数值分析试题及答案Word文档格式.doc
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A.
B.
D.
单项选择题答案
1.A 2.D 3.D 4.C 5.B
得分
评卷人
二、填空题(每小题3分,共15分)
1.设,则
,
.
2.一阶均差
3.已知时,科茨系数,那么
4.因为方程在区间上满足
,所以在区间内有根。
5.取步长,用欧拉法解初值问题的计算公式
.
填空题答案
1.
9和2.
3.
4.
5.
三、计算题(每题15分,共60分)
1.已知函数的一组数据:
求分段线性插值函数,并计算的近似值.
计算题1.答案
解,
,
所以分段线性插值函数为
2.已知线性方程组
(1)
写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式;
(2)
对于初始值,应用雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式分别计算(保留小数点后五位数字).
计算题2.答案
1.解原方程组同解变形为
雅可比迭代公式为
高斯-塞德尔迭代法公式
用雅可比迭代公式得
用高斯-塞德尔迭代公式得
3.用牛顿法求方程在之间的近似根
(1)请指出为什么初值应取2?
(2)请用牛顿法求出近似根,精确到0.0001.
计算题3.答案
3.解,,
,,,故取作初始值
迭代公式为
,
,,
,
方程的根
4.写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分.
计算题4.答案
4解
梯形公式
应用梯形公式得
辛卜生公式为
应用辛卜生公式得
四、证明题(本题10分)
确定下列求积公式中的待定系数,并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度
证明题答案
证明:
求积公式中含有三个待定系数,即,将分别代入求积公式,并令其左右相等,得
得,。
所求公式至少有两次代数精确度。
又由于
故具有三次代数精确度。
一、
填空(共20分,每题2分)
1.设,取5位有效数字,则所得的近似值x=
.
2.设一阶差商,
则二阶差商
3.设,则
。
4.求方程
的近似根,用迭代公式,取初始值,那么
5.解初始值问题近似解的梯形公式是
6、,则A的谱半径=
。
7、设
,则
和
8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵,则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都
9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler)方法的局部截断误差为
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成
填空题答案
1、2.3150
2、
3、6和
4、1.5
5、
6、
7、8、收敛9、
10、
二、计算题
(共75分,每题15分)
1.设
(1)试求在上的三次Hermite插值多项式使满足
以升幂形式给出。
(2)写出余项的表达式
1、
(1)
(2)
2.已知的满足,试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数,使0,1…收敛?
2、由,可得,
3.试确定常数A,B,C和a,使得数值积分公式
有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少?
它是否为Gauss型的?
3、,该数值
求积公式具有5次代数精确度,它是Gauss型的
4.推导常微分方程的初值问题的数值解公式:
(提示:
利用Simpson求积公式。
)
4、数值积分方法构造该数值解公式:
对方程在区间上积分,
得,记步长为h,
对积分用Simpson求积公式得
所以得数值解公式:
5.
利用矩阵的LU分解法解方程组
计算题5.答案
5、解:
三、证明题(5分)
1.设
,证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。
1、
一、填空题(20分)
(1).设是真值的近似值,则有
位有效数字。
(2).对,差商(
)。
(3).设,则
(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和
(1)3
(2)1
(3)7
(4)1
二、计算题
1).(15分)用二次拉格朗日插值多项式的值。
插值节点和相应的函数值是(0,0),(0.30,0.2955),(0.40,0.3894)。
1)
2).(15分)用二分法求方程区间内的一个根,误差限。
2)
3).(15分)用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
3)迭代公式
4).(15分)求系数
4)
5).(10分)对方程组
试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由
5)解:
调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取,经7步迭代可得:
三、简答题
1)(5分)在你学过的线性方程组的解法中,你最喜欢那一种方法,为什么?
2)(5分)先叙述Gauss求积公式,再阐述为什么要引入它。
1.若a=2.42315是2.42247的近似值,则a有(
)位有效数字.
2.
是以为插值节点的Lagrange插值基函数,则
(
3.
设f(x)可微,则求方程的牛顿迭代格式是(
4.
迭代公式收敛的充要条件是
5.解线性方程组Ax=b(其中A非奇异,b不为0)的迭代格式中的B称为(
).给定方程组,解此方程组的雅可比迭代格式为(
)。
1.3
2.
3.
4.
5.迭代矩阵,
二、判断题(共10分)
若,则在内一定有根。
2.
区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。
若方阵A的谱半径,则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法收敛。
4.
若f(x)与g(x)都是n次多项式,且在n+1个互异点上,则。
(
用近似表示产生舍入误差。
判断题答案
1.×
2.×
3.×
4.√
5.×
三、计算题(70分)
(10分)已知f(0)=1,f(3)=2.4,f(4)=5.2,求过这三点的
二次插值基函数l1(x)=(
),=(
),插值多项式P2(x)=(
),用三点式求得(
1.
2.(15分)已知一元方程。
1)求方程的一个含正根的区间;
2)给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性);
3)给出在有根区间的Newton迭代法公式。
2.
(1)
(2)
(3)
3.(15分)确定求积公式
的待定参数,使其代数精度尽量高,并确定其代数精度.
4.(15分)设初值问题
.
写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式;
写出用改进的Euler法(梯形法)、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式,并求解,保留两位小数。
4.
5.(15分)取节点,求函数在区间上的二次插值多项式,并估计误差。
5.
=1+2(
,
一、填空题(每题4分,共20分)
1、数值计算中主要研究的误差有
和
2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数,则
;
3、设是区间上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为
插值型求积公式中求积系数
且
4、辛普生求积公式具有
次代数精度,其余项表达式为
5、则。
1.相对误差
绝对误差
1
3.至少是n
b-a
4.3
5.1
0
1、已知函数的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式,并计算的近似值。
解:
差商表
由牛顿插值公式:
2、(10分)利用尤拉公式求解初值问题,其中步长,。
3、(15分)确定求积公式
中待定参数的值,使求积公式的代数精度尽量高;
并指出此时求积公式的代数精度。
分别将,代入求积公式,可得。
令时求积公式成立,而时公式不成立,从而精度为3。
4、(15分)已知一组试验数据如下:
求它的拟合曲线(直线)。
设则可得
于是,即。
5、(15分)用二分法求方程在区间内的根时,若要求精确到小数点后二位,
(1)需要二分几次;
(2)给出满足要求的近似根。
6次;
6、(15分)用列主元消去法解线性方程组
计算题6.答案
即