等于切圆半径的两倍。

[编辑]历史

该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。

两年之后，由路易斯·莫德尔和D.F.巴罗证明。

1957年，卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明[1]。

之后不断有更简洁、更基本的证明出现。

1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。

[编辑]证明

如右图，O为三角形ABC中的一个点。

O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。

设线段OA、OB、OC的长度分别是x、y、z，线段OD、OE、OF的长度分别是p、q、r，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：

一个初等的证明式是使用三角函数以及均值不等式。

首先，由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，A、F、O、E四点共圆且OA为直径，因此线段

（角A为顶点A对应的角）。

过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。

过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。

由于OF垂直于AF，OE垂直于AE，

，

。

于是：

另一面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。

因此：

类似地，还有：

，

三式相加，得到：

根据均值不等式，

，等等，于是最终得到：

这就是埃尔德什-莫德尔不等式。

外森比克不等式

设三角形的边长为a,b,c，面积为A，则外森比克不等式（Weitzenböck'sinequality）

成立。

当且仅当三角形为等边三角形，等号成立。

佩多不等式是外森比克不等式的推广。

[编辑]证明一

除了“所有平数非负”以外，这个证明不用到其它任不等式。

两边取平根，即得证。

舒尔不等式

舒尔不等式说明，对于所有的非负实数x、y、z和正数t，都有：

当且仅当x=y=z，或其中两个数相等而另外一个为零时，等号“=”成立。

当t是正的偶数时，不等式对所有的实数x、y和z都成立。

[编辑]证明

由于不等式是对称的，我们不妨设

。

则不等式

显然成立，这是因为左边的每一项都是非负的。

把它整理，即得舒尔不等式。

[编辑]推广

舒尔不等式有一个推广：

假设a、b、c是正的实数。

如果（a，b，c）和（x，y，z）是顺序的，则以下的不等式成立：

2007年，罗马尼亚数学家ValentinVornicu证明了一个更一般的形式：

考虑

，其中

，而且要么

，要么

。

设

，并设

要么是凸函数，要么是单调函数。

那么：

当x=a、y=b、z=c、k=1、ƒ（m）=mr时，即化为舒尔不等式。

[1]