第34讲 定义新运算Word文档格式.docx

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按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。

　　四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。

　　按通常的规则从左至右进行运算。

从已知的三式来看，运算“

”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得

　　3

5=3+33+333+3333+33333=37035。

　　从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。

　　例6对于任意自然数，定义：

n！

=1×

2×

…×

n。

　　例如4！

3×

4。

那么1！

+2！

+3！

+…+100！

的个位数字是几？

1！

=1，

　　2！

2=2，

　　3！

3=6，

　　4！

4=24，

　　5！

4×

5=120，

　　6！

5×

6=720，

　　……

　　由此可推知，从5！

开始，以后6！

，7！

，8！

，…，100！

的末位数字都是0。

　　所以，要求1！

的个位数字，只要把1！

至4！

的个位数字相加便可求得：

1+2+6+4=13。

所求的个位数字是3。

　　例7如果m，n表示两个数，那么规定：

m¤

n=4n-（m+n）÷

2。

　　求3¤

（4¤

6）¤

12的值。

　　解：

3¤

12

　　=3¤

[4×

6-（4+6）÷

2]¤

19¤

　　=[4×

19-（3+19）÷

　　=65¤

　　=4×

12-（65+12）÷

2

　　=9.5。

练习3

　　1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×

a-b÷

3。

求8*9的值。

　　2.已知a

b表示a除以3的余数再乘以b，求13

4的值。

　　3.已知a

b表示（a-b）÷

（a+b），试计算：

（5

3）

（10

6）。

　　4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。

　　5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即　m◇n=3m-2n。

（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。

　　7.对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×

Q）÷

例如：

2☆8=（2×

8）÷

已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

　　8.定义：

a△b=ab-3b，a

b=4a-b/a。

计算：

（4△3）△（2

b）。

　　9.已知：

2

3=2×

4，

　　4

5=4×

6×

7×

8，

　　……

　　求（4

4）÷

（3

3）的值。

第4讲定义新运算

（二）

　　例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。

但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。

　　a※b=（a+b）-（a-b）

　　=a+b-a+b=2b。

　　所以，9※2=2×

2=4。

　　由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。

这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。

　　例2定义运算：

a⊙b=3a+5ab+kb，

　　其中a，b为任意两个数，k为常数。

比如：

2⊙7=3×

2+5×

7+7k。

（1）已知5⊙2=73。

问：

8⊙5与5⊙8的值相等吗？

（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，

　　即新运算“⊙”符合交换律？

（1）首先应当确定新运算中的常数k。

因为5⊙2=3×

5+5×

2+k×

　　=65+2k，

　　所以由已知5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷

定义的新运算是：

a⊙b=3a+5ab+4b。

　　8⊙5=3×

8+5×

8×

5+4×

5=244，

　　5⊙8=3×

8+4×

8=247。

　　因为244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新运算的定义，有

　　3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，

　　3a+kb-3b-ka=0，

　　3×

（a-b）-k（a-b）=0，

　　（3-k）（a-b）=0。

　　对于两个任意数a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

　　当新运算是a⊙b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即　a⊙b=b⊙a。

　　例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

　　比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。

　　因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。

所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28，29，30，33。

这四个数中只有30是6的倍数，所以6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。

因为a×

b=[a，b]×

（a，b），

　　所以6×

x=30×

3，由此求得x=15。

　　例4a表示顺时针旋转90°

，b表示顺时针旋转180°

，c表示逆时针旋转90°

，d表示不转。

定义运算“◎”表示“接着做”。

求：

a◎b；

b◎c；

c◎a。

a◎b表示先顺时针转90°

，再顺时针转180°

，等于顺时针转270°

，也等于逆时针转90°

，所以a◎b=c。

　　b◎c表示先顺时针转180°

，再逆时针转90°

，等于顺时针转90°

，所以b◎c=a。

　　c◎a表示先逆时针转90°

，再顺时针转90°

，等于没转动，所以c◎a=d。

　　对于a，b，c，d四种运动，可以做一个关于“◎”的运算表（见下表）。

比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉处a就是c◎b的结果。

因为运算◎符合交换律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的结果。

　　例5对任意的数a，b，定义：

f（a）=2a+1，g（b）=b×

b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g

（2））+g（f

（2））的值；

　　（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

（1）f（5）-g（3）=（2×

5+1）-（3×

3）=2；

（2）f（g

（2））+g（f

（2））

　　=f（2×

2）+g（2×

2+1）

　　=f（4）+g（5）=（2×

4+1）+（5×

5）=34；

　　（3）f（x+1）=2×

（x+1）+1=2x+3，

　　由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。

练习4

　　2.定义两种运算“※”和“△”如下：

　　a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，

　　a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。

　　比如：

4※5=4×

3=12，4△5=5×

2.5=12.5。

　　计算：

[（0.6※0.5）+（0.3△0.8）]÷

[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]。

　　4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×

m-n）÷

　　并且2⊙3=0.75。

试确定常数A，并计算：

（5⊙7）×

（2⊙2）÷

（3⊙2）。

　　5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：

　　a表示顺时针旋转240°

，

　　b表示顺时针旋转120°

　　c表示不旋转。

　　运算“∨”表示“接着做”。

试以a，b，c为运算对象做运算表。

　　6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a

比如7

3=1，5

29=4，4

20=0。

（1）计算：

1998

2000，（5

19）

19，5

（1

95）；

（2）已知11

x=4，x小于20，求x的值。

　　7.对于任意的自然数a，b，定义：

f（a）=a×

a-1，g（b）=b÷

2+1。

（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））=8，求x的值。