第5讲 平面向量数量积与坐标运算中等难度讲义 2文档格式.docx

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⑵计算任一向量的模长：

，即

；

⑶计算两个向量的夹角：

（

）．

3．向量的数量积满足的运算律：

⑴交换律：

⑵与数乘的结合律：

注意：

数量积本身不满足结合律！

⑶对加法的分配律：

二、向量的坐标运算

【引入】

由平面向量基本定理知，任意两个不共线的向量都可以构成一个基底；

而由前一板块我们知道，随便取一组基底，去计算由基底线性表出的向量的数量积是一件轻松的事情，如上一板块的铺垫题：

已知

，计算

____．要想让数量积的计算变得简单，我们希望交叉项

消失，这就是正交的概念，即构成基底的两个向量是互相垂直的；

再进一步，如果

，计算会更容易，即交基底进行正交化，取互相垂直的单位向量为基底，这便是标准正交基．如果取定一组标准正交基

，那么

，

．而

．在标准正交基下，将分解的系数直接记为坐标（有序实数对），就得到相应的坐标运算的结论，如下：

【抽象概括】

设

，则：

典例精讲

一．选择题（共15小题）

1．（2017秋•福州期末）若复数的模为，则实数a=（　　）

A．1B．﹣1C．±

1D．

【分析】先将复数变成，从而得到的模为，这样即可求出a．

【解答】解：

∴的模为；

∴a=±

1．

故选：

C．

2．（2018秋•南关区校级期中）在△ABC中，若||=3，||=6，•=9，则||的值为（　　）

A．3B．2C．27D．

【分析】直接利用向量的数量积和模的运算求出结果．

△ABC中，若||=3，||=6，•=9，

则||=，

所以：

==27，

故：

||=3，

A．

3．（2017秋•包头期末）设向量满足，，则=（　　）

A．B．C．D．

【分析】由题意利用=，求得的值．

向量满足，，

则====，

D．

4．（2017秋•闵行区期末）已知点M、N分别是直线l1：

3x+4y+6=0和l2：

3x+4y﹣12=0上的动点，点P（m，n）满足=2，则m2+n2的最小值为（　　）

A．B．C．D．0

【分析】先由=2得3m+4n﹣6=0，再设m2+n2=t（t＞0），利用直线3m+4n﹣6=0与圆m2+n2=r有交点，圆心到直线距离小于等于半径，解不等式即可．

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则3x1+4y1+6=0，3x2+4y2﹣12=0，

又=2，所以m﹣x1=2（x2﹣m），n﹣y1=2（y2﹣n），

∴x1=3m﹣2x2，y1=3n﹣2y2，

∴3（3m﹣2x2）+4（3n﹣2y2）+6=0，

即3x2+4y2﹣m﹣6n﹣3=0，

又3x2+4y2﹣12=0，所以﹣m﹣6n﹣3=﹣12

∴3m+4n=6，

设m2+n2=t（t＞0）

则由直线3m+4n=6与圆m2+n2=r有交点，得，

t≥，即m2+n2的最小值为：

B．

5．（2018春•梧州期末）已知向量=（cosx，sinx），=（sinx，sinx），f（x）=•，当x∈[0，]时，函数y=f（x）﹣k有两个零点，则k的取值范围是（　　）

A．[﹣1，）B．[，1）C．[，1+）D．[，1+）

【分析】由向量数量积的运算及三角恒变换化简f（x），然后结合正弦函数的图象，可求k的范围．

f（x）==sinxcosx+，

=（1﹣cos2x），

=，

=sin（2x﹣），

∵x∈[0，]，

∴，

结合图象可知，，

6．（2017秋•嵊州市期末）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=2，该矩形所在的平面内一点P满足||=1，记I1=，I2=，I3=，则（　　）

A．存在点P，使得I1=I2B．存在点P，使得I1=I3

C．对任意的点P，有I2＞I1D．对任意的点P，有I3＞I1

【分析】将向量、转化为向量、、，再用数量积计算出I1，I2，最后利用三角函数值域放缩可比较出I2＞I1恒成立．

I1=•=•（）=•（++）=9+•，

I2=•=（+）•（+）=（+）•（++）=13+•+•

=13+•+||×

||×

cos＜，＞

=13+•+2cos，＞

=9+•+4+2cos＜，＞

＞9+•=I1

7．（2017秋•齐齐哈尔期末）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•=（　　）

A．﹣2B．6C．2D．﹣6

【分析】根据题意，以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立坐标系，据此可得A、C、D、E的坐标，由向量的坐标公式可得向量、的坐标，由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．

根据题意，如图：

以B为坐标原点建立坐标系，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立坐标系，

则C（2，0）A（0，2），D（2，2），

则E（2，1），

则=（2，﹣1），=（2，2），

则•=2×

2+（﹣1）×

2=2，

8．（2018春•安徽期末）已知=（﹣1，），||=5，且，则向量在向量方向上的投影（　　）

A．2B．5C．4D．10

【分析】直接利用向量的模和数量积运算求出结果．

已知=（﹣1，），

则：

由于：

||=5，且，

则向量在向量方向上的投影为：

=．

9．（2017秋•漳州期末）已知，，且，则向量在方向上的投影为（　　）

A．1B．C．D．

【分析】运用向量的夹角公式，投影的概念，垂直的充要条件可解决此问题．

由题意得，•（﹣）=0

∴2﹣•=0

∴•=1设与的夹角为θ

∴cosθ===

∴向量在方向上的投影为cosθ=1×

=

10．（2017秋•沈阳期末）已知正四面体ABCD的棱长是a，若E是AB的中点，则=（　　）

A．B．C．a2D．﹣a2

【分析】根据题意画出图形，结合图形利用向量的线性运算和数量积运算法则，计算即可．

如图所示，

正四面体ABCD的棱长是a，E是AB的中点，

则=（+）•

=•+•

=×

a×

cos90°

+×

cos120°

=﹣．

11．（2018春•湖南期末）已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD点，则的最小值是（　　）

A．﹣2B．0C．D．1

【分析】通过建立平面直角坐标系，转化为坐标运算即可求得最小值．

以A为原点，AB、AD所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，

则A（0，0）、B（2，0）、C（2，2）、D（0，2），设P（x，y），

则=（﹣x，﹣y），=（﹣x，2﹣y），=（2﹣x，﹣y），=（2﹣x，2﹣y），

∴=（﹣x）（﹣x）﹣y（2﹣y）+（2﹣x）2﹣y（2﹣y）=2（x2+y2﹣2x﹣2y+2）=2[（x﹣1）2+（y﹣1）2]，

∴x=1且y=1时，取得最小值0

12．（2018春•王益区期末）如图，在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为靠近点A的线段AB的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，则•（﹣）的值是（　　）

A．﹣B．C．﹣2D．2

【分析】直接利用向量共线和向量的线性运算及夹角公式求出结果．

在等腰直角△ABO中，OA=OB=1，C为靠近点A的线段AB的四等分点，

过C作AB的垂线l，P为垂线l上任意一点，

•（﹣）=（），

=+，

13．（2018春•东莞市期末）设||=2，||=1，•=0，=λ+μ，且λ+μ=1，则向量在上的投影的取值范围（　　）

A．（﹣，2]B．（，2]C．（﹣，2]D．（，2]

【分析】首先判定，进一步利用向量的共线的充要条件求出向量的投影的范围．

•=0，

||=2，||=1，

当，，

由于=λ+μ，且λ+μ=1，

P、A、B三点共线．

当P与A重合时，投影为2．

向量在上的投影的取值范围为（]．

14．（2018春•临沂期末）在边长为1的等边三角形△ABC的BC边上任取一点D，使≤•≤1成立的概率为（　　）

【分析】用向量数量积公式将条件转化为BD的长度满足的条件，然后用几何概型中的长度比求出概率

由•=•（﹣）=•﹣•=||||cos120°

+2=1﹣

得，即BD，

∴在边长为1的等边三角形△ABC的BC边上任取一点D，使•≤1成立的概率为．

15．（2018春•诸暨市期末）已知||=||=1，向量与的夹角为600，则|3﹣4|=（　　）

A．5B．C．D．

【分析】由已知先求出，然后根据向量数量积的性质|3﹣4|=，代入可求．

∵||=||=1，向量与的夹角为60°

∴=1×

||===，

二．填空题（共4小题）

16．（2016春•广元校级月考）一质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成120°

角，且F1，F2的大小都为6牛顿，则F3的大小为　6　牛顿．

【分析】根据平衡条件得出++=，利用模长公式求出|+|，即可得出||的值．

质点受到同一平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态，

∴++=，

∴=﹣（+），

∵|+|=

=6，

故||=|+|=6．

即F3的大小为6牛顿．

故答案为：

6．

17．（2016•盐城校级模拟）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，O点是内心，且=λ1+λ2，则λ1+λ2=　　．

【分析】设内切圆半径为r，由题意得：

r=OE=OF=AE=AF=，从而表示出向量，根据向量之间的加减关系，写出向量与要求两个向量之间的关系，得到两个系数的值，求和得到结果．

设内切圆半径为r，

由题意得：

r=OE=OF=AE=AF═，

∴=

∴，．

∴λ1+λ2=．

18．（2017秋•福州期末）已知单位向量满足，则的夹角为　120°

　．

【分析】由题意利用单位向量的定义、两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得θ的值．

设的夹角为θ，θ∈[0°

，180°

]，∵单位向量满足，

∴﹣2•=2，即1﹣2×

1×

cosθ=2，求得cosθ=﹣，∴θ=120°

120°

19．（2017秋•南京期末）在平行四边形ABCD中，=，=．若||=2，||=3，与的夹角为，则线段BD的长度为　　．

【分析】根据题意画出图形，利用平面向量的平行四边形合成法则表示出，再求线段BD的长度．

平行四边形ABCD中，=，=；

若||=2，||=3，与的夹角为，

则=﹣，

∴=﹣2•+

=﹣2•+

=32﹣2×

3×

2×

cos+22

=7，

∴线段BD的长度为．

三．解答题（共3小题）

20．（2017春•集宁区校级期末）已知△ABC中，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求．

【分析】利用向量的坐标运算、平行四边形的法则即可得出．

∵A（7，8），B（3，5），C（4，3），

∴=（﹣4，﹣3），=（﹣3，﹣5）．

∵M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，

∴F是AD的中点，

∴==﹣==．

21．（2017春•奉新县校级月考）已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？

【分析】根据所给的三个点的坐标，写出要用的向量的坐标，根据向量之间的关系设出P的坐标，写出的表示形式，根据点P要在第三象限，列出坐标对应的不等式组，解出结果．

设=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）

=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）

∵

∴（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）

∴∴

∵P在第三象限内

∴

∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限．

22．（2018•盐城三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为边BC上的中线．

（1）若a=4，b=2，AD=1，求边c的长；

（2）若，求角B的大小．

【分析】

（1）在△ADC中根据余弦定理计算cosC，再在△ABC中计算c；

（2）把代入化简即可得出bcosA=c，故AB⊥BC．

（1）在△ADC中，因为，

由余弦定理：

故在△ABC中，由余弦定理，得，

所以．

（2）因为AD为边BC上的中线，所以，

所以=，

∴c=bcosA．

∴AB⊥BC，∴B=90°

．