整式的乘法4课时.docx

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整式的乘法4课时

14．1.4　整式的乘法（4课时）

第1课时　单项式乘单项式和单项式乘多项式

教学目标

1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．

2．会进行整式的混合运算．

教学重点

单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算法则及其应用．

难点

灵活地进行单项式与单项式、单项式与多项式相乘的运算．

教学设计

一、复习导入

1．知识回顾：

回忆幂的运算性质：

am·an＝am＋n（m，n都是正整数），

即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

（am）n＝amn（m，n都是正整数），

即幂的乘方，底数不变，指数相乘．

（ab）n＝anbn（n为整数），

即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

口答：

幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述的内容作复习．

2．练一练

（a2）2＝____________；

（－23）2＝____________；

[（－

）2]3＝____________；

（a3）2·a3____________；

23·25＝____________；

（

xy2）2＝____________；

（－

）5（－

）5＝____________．

二、探究新知

问题：

光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米？

注：

从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．

地球与太阳的距离约为（3×105）×（5×102）千米．问题是（3×105）×（5×102）等于多少呢？

学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：

（3×105）×（5×102）＝（3×5）×（105×102）＝15×107（为什么？

）

在此处再问学生更加规范的书写是什么？

应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米．

请学生回顾，我们是如何解决问题的．

问题：

如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗？

学生独立思考，小组交流．

注：

从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．

学生分析：

跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．

ac5·bc2

＝（a·c5）·（b·c2）

＝（a·b）·（c5·c2）

＝abc5＋2

＝abc7.

注：

在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．

[探究一]

类似地，请你试着计算：

（1）2c5·5c2；

（2）（－5a2b3）·（－b2c）．

ac5和bc2，2c5和5c2，（－5a2b3）和（－4b2c）都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法？

注：

先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要有益的．

学生小结：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

3．算一算

例1：

教材例4.

在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则．分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．

例2　小民的步长为a米，他量得家里卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米？

注：

将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．

4．辩一辩

教材第99页练习2.

注：

辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．

[探究二]

1．师生共同研究教材第99页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．

注：

这个实际问题来源于学生的实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学习不难得到结论．

求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是2．试一试

计算：

2a2·（3a2－5b）．（根据乘法分配律）

注：

因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．

3．想一想

从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘？

学生发言，互相补充后得出结论：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

4．做一做

教材例5.（在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号）

注：

学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．

教材第100页练习．

三、课外巩固

1．必做题：

教材第104～105页习题14.1第3，4题．

2．备选题：

（1）若（－5am＋1b2n－1）（2anbm）＝－10a4b4，则m－n的值为________；

（2）计算：

（a3b）2·（a2b）3；

（3）计算：

（3a2b）2＋（－2ab）（－4a3b）；

（4）计算：

（－

xy）·（

xy2－2xy＋

y）．

教学反思

本节课采用引导发现法．通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，学生始终处在观察思考之中．

第2课时　多项式乘多项式

教学目标

经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则，灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．

教学重点

多项式乘法的运算．

教学难点

探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“负号”的问题．

教学过程

一、情境导入

教师引导学生复习单项式×多项式运算法则．

整式的乘法实际上就是：

单项式×单项式；

单项式×多项式；

多项式×单项式．

组织讨论：

问题　为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长am，宽pm的长方形绿地，加长了bm，加宽了qm．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？

如何计算？

小组讨论，你从计算过程中发现了什么？

由于（a＋b）（p＋q）和（ap＋aq＋bp＋bq）表示同一个量，

即有（a＋b）（p＋q）＝ap＋aq＋bp＋bq.

二、探索新知

（一）探索法则

根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：

在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法则并板书法则．

让学生体会法则的理论依据：

乘法对加法的分配律．

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（二）例题讲解与巩固练习

1．教材例6计算：

（1）（3x＋1）（x＋2）；

（2）（x－8y）（x－y）；

（3）（x＋y）（x2－xy＋y2）．

2．计算下列各题：

（1）（x＋2）（x＋3）；

（2）（a－4）（a＋1）；

（3）（y－

）（y＋

）；

（4）（2x＋4）（6x－

）；

（5）（m＋3n）（m－3n）；

（6）（x＋2）2.

3．某零件如图所示，求图中阴影部分的面积S.

练习点评：

根据学生的具体情况，教师可选择其中几题，分析并板书示范，其余几题，可由学生独立完成．在讲解、练习过程中，提醒学生对法则的灵活、正确应用，注意符号，不要漏乘．

注意　一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符号．

三、课堂小结

指导学生总结本节课的知识点，学习过程的自我评价．主要针对以下方面：

1．多项式×多项式．

2．多项式与多项式的乘法．

用一个多项式中的每项乘另一个多项式的每一项，不要漏项．在没有合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数之积．

四、布置作业

教材第102页练习题．

教学反思

本节课由计算绿地面积出发，通过几种不同的计算图形面积方法，得出多项式相乘的法则，整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的过程以及如何熟练运用法则解决问题，充分调动了学生学习的积极性．教师不仅是教给学生知识，还要重视学习方法的指导和培养．

第3课时　同底数幂相除

教学目标

1．掌握同底数幂的除法的运算法则．

2．会用同底数幂的除法的法则进行计算．

重点难点

准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．

难点

根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．

教学设计

一、问题导入

1．叙述同底数幂的乘法运算法则．

同底数幂相乘，指数相加，底数不变．即am·an＝am＋n.（m，n是正整数）

2．问题：

一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M（1M＝210K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？

移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，所以要先统一单位．移动存储器的容量为26×210＝216K.所以它能存储这种数码照片的数量为218÷28.

218，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？

二、探究新知

请同学们做如下运算：

1．

（1）28×28；

（2）52×53；（3）102×105；（4）a3·a3.

2．填空：

（1）（　　）·28＝216；

（2）（　　）·53＝55；

（3）（　　）·105＝107；（4）（　　）·a3＝a6.

除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：

（1）216÷28＝（　　）；

（2）55÷53＝（　　）；

（3）107÷105＝（　　）；（4）a6÷a3＝（　　）．

再根据第1题的运算，我们很容易得到答案：

（1）28；

（2）52；（3）102；（4）a3.

其实我们用除法的意义也可以解决，请同学们思考、讨论．

（1）216÷28＝　　　　

（2）55÷53＝

（3）107÷105＝（4）a6÷a3＝

从上述运算能否发现商与除数、被除数有什么关系？

am÷an＝am－n.（a≠0，m，n都是正整数，且m≥n）

三、例题讲解

例1（教材例7）　计算：

（1）x8÷x2；

（2）（ab）5÷（ab）2.

解：

（1）x8÷x2＝x8－2＝x6；

（2）（ab）5÷（ab）2＝（ab）5－2＝（ab）3＝a3b3.

例2　先分别利用除法的意义填空，再利用am÷an＝am－n的方法计算，你能得出什么结论？

（1）32÷32＝（　　）；

（2）103÷103＝（　　）

（3）am÷am＝（　　）（a≠0）．

解：

先用除法的意义计算．

32÷32＝1；103÷103＝1；am÷am＝1（a≠0）．

再利用am÷an＝am－n的方法计算．

32÷32＝32－2＝30；

103÷103＝103－3＝100；

am÷am＝am－m＝a0（a≠0）．

这样可以总结得a0＝1（a≠0）．

于是规定：

a0＝1（a≠0），

即　任何不等于0的数的0次幂都等于1.

四、课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？

师生共同总结：

（1）同底数幂相除，底数不变，指数相减；

（2）任何不等于0的数的0次幂都等于1.

五、布置作业

教材第104页练习第1题．

教学反思

同底数幂的除法的主要内容是根据除法是乘法的逆运算，从计算具体的同底数的幂的除法，到计算底数具有一般性的字母，逐步归纳出同底数幂除法的法则，并运用法则熟练、准确地进行计算．本节课是在学习了幂的乘方、积的乘方的基础上进行的，它们构成一个有机整体，为后续的整式除法的学习打下基础．

第4课时　整式的除法

教学目标

1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．

2．多项式除以单项式的运算法则及应用．

教学重点

单项式除以单项式的运算法则及其应用；多项式除以单项式运算法则及其应用．

难点

探索多项式与单项式相除的运算法则的过程．

教学设计

一、情境导入

问题：

木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.08×1021吨，你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗？

重点研究算式（1.90×1024）÷（5.98×1021）怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型．

二、探究新知

1．探索法则

（1）计算（1.90×1024）÷（5.98×1021），说说你计算的根据是什么？

（2）你能利用

（1）中的方法计算下列各式吗？

8a3÷2a；6x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2.

（3）你能根据

（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？

教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述．

2．归纳法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

3．应用新知

（1）28x4y2÷7x3y；

（2）－5a5b3c÷15a4b.

首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这里省去了括号，对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成．口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则．

4．巩固新知

教材第104页练习第2题．

学生自己尝试完成计算题，同桌交流．

5．再探新知

计算下列各式：

（1）（am＋bm）÷m；

（2）（a2＋ab）÷a；

（3）（12a3－6a2＋3a）÷3a.

①说说你是怎样计算的．

②还有什么发现吗？

在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：

商式与被除式的项数相同．

6．归纳法则

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

你能把这句话写成公式的形式吗？

木字旁：

桃、树、林、机、桥7．解决问题

计算：

孑子字旁（孩）扌提手旁（打把拉）

（1）（21x4y3－35x3y2＋7x2y2）÷（－7x2y）；

六、看图写话

（2）[（x＋y）2－y（2x＋y）－8x]÷2x.

幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性．

暖和的衣裳暖和的被子暖和的天气8．巩固提高

二、偏旁部首及代表字教材第104页练习第3题．

只一只只一只只可爱的小兔利用投影仪反馈学生解题过程．

三、布置作业

1．必做题：

教材第105页习题14.1第6题．

定时时间房间帮忙早晚送给干净伙伴起立得到得意2．备选题：

下列计算是否正确？

如不正确，应怎样改正？

一（条）彩虹一（堆）杏一（朵）花一（只）鸟

（1）－4ab2÷2ab＝2b；

你去北京吗？

你是小学生吗？

（2）（14a3－2a2＋a）÷a＝14a2＝2a.

很多很多的云很高很高的山很绿很绿的草教学反思

这节课可以说学生动的多，教师讲的少．学生的主体地位体现的还算可以．主要是以学生的活动为主的，基本符合新课改精神．课堂上教师的指导提示基本到位，学生能够在教师的指导下进行活动，完成了教学任务．