初三数学上学期期末复习知识点总结加经典例题讲解.doc
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初三数学上册期末复习资料加经典例题
第一章、图形与证明
（二）
（一）、知识框架
注意：
若等边三角形的边长为，则：
其高为：
，面积为：
。
1.等腰三角形
等边三角形的性质和判定
等腰三角形的性质和判定
线段的垂直平分线的性质和判定
角的平分线的性质和判定
2.直角三角形全等的判定：
矩形的性质和判定
：
3个判定定理
平行四边形的性质和判定：
4个判定定理
菱形的性质和判定：
3个判定定理
3.平行四边形
正方形的性质和判定：
2个判定定理
注注意：
（1）中点四边形
①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是；
②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是；
③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是；
④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是。
（2）菱形的面积公式：
（是两条对角线的长）
4.等腰梯形的性质和判定
注意：
（1）解决梯形问题的基本思路:
通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。
即需要掌握常作的辅助线。
（2）梯形的面积公式：
（-中位线长）
5.中位线
三角形的中位线
梯形的中位线
（二）知识详解
2．1、等腰三角形的判定、性质及推论
性质：
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
推论：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）
2．2、等边三角形的性质及判定定理
性质定理：
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定定理：
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
或者三个角都相等的三角形是等边三角形。
2．3、线段的垂直平分线
（1）线段垂直平分线的性质及判定
性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线
分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。
2．4、角平分线
（1）角平分线的性质及判定定理
性质：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定：
在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
（2）三角形三条角平分线的性质定理
性质：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作出角平分线
2．5、直角三角形
（1）勾股定理及其逆定理
定理：
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
逆定理：
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（2）直角三角形全等的判定定理
定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）
2.6、几种特殊四边形的性质
2.7.几种特殊四边形的判定方法
2.8、三角形的中位线：
⑴连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
区别三角形的中位线与三角形的中线。
⑵三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
2.9、梯形的中位线：
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。
⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
（三）典型例题
例题1、下列命题正确的个数是
①如果一个三角形有两个内角相等，则此三角形是轴对称图形；②等腰钝角三角形是轴对称图形；③有一个角是30°角的直角三角形时轴对称图形；④有一个内角是30°，一个内角为120°的三角形是轴对称图形
A、1个B、2个C、3个D、4个
答案：
C
解析：
①两个内角相等，根据“等角对等边”知此三角形是等腰三角形，④根据三角形的内角和为180°，判断出此三角形是等腰三角形，所以①②④都是等腰三角形，是轴对称图形，故①②④正确，故选C。
例题2、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是
A、两边之和大于第三边B、有一个角平分线垂直于这个角的对边
C、有两个锐角的和等于90°D、内角和等于180°
答案：
B
解析：
A、D是任何三角形都必须满足的，C项直角三角形的两个锐角的和等于90°，等腰三角形不一定具有，B项等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，直角三角形不具有这个性质，故选B。
例题3、等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则等腰三角形的面积为。
答案：
12
解析：
根据等腰三角形的性质，底边上的高垂直平分底边，所以由勾股定理得到底边的高为，所以等腰三角形的面积为，故填12。
例题4、在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：
CF＝（）
A．1：
2 B．1：
3 C．2：
3 D．2：
5
【答案】A
例题5、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE．，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
1
2
3
图3
图1
图2
【答案】
（1）证明：
如图1．
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F．
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF
（2）∠BDG=45°
（3）解：
分别连结GB、GE、GC（如图3）
∵AB∥DC，∠ABC=120°
∴∠ECF=∠ABC=120°
∵FG∥CE且FG=CE．
∴四边形CEGF是平行四边形．
由
（1）得CE=CF，
平行四边形CEGF是菱形．
∴EG=EC，∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°
∴△ECG是等边三角形
∴EG=CG，①
∠GEC=∠EGC=60°
∴∠GEC=∠GCF．∴∠BEG=∠DCG．②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB．
∴AB=BE．
在平行四边形ABCD中，AB=DC．
∴BE=DC．③
由①②③得△BEG≌△DCG．
∴BG=DG．∠1=∠2．∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°
∴∠BDG==60°．
例题6、如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）
A．7 B．9 C．10 D．11
【答案】D
例题7、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。
试说明：
EF与MN互相垂直平分。
（学生自己思考）
第四章、一元二次方程
（一）知识框架
一元二次方程的概念
一元二次方程
列一元二次方程解应用题
一元二次方程的根与系数的关系
△,方程有两个不相等的实根;△=0时,方程有两个相等的实根;△时,方程无实根.
一元二次方程
的根的
情况
公式法
配方法
因式分解法
直接配方法
一元二次方程的解法
一元二次方程的探索
等量关系
数量关系
一元二次方程的应用
方程的两根为,则,
（二）、知识详解
1、一元二次方程定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
（二）、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：
等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
2、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。
当时，，；当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
一般步骤：
（1）方程两边同时除以a,将二次项系数化为1.
（2）将所得方程的常数项移到方程的右边。
（3）所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方
（4）配方，化成
（5）开方。
当时，；当b<0时，方程没有实数根。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4、因式分解法
一元二次方程的一边另一边易于分解成两个一次因式的乘积时使用此方法。
3：
一元二次方程根的判别式
根的判别式
1、定义：
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式。
2、性质：
当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＝0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根。
4：
一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么，。
（三）、典型例题
例题1、下列方程中是一元二次方程的是（）
A、2x＋1＝0B、y2＋x＝1C、x2＋1＝0D、
解：
C
例题2、解方程
（1）
（2）
（3）x2＋3＝3（x＋1）
解：
（1）配方，得：
（x＋2）2＝5，解得：
x1＝－2＋，x2＝－2－
（2）
（3）原方程变为：
x2－3x＝0，解得：
＝0，＝3
例题3、已知关于的一元二次方程2--2=0．……①
（1）若=-1是方程①的一个根，求的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数，判断方程①的根的情况，并说明理由．
解：
（1）=-1是方程①的一个根，所以1+-2=0，
解得=1．
方程为2--2=0，解得，1=-1，2=2．
所以方程的另一根为=2．
（2）=2+8，
因为对于任意实数，2≥0，
所以2+8>0，
所以对于任意的实数，方程①有两个不相等的实数根．
例题4、某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．55（1+x）2=35B．35（1+x）2=55
C．55（1－x）2=35D．35（1－x）2=55
解：
C
例5：
（2006南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
解：
设应将每千克小型西瓜的售价降低x元
根据题意，得：
解得：
＝0.2，＝0.3答：
应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。
第五章、中心对称图形二（圆的有关知识）
（一）、知识框架
外离
内含
外切
内切
相离
相交
相交
相切
圆与圆的位置关系
三角形的内切圆
切线长定理
性质
判定
相离
相
相切
相交
直线与圆的位置关系
点和圆的位置关系
点在圆内
点在圆外
点在圆上
三角形的外接圆
不共线的三点确定一个圆
确定圆的条件
基本性质
圆周角定理及其推论
弧、弦、弦心距、圆心角关系定理及其推论
圆的对称性
垂径定理及其推论
圆的定义,弧、弦等概念
与圆有关的位置关系
圆
轴截面
侧面积
全面积
圆锥
正四、八边形
正三、六、十二边形
正多边形的半径、边心距、正多边形的内角、中心角、外角、正多边形的周长、面积
圆内接正多边形
正多边形和圆
正多边形的有关计算
正多边形与圆
其中为弧长，R为半径
圆内接正多边形作法----等份圆
相切的两圆的连心线过切点
相交的两圆的连心线垂直平分相交弦
扇形的弧长、面积
（二）知识点详解
一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：
到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
（补充）2、垂直平分线：
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线
3、角的平分线：
到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内点在圆内；
2、点在圆上点在圆上；
3、点在圆外点在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离无交点；
2、直线与圆相切有一个交点；
3、直线与圆相交有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）无交点；
外切（图2）有一个交点；
相交（图3）有两个交点；
内切（图4）有一个交点；
内含（图5）无交点；
五、垂径定理
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：
此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①是直径②③④弧弧⑤弧弧
中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：
在⊙中，∵∥
∴弧弧
六、圆心角定理
圆心角定理：
同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：
①；②；
③；④弧弧
七、圆周角定理
1、圆周角定理：
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：
∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
2、圆周角定理的推论：
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：
在⊙中，∵、都是所对的圆周角
∴
推论2：
半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：
在⊙中，∵是直径或∵∴∴是直径
推论3：
若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：
在△中，∵
∴△是直角三角形或
注：
此推论实是初二年级几何中矩形的推论：
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：
在⊙中，∵四边形是内接四边形
∴
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：
过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：
过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：
∵且过半径外端∴是⊙的切线
（2）性质定理：
切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：
过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：
过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：
∵、是的两条切线∴平分
十一、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：
两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：
垂直平分。
即：
∵⊙、⊙相交于、两点
∴垂直平分
十二、圆内正多边形的计算
（1）正三角形：
在⊙中△是正三角形
有关计算在中进行：
；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行，
：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行，
.
十三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形：
（1）弧长公式：
；
（2）扇形面积公式：
：
圆心角：
扇形多对应的圆的半径：
扇形弧长：
扇形面积
2、圆锥侧面展开图
（1）=
（2）圆锥的体积：
3、圆锥与圆柱的比较
名称
圆柱
圆锥
图形
图形的形成过程
由一个矩形旋转得到，如矩形ADD’G绕直线AB旋转一周
由一个直角三角形旋转得到，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周
图形的组成
两个底面圆和一个侧面
一个底面圆和一个侧面
面积、体积的计算公式
S侧=2πrh
S全=S侧+2S底=2πrh+2πr2
V=πr2h
S侧=πr
S全=S侧+S底=πr+πr2
V=πr2h
（三）、典型例题
例题1．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.
思路点拨：
本题考查圆的确定、垂径定理以及直角三角形的性质有关等知识.
解：
（1）作法略.如图所示.
（2）如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，
∵OC⊥AB，
∴.
由题意可知，CD=4cm.
设半径为xcm，则.
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
∴.
∴.
即这个圆形截面的半径为10cm.
例题2、在中，弦平行于弦，若，则____度．
【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．
A
D
C
B
O
图7-1
【思路点拔】∵∠B=∠AOC，
∴∠B=40°
∵AD∥BC
∴∠B=40°
【答案】填：
40
例题3、AB是的⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD=（）
A．1000B．1100C．1200D．1350
图7-2
【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．
【思路点拔】∵AB是的⊙O的直径
∴度数是1800
∵BC=CD=DA
∴==
∵∠BCD==1200
【答案】选填C
例题4、
求CD的长。
分析：
连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。
解：
延长AB、DC交于E点，连结BD
∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径
∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD
∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD
例题5、
D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：
BE=2：
1，求tan∠ADE的值。
分析：
要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。
ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：
AD。
解：
∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC
∴AB、DC切⊙O于点B和点C，
∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，
又∵AE：
EB=2：
1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，
DE=DC+EB=4x，
在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，
点拨：
本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
例题6、如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，
积S。
（图中阴影部分）
分析：
阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。
解：
分析：
因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为∠A+∠B+∠C=180°，
原题可在上一题基础上进一步变形：
⊙A1、⊙A2、⊙A3…⊙An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3…An，求n个扇形的面积之和。
解题思路同上。
解：
19
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