特殊平行四边形专题训练Word文件下载.docx

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对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

2．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．

利用菱形的性质与判定证明角的关系

1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.

（1）证明：

∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；

（2）若AB∥CD，试证明：

四边形ABCD是菱形；

（3）在

（2）的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．

利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系

2．（中考·

兰州）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.

（1）求证：

AD＝BC；

（2）若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：

线段EF与线段GH互相垂直平分．

利用菱形的性质与判定解决周长问题

3．（中考·

贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，D，E分别为AB，AC边上的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180°

，得到△CFE，连结AF.

四边形ADCF是菱形；

（2）若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．

利用菱形的性质与判定解决面积问题

4．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME.

四边形AEPM为菱形．

（2）当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

请说明理由．

专训三：

正方形的性质与判定灵活运用

正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．

利用正方形的性质证明线段位置关系

1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.

AM⊥DF.

利用正方形的性质解决线段和差倍分问题

2．已知：

在正方形ABCD中，∠MAN＝45°

，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N.

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：

BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？

如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？

请写出你的猜想，并证明．

正方形性质与判定的综合运用

3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.

（1）不管滚动时间多长，求证：

连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．

（2）四边形PQRS在什么时候面积最大？

（3）四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？

并说明理由．

正方形中的探究性问题

4．如图①，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连结FM，易证：

DM＝FM，DM⊥FM（无需写证明过程）；

（1）如图②，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？

请写出猜想，并给予证明；

（2）如图③，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？

请直接写出猜想．

专训四：

利用矩形的性质巧解折叠问题

折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等，且关于折痕或所在直线成轴对称；

在计算时，常常通过设未知数列方程求解．

利用矩形的性质巧求折叠中的角

1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？

动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：

（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；

（2）将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数．

利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长

2．如图，有矩形纸片ABCD，长AD为4cm，宽AB为3cm，把矩形折叠，使相对两顶点A，C重合，然后展开．求折痕EF的长．

利用矩形的性质巧证线段的位置关系

3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连结AE.

证明：

（1）BF＝DF；

（2）AE∥BD.

利用矩形的性质巧求线段的比（面积法）

4．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

CM＝CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求

的值．

专训五：

用特殊四边形的性质巧解动点问题

利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看作特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点（动点）为条件解答．

平行四边形中的动点问题

1．如图，在?

ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动，且保持BE＝DF，连结AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．

矩形中的动点问题

2．在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.

（1）如图①，连结AF、CE，求证：

四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

菱形中的动点问题

3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°

，点E在边BC上，点F在边CD上．

（1）如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°

，求证：

BE＝DF；

（2）如图②，若∠EAF＝60°

△AEF是等边三角形．

正方形中的动点问题

4．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.

四边形EFGH是正方形；

（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．

专训六：

特殊四边形中的最值问题

求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．

矩形中的最值问题

1．如图，∠MON＝90°

，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，求点D到点O的最大距离．

菱形中的最值问题

2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°

，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．

正方形中的最值问题

宿迁）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．

4．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°

得到BN，连结EN，AM，CM.

△AMB≌△ENB.

（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由．

专训七：

思想方法荟萃

本章中，由于涉及内容是各种特殊四边形，解决这类问题时，常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究．而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法．

数形结合思想

1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的面积为（　　）

A．200cm2B．300cm2

C．600cm2D．2400cm2

方程思想

2．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.

（1）若AE＝3cm，AF＝4cm，AD＝8cm，求CD的长；

（2）若平行四边形ABCD的周长为36cm，AE＝4cm，AF＝5cm，求平行四边形ABCD的面积．

转化思想

3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点（不与点D重合），PO的延长线交BC于Q点．连结BP，DQ.

四边形PBQD为平行四边形．

（2）若AB＝3cm，AD＝4cm，P从点A出发，以1cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动的时间为ts，问四边形PBQD能够成为菱形吗？

如果能，求出相应的t值；

如果不能，说明理由．

4．如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°

，且CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm.试求此六边形的周长．

分类讨论思想

①图形的位置不确定

5．四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的度数．

②等腰三角形的腰与底边不确定

6．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

（第6题）

答案

解码专训一

1．解：

∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝

×

180°

＝90°

，同理可得：

∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°

，∴四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，HG＝EF，∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°

，∴△HNG≌△FME，∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF，∴AD＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.又∵HF＝

＝

＝5（cm），∴AD＝5cm.

点拨：

此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．

2．证明：

∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°

.

∴四边形OCED是矩形．∴OE＝CD.

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD.∴OE＝BC.

线段CD既是菱形ABCD的边，又是四边形OCED的对角线，可以用等量代换推出OE＝BC.

3．解：

（1）△BEC是直角三角形．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠ABP＝90°

，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2.

∵DE＝BP＝1，∴AE＝PC＝4.由勾股定理得CE＝

，BE＝2

，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°

.∴△BEC是直角三角形．

（2）四边形EFPH为矩形，证明：

∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形．

∴BE∥DP.∵AD∥BC，AE＝PC，∴四边形AECP是平行四边形．∴AP∥CE.∴四边形EFPH是平行四边形．∵∠BEC＝90°

，∴平行四边形EFPH是矩形．

4．

（1）证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC，∴∠ABE＝∠ECF.

又∵E为BC的中点，∴BE＝CE，

在△ABE和△FCE中，∵

∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.

又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形，

∴BE＝EC，AE＝EF，

∵∠AEC为△ABE的外角，

∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，

∴∠ABC＝∠EAB，

∴AE＝BE，∴AE＋EF＝BE＋EC，

即AF＝BC，∴四边形ABFC为矩形．

（2）解：

∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形，∴CF＝CD＝

＝2，∴AC＝

＝2

，∴S矩形ABFC＝2

2＝4

解码专训二

1．

（1）证明：

∵在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC.

∵在△ABF和△ADF中，

∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD.

∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.

（2）证明：

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.

又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，

∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，

∴AB＝CB＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

（3）解：

当EB⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.

理由：

∵四边形ABCD为菱形，

∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，

在△BCF和△DCF中，

∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF.

∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°

，

∴∠EFD＝∠BCD.

（1）如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，

∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．

∴AC＝BM＝BD，∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.

在△ACD和△BDC中

，∴△ACD≌△BDC，∴AD＝BC.

（2）如图，连结EH，HF，FG，GE，

∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，

∴HE∥AD，且HE＝

AD，FG∥AD，且FG＝

AD，

∴四边形HFGE为平行四边形．

由

（1）知AD＝BC，∴HE＝EG，

∴?

HFGE为菱形，∴EF与GH互相垂直平分．

3．

（1）证明：

∵将△ADE绕点E旋转180°

得到△CFE，∴AE＝CE，DE＝FE，∴四边形ADCF是平行四边形．∵D，E分别为AB，AC边上的中点，

∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC.

∵∠ACB＝90°

，∴∠AED＝90°

∴DF⊥AC，∴四边形ADCF是菱形．

在Rt△ABC中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.

∵D是AB边上的中点，∴AD＝5.

∵四边形ADCF是菱形，∴AF＝FC＝AD＝5，

∴四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28.

∵EF∥AB，PM∥AC，

∴四边形AEPM为平行四边形．

∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.

∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA，

∴∠CAD＝∠EPA，∴EA＝EP，∴四边形AEPM为菱形．

当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝

S四边形EFBM.理由如下：

∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC，∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．过点E作EN⊥AB于点N，如图，则S菱形AEPM＝AM·

EN＝EP·

EN＝

EF·

S四边形EFBM.

解码专训三

1．证明：

∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.

∵DE＝CF，∴OE＝OF.在Rt△AOE与Rt△DOF中，

∴Rt△AOE≌Rt△DOF，

∴∠OAE＝∠ODF.

∵∠DOF＝90°

，∴∠DFO＋∠FDO＝90°

∴∠DFO＋∠FAE＝90°

∴∠AMF＝90°

，即AM⊥DF.

2．解：

（1）仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：

过点A作AE⊥AN，交CB的延长线于点E,

易证△ABE≌△ADN，∴DN＝BE，AE＝AN.

又∵∠EAM＝∠NAM＝45°

，AM＝AM，

∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.

∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.

（2）有DN－BM＝MN.证明如下：

如图，在DN上截取DE＝BM，连结AE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝90°

，AB＝AD.

又∵DE＝BM，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB＝90°

.∴∠MAE＝90°

∵∠MAN＝45°

∴∠EAN＝45°

＝∠MAN.又∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.

∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN，∴DN－BM＝MN.

∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

，AB＝BC＝CD＝DA.

又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，

∴PB＝QC＝RD＝SA，∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS，

∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ，∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．

又∵∠APS＋∠ASP＝90°

，∴∠APS＋∠BPQ＝90°

∴∠QPS＝180°

－（∠APS＋∠BPQ）＝180°

－90°

∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形．

当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积．

当P，Q，R，S四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS的面积是原正方形ABCD面积的一半．

设原正方形ABCD的边长为a.

当PS2＝

a2时，在Rt△APS中，AS＝a－SD＝a－AP.

由勾股定理，得AS2＋AP2＝PS2，即（a－AP）2＋AP2＝

a2，

解得AP＝

a.同理可得BQ＝CR＝SD＝

a.

∴当P，Q，R，S四点运动到正方形ABCD各边中点时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半．

4．解：

（1）DM＝FM，DM⊥FM.

如图，连结DF、NF.

∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，

∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM＝∠NEM.

∵M是AE的中点，∴AM＝EM.

∵∠AMD＝∠EMN，∴△MAD≌△MEN，

∴DM＝MN，AD＝NE.

∵AD＝CD，∴CD＝NE.

∵CF＝EF，∠FCD＝∠FEN＝90°

∴△DCF≌△NEF，∴DF＝FN，∠CFD＝∠EFN.

∵∠EFN＋∠CFN＝90°

∴∠CFD＋∠CFN＝90°

，即∠DFN＝90°

∴DM＝FM，DM⊥FM.

（2）DM＝FM，DM⊥FM.

解码专训四

如图，由折叠性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，BE＝B′E，AE＝EA′，

∵∠BAB′＝∠BEB′＝∠ABE＝∠AB′E＝90°

∴AE为∠BAB′的平分线，

∴∠BEA＝∠BAE＝45°

又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°

∴∠FEA′＝67.5°

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°

易得EF为AC的垂直平分线．∴AE＝EC，AF＝FC.

∵AE∥FC，∴∠AEO＝∠CFO.

又∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO，

∴AE＝FC.∴四边形AECF是菱形．

设BF为xcm，则AF＝FC＝（4－x）cm.由勾股定理，得32＋x2＝（4－x）2，

∴x＝

，∴FC＝

cm.

∵AB＝3cm，BC＝4cm，∴AC＝

＝5（cm）．

∴OC＝

在Rt△FOC中，OF＝

（cm）．

∴EF＝2OF＝

即折痕EF的长为

3．证明：

（1）由折叠可知，∠FBD＝∠CBD，因为AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD，所以∠FBD＝∠FDB，所以BF＝DF.

（2）因为四边形ABCD是矩形，

所以AB＝DC，AD＝BC，由折叠可知DC＝ED＝AB，BC＝BE＝AD，又因为AE＝AE，所以△AEB≌△EAD，所以∠AEB＝∠EAD，所以∠AEB＝

（180°

－∠AFE），而∠DBE＝

－∠BFD），∠AFE＝∠BFD，所以∠AEB＝∠DBE，所以AE∥BD.

由折叠的性质可得：

∠ENM＝∠DNM，即∠ENM＝∠ENA＋∠ANM，∠DNM＝∠DNC＋∠CNM，∵∠ENA＝∠DNC，∴∠ANM＝∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，∴∠CMN＝∠CNM，∴CM＝CN.

过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC，

∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，

∴

＝3，

∴MC＝3ND＝3HC，∴MH＝2HC.

设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x，∴CM＝3x＝CN.

在Rt△CDN中，DC＝

x，

∴NH＝2

在Rt△MNH中，MN＝

解码专训五

猜想：

AE＝CF，AE∥CF.证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD