大学高数公式大全Word下载.docx
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双曲正弦
:
shxee
lim
sinx1
2x0x
双曲余弦
chx
exex
xx
lim（1
1）x
e2.718281828459045...
双曲正切
thx
shx
chx
ee
arshx
archx
x21）
精品资料
arthx
1ln1x
21x
三角函数公式：
·
诱导公式：
sin（cos（
tg（
）sin
）costg
）
coscostg
cossin
sinsin
sin
2sin
2cos
cos
1tgtg
ctg（
）ctgctg
ctg1ctg
coscos
和差角公式：
·
和差化积公式：
倍角公式：
sin2cos2
ctg2
2sin2cos2ctg2
2ctg
12sin2
cos2
sin2
sin3cos3
3sin4cos3
3tg
4sin3
3cos
tg3
tg2
2tg
1tg2
13tg2
半角公式：
tg
1cos2
1cos
ctg
21cos
a
b
c
222
正弦定理：
sinA
sinB
2R
sinC
余弦定理：
c
ab2abcosC
反三角函数性质：
arcsinx
arccosx
arctgx
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
（uv）（n）
Cku（n
k0
k）v（k）
u（n）v
nu（n
1）v
n（n
2!
1）
u（n
2）
v
1）nk!
k1）u（n
k）v（k）
uv（n）
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）
f（a）
f（）（ba）
柯西中值定理：
f（）
F（b）
F（a）
F（）
当F（x）
x时，柯西中值定理就是
拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds
1y2dx,其中ytg
平均曲率：
K
.:
从M点到M
s
点，切线斜率的倾角变
化量；
s：
MM
弧长。
M点的曲率：
K
limdy.
直线：
K0;
s0sds
（1y
2）3
半径为
a的圆：
K1.a
定积分的近似计算：
矩形法：
f（x）
ba（yyn
yn1）
梯形法：
ba[n
（y0
yn）y1
yn1]
抛物线法：
f（x）ba[（y
yn）
2（y2y4
yn2）
4（y1y3
yn1）]
a3n
定积分应用相关公式：
功：
WFs
水压力：
FpA
引力：
F
km1m2
r2
k为引力系数
函数的平均值：
y
baa
f（x）dx
均方根：
f2（t）dt
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：
d
M1M2
（x2
x）2
（y2
y）2
（z2
z）2
向量在轴上的投影：
PrjuAB
ABcos
是AB与u轴的夹角。
Prju（a1
a2）
Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角：
22
axay
az
azbz
bxbybz
cab
ij
bxby
k
az,cbz
absin
.例：
线速度：
v
wr.
向量的混合积：
[abc]
代表平行六面体的体积
（ab）c
。
axayaz
cxcycz
abc
为锐角时，
平面的方程：
1、点法式：
A（x
x0）
B（y
y0）
C（z
z0）
0，其中n
{A,B,C},
M0（x0,y0,z0）
2、一般方程：
Ax
ByCzD0
3、截距世方程：
xyz1
平面外任意一点到该平
面的距离：
Ax0
By0Cz0D
A2B2C2
xx0mt
空间直线的方程：
xx0
m
y
y0
zz
z0
p
t,其中s
{m,n,p};
参数方程：
y0nt
二次曲面：
1、椭球面：
x
x2
y2z2
b2c21
y2
zz0pt
2、抛物面：
2p2q
z（,
p,q同号）
3、双曲面：
单叶双曲面：
双叶双曲面：
b2c2
b2c2
（1马鞍面）
多元函数微分法及应用
u
（F,G）
（F,G）
J
（x,v）
（u,x）
（F,G）
y
（y,v）
（u,y）
微分法在几何上的应用：
空间曲线yz
（t）
（t）在点M（x0（t）
y0
z0
）处的切线方程：
xx0（t0）
yy0
（t0）
zzz0（t0）
在点M处的法平面方程：
（t0）（x
（t0）（y
（t0）（z
z0）0
若空间曲线方程为：
F（x,
y,z）
0Fy
则切向量T{
FzFz
FxFxFy
}
G（x,y,z）0
GyGzGz
GxGxGy
曲面F（x,y,z）
0上一点
M（x0,y0,z0），则：
1、过此点的法向量：
n{Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}
2、过此点的切平面方程
：
Fx（x0,y0,z0）（x
Fy（x0,y0,z0）（y
Fz（x0,y0,z0）（z
3、过此点的法线方程：
x
x0
Fx（x0,y0,z0）
Fy（x0,y0,z0）
Fz（x0,y0,z0）
方向导数与梯度：
函数z
其中
f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向
为x轴到方向l的转角。
l的方向导数为：
f
l
fcosx
fsiny
f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）fifj
xy
f
它与方向导数的关系是：
单位向量。
gradf（x,y）
e，其中e
cosi
j，为l方向上的
f是gradf（x,y）在l上的投影。
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）
fy（x0,y0）
0，令：
fxx（x0,y0）
A,fxy（x0,y0）B,
fyy（x0,y0）C
ACB2
A
0时，
0,（x0,y0）为极大值
0,（x0,y0）为极小值
则：
AC
B20时，无极值
ACB
0时,
不确定
重积分及其应用：
f（x,y）dxdyf（rcos
DD
rsin）rdrd
曲面zf（x,y）的面积A
1zz
Dxy
x（x,y）d
dxdy
y（x,y）d
平面薄片的重心：
xMx
M
D,
（x,y）d
D
yMyD
（x,y）d
平面薄片的转动惯量：
对于x轴Ix
y2（x,y）d,
对于y轴Iy
x2（x,y）d
平面薄片（位于
xoy平面）对
z轴上质点
M（0,0,a）,（a
0）的引力：
{Fx,Fy,Fz}，其中：
Fxf
（x,y）xd
，
3
Fyf
（x,y）yd
Fzfa
D（x2
y2a2）2
y2a2）2
柱面坐标和球面坐标：
xrcos
柱面坐标：
rsin,zz
f（x,y,z）dxdydz
F（r,
z）rdrd
dz,
其中：
z）
f（r
rsin
xrsincos
球面坐标：
rsin
sin，
dvrd
ddr
r2sin
drdd
zrcos
2r（,）
f（x,y,z）dxdydz
F（r,,
）r2sin
dd
000
）r2sindr
重心：
x1M
xdv,
yyM
dv,
zzzM
dv，其中Mxdv
转动惯量：
Ix
（y2
z2）
dv，Iy
（x2
dv，Iz
y2）dv
曲线积分：
第一类曲线积分（对弧
长的曲线积分）：
（t）
设f（x,y）在L上连续，
L的参数方程为：
（t
）,则：
f（x,y）ds
L
f[（t）,
（t）]
2（t）
2（t）dt（
）特殊情况：
t（t）
第二类曲线积分（对坐
标的曲线积分）：
（t）
设L的参数方程为
，则：
y（t）
P（x,y）dxQ（x,y）dy
{P[
（t）,
（t）]
Q[
（t）,
（t）}dt
两类曲线积分之间的关
系：
Pdx
Qdy
（P
Qcos
）ds，其中和分别为
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式：
（Q
Dx
P）dxdyy
当Py,Q
x，即：
Qx
P2时，得到y
D的面积：
A
1
xdy
2L
ydx
平面上曲线积分与路径
无关的条件：
1、G是一个单连通区域；
2、P（x,y），
Q（x,y）在
G内具有一阶连续偏导数
，且Q＝
P。
注意奇点，如
（0,0），应
减去对此奇点的积分，
二元函数的全微分求积
注意方向相反！
在Q＝
P时，
才是二元函数
u（x,y）的全微分，其中：
u（x,y）
（x,y）
P（x,
（x0,y0）
y）dx
Q（x,
y）dy，通常设x0
y00。
曲面积分：
对面积的曲面积分：
f（x,y,z）ds
Dxy
f[x,y,z（x,y）]1
z2（x,y）
z2（x,y）dxdy
对坐标的曲面积分：
P（x,y,z）dydz
Q（x,y,z）dzdx
R（x,y,z）dxdy，其中：
R（x,y,z）dxdy
R[x,y,z（x,y）]dxdy，取曲面的上侧时取正号；
P（x,y,z）dydz
Dyz
P[x（y,z）,
y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；
Q（x,y,z）dzdx
Dzx
Q[x,y（z,x）,z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
两类曲面积分之间的关
系：
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
（Pcos
Rcos
）ds
高斯公式：
（PQ
R）dvz
Pdydz
Rcos
高斯公式的物理意义——通量与散度：
散度：
div
PQR,即：
单位体积内所产生xyz
的流体质量，若
0,则为消失
...
通量：
Ands
Ands
（Pcos
）ds，
因此，高斯公式又可写
成：
divAdv
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
（RQ）dydz（Pyzz
R）dzdx（Qxx
P）dxdyy
Rdz
上式左端又可写成：
dydz
xP
dzdx
yQ
zR
空间曲线积分与路径无
关的条件：
R
Q，P
zzz
R，QP
xxy
旋度：
rotA
ijk
xyz
PQR
向量场
A沿有向闭曲线
的环流量：
Atds
常数项级数：
等比数列：
1qq
qn11q
等差数列：
123
n（n
1q
1）n2
调和级数：
111
23
1是发散的
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法
—
—根植审敛法（柯西判
1时，级数收敛
别法）：
设：
lim
nun，则
1时，级数发散
1时，不确定
2、比值审敛法：
Un1，则
Un
3、定义法：
snu1u2
un;
sn存在，则收敛；
否则发散。
交错级数u1u2
u3u4
un
（或
un1
u1u2u3
un
的审敛法
—莱布尼兹定理：
如果交错级数满足
limunn
，那么级数收敛且其和s0
u1,其余项rn的绝对值rn
un1。
绝对收敛与条件收敛：
（1）u1u2un
（2）u1u2u3
，其中
un
un为任意实数；
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对
收敛级数；
如果
（2）发散，而
（1）
收敛，则称
（
为条件收敛级数。
2）n
发散，而
收敛；
级数：
1收敛；
n2
p级数：
1np
ｐ１时发散
p1时收敛
幂级数：
1xx2x3xn
x1时，收敛于1
x1时，发散
对于级数
（3）a0
a1x
ax2
axn
，如果它不是仅在原点
R时收敛
收敛，也不是在全
数轴上都收敛，则必存
在R，使
xR时发散
xR时不定
R称为收敛半径。
0时，R1
求收敛半径的方法：
设
an1
an，an
1是（3）的系数，则
0时，R
n时，R0
函数展开成幂级数：
函数展开成泰勒级数：
f（x）
f（x0
）（x
f（x0）（x
（n）
（x0）（x
x）n
余项：
Rn
f（n1）（
）（x
f（x）可以展开成泰勒级数的
n!
充要条件是：
limRn0
（n1）!
f（0）
f（n）（0）
x00时即为麦克劳林公式：
f（0）xx2xn
n!
一些函数展开成幂级数：
（1x）
1mx
m（m
1）x
1）（m
n1）x
（1x1）
5
sinxxxx
3!
5!
（1）
x2n
（2n
1）!
（x）
欧拉公式：
eix
cosx
isinx
或
eix
三角级数：
f（t）A0
Ansin（nt
n1
a0
n）
2n1
（an
cosnx
bnsin
nx）
其中，a0
aA0，an
Ansin
n，bn
Ancosn，tx。
正交性：
1,sin
x,cos
x,sin
2x,cos2x
nx,cosnx
任意两个不同项的乘积
在[,]
上的积分＝0。
傅立叶级数：
f（x）a0
（an
bnsin
nx），周期2
1（x）cos
nxdx
（n0,1,2）
bn1
f（x）sin
（n1,2,3）
11
13252
111
2111
81223242
1222
（相加）
6
（相减）
2462423412
正弦级数：
an0，bn
2
f（x）sin
nxdx
n1,2,3
nx是奇函数
余弦级数：
bn0，an
2f（x）cos
n0,1,2
f（x）a0
ancos
nx是偶函数
周期为
2l的周期函数的傅立叶级数：
cosnxl
nx），周期2ll
a1fll
ll
（x）cosn
（x）sinn
xdx
（n0,1,2）
（n1,2,3）
微分方程的相关概念：
一阶微分方程：
yf（x,y）或
P（x,y）dx
Q（x,y）dy0
可分离变量的微分方程
一阶微分方程可以化
为g（y）dy
f（x）dx的形式，解法：
g（y）dy
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